畢業(yè)論文大數(shù)定律在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-25 10:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 Characteristic function)，這里t是任意實(shí)數(shù).由于 E||=1, 因此對任意ξ，對一切t∈(∞,∞)，(1)式都有意義. 換句話說，對每個(gè)隨機(jī)變量ξ（或者說每個(gè)分布函數(shù)F(x)），都有一個(gè)特征函數(shù)f (t)與之對應(yīng)，它是定義在(∞,∞)上的實(shí)變量復(fù)值函數(shù).特征函數(shù)是ξ的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，故=.特別，若ξ為離散型，P(, n =1,2,…, 則 =. ()若ξ是連續(xù)型，其密度為p (x)，則=， ()它就是函數(shù)p(x)的傅里葉變換. 性質(zhì)設(shè)f(t)為特征函數(shù)性質(zhì)1 |f (t)|≤f(0) =1 () f (t) =f(t) ()證 |f (t)| = ||≤=1, 而f (0) ==1,故有(4)式.又 f (t) ===, 得證(5)式.2特征函數(shù) 性質(zhì)2 f (t)在 (∞, ＋∞)上一致連續(xù).證： 對于任意的t∈(∞, ＋∞) 及ε0,|f (t +h)f (t)| = || ≤=,因?yàn)?1收斂， 因此 又 |=2|sin (hx / 2)|, 對上面取定的A, 取δ=(2A), 當(dāng) |x| A及 0 h δ時(shí)，|sin (hx / 2)| |hx /2| ε/ 4, 故≤ε/2，從而 |f (t+h)f(t)| ε. 且從證明可見δ的選取與t無關(guān).性質(zhì)3 f(t) 是非負(fù)定的：對任意正整數(shù)n及任意實(shí)數(shù), 復(fù)數(shù)，有0. ()證 ==0.這個(gè)性質(zhì)是特征函數(shù)的最本質(zhì)屬性之一. 事實(shí)上，我們有 波赫納爾—辛欽(BochnerKhinchine)定理 函數(shù)f (t ) 為特征函數(shù)的充要條件是f (t ) 非負(fù)定，連續(xù)且f (0) =1.定理的證明比較冗長，這里略去. 它在理論上給出了一個(gè)判定特征函數(shù)的方法，但具體判定一個(gè)函數(shù)是否非負(fù)定是不容易的，所以本定理實(shí)際用處不大. 許多具體問題要判定一個(gè)函數(shù)是否為特征函數(shù)常用另外的方法.性質(zhì)4 若相互獨(dú)立, , 的特征函數(shù)為,則. ()這是因?yàn)榈莫?dú)立導(dǎo)致間相互獨(dú)立，故= E.這一性質(zhì)對獨(dú)立隨機(jī)變量和的研究起著很大作用.3特征函數(shù) 性質(zhì)5 若E存在，則f (t) 是n次可微的，且當(dāng)k≤n時(shí)，. ()證 由于 ==+∞, 因此對t一致收斂，故存在，且==,==.特別,當(dāng)E存在時(shí)，有.性質(zhì)6 設(shè)η= aξ+b, a,b是任意常數(shù)，則. ()4大數(shù)定律 、切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式 （）證明：（僅對連續(xù)性隨機(jī)變量加以證明） 例1利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之差大于3倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率解：由切比雪夫不等式例2 設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2，試根據(jù)切比雪夫不等式估計(jì)解：由切比雪夫不等式如果對任何是相互獨(dú)立的，那么稱變量是相互獨(dú)立的。此時(shí)，若所有的都有共同的分布，則稱是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量列。設(shè)為隨機(jī)變量列，若存在隨機(jī)變量，對于任意，有或則稱隨機(jī)變量列依概率收斂于隨機(jī)變量，并用下面符號(hào)表示：或 在高等數(shù)學(xué)中，{}為確定性變量，若，這是指對任意給定的，可找到，對所大于的，都有，而不會(huì)有例外。 在概率論中，{}為非確定性變量（隨機(jī)變量），{}依概率收斂于，意味著對任意給定的，
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