【正文】 [10]封希媛 .大數(shù)定律與中心極限定理在實(shí)際中的應(yīng)用 [J]青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)第二版， 2021。 [6]張從軍 ， 劉亦農(nóng) ， 肖麗華 編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) [M],復(fù)旦大學(xué)出版社 ,2021： 110120。 [2]茆詩(shī)松 ,程依明等編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 [M]． 高等教育出版社 ,2021： 133154。 當(dāng)然也要感謝曾經(jīng)教育和幫助過(guò)我的所有老師，我的點(diǎn)滴成就都來(lái)自你們，感謝四年來(lái)對(duì)我的栽培和教育。 我不是您最出色的學(xué)生，而您卻是我最尊敬的老師 。 總之這兩大 定理的正確應(yīng)用有助于進(jìn)一步研究多個(gè)隨機(jī)過(guò)程的試驗(yàn)中目標(biāo)事件及其條件下各誘發(fā)事件的概率 ,有助于把握隨機(jī)事件間的相互影響關(guān)系 ,為生產(chǎn)實(shí)踐提供更有價(jià)值的決策信息 ,成為我們解決問(wèn)題的有效工具 。 本次畢業(yè)論文的撰寫 ,使我擴(kuò)大了知識(shí)范圍 ,鍛煉了觀察和思維能力 ,進(jìn)一步提高了動(dòng)手和實(shí)踐能力 。 利用數(shù)學(xué)方法 ,定量地對(duì)醫(yī)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)分析 ,使其結(jié)論具有可信度 ,更有利于促進(jìn)對(duì)病人的對(duì)癥施治等 。 從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是 較低 的 。 又因?yàn)? )1001()( 99 199 199 1 ???? ??? ??? ii ii i ipXE, )100)(1001()( 99 199 1299 ???? ?? ?? ii i iiXDB 所以該學(xué)生通過(guò)考試的可能性為 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 ???????????????????????? ? ?? ?? 60991991iiiiXPXP )(1 ???? 由此看出：此學(xué)生通過(guò)考試的可能性很小 ,大約只有千分之五 。 試計(jì)算該學(xué)生通過(guò)考試的可能性多大？ 解：設(shè)若學(xué) 生答對(duì)第 i 題 ,則 1?iX ；若學(xué)生答錯(cuò)第 i 題 ,則 0?iX 。 即 ?N ,取 14?N ,即至少要安裝 14條外線 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 由大數(shù)定律 ,當(dāng) n 很大時(shí) ,頻率nYn與概率 p 很接近 ,即用頻率作為 p 的估計(jì)是合適的 。 例 8： 某調(diào)查公司受委托 ,調(diào)查某電視節(jié)目在 S 市的收視率 p ,調(diào)查公司將所有調(diào)查對(duì)象中收看此節(jié)目的頻率作為 p 的估計(jì) ?p 。 問(wèn)至少要多少電能 ,才可以有95％的可能性保證此車間正常生產(chǎn) 。 試求系統(tǒng)正常工作的概率 。 ① 給定 yn, ， 求 ? 。 若 21 kk＜ 均為整數(shù) ,一般先作如下修正后再用正態(tài)近似 )()( 121 ????? kkPkkP nn ＜＜ ?? 。 棣莫弗 拉普拉斯定理是概率論歷史上的第一個(gè)中心極限定理 ,它是專門針對(duì)二項(xiàng)分布的 ,因此稱為“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似” 。 列維定理及其在極限求解方面的應(yīng)用 列維定理 ：設(shè)隨機(jī)變量 nXXX , 21 ? 相互獨(dú)立 ,服從同一分布 ,且有有限的數(shù)學(xué)期望 ? 和方差 2? ,則隨機(jī)變量??n1nXYni i?? ?? 的分布函數(shù) )(xFn 滿足如下 極限式 dtexnnXPxF x tni innn ?????????? ???? 21221))((l i m)(l i m???, 其中 x 是任何實(shí)數(shù) 。 此外 ,還可以舉出很多類似的例子 ,這里具體舉出一個(gè)例子 [4]。 林德伯格定理可以解釋如下：假如被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和 ,其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小的作用 ,則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分布的 。 在實(shí)際應(yīng)用中 ,有很多隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布 ,即使原來(lái)并不服從正態(tài)分布的一些獨(dú)立的隨機(jī)變量 ,它們的和 分布也近似服從正態(tài)分布 ,自然要提出這樣的問(wèn)題：為什么正態(tài)分布如此廣泛地存在 ,從而在概率論中占有如此重要的地位？應(yīng)如何解釋大量隨機(jī)現(xiàn)象的這一客觀規(guī)律性呢？事實(shí)上 ,這正是客觀實(shí)際的反映 ,中心極限定理就是 概率論中論證隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的定理總稱 。 例如統(tǒng)計(jì)方面的應(yīng)用 ,在信息論中的應(yīng)用 ,在分析 ,數(shù)論等方面的應(yīng)用 。 人們?cè)趯?shí)踐中觀察其他一些隨機(jī)現(xiàn)象時(shí) ， 也常常會(huì)發(fā)現(xiàn)大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果的穩(wěn)定性 。 解 ： 假設(shè)隨機(jī)變量 ),2,1( ??ii? 在 [0,1]上有均勻分 布 ,而且相互獨(dú)立 ,有 31,21 2 ?? ii ED ?? 易見(jiàn) ? ??????? ??????? ? 2),( 22221211 nPGPdxdx nnnG nn ?????? ???? ?????? ??????????? ???? 61)(121)(1 22222122221 inn EnPnP ??????? ?? ?????? ??? ?? 611 21 2 ini i EnP ?? 由 n??? , 21 ? 獨(dú)立同分布 ,可見(jiàn) 22221 , n??? ? 獨(dú)立同分布 。 反之 ,用概率方法來(lái)解決數(shù)學(xué)分析中的一些問(wèn)題 ,也是概率論的重要研究方向之一 [3]。 這樣做法的一個(gè) 優(yōu)點(diǎn) 是我們可以不必去管X 的分布究竟是怎樣的 ,我們的目的只是尋找數(shù)學(xué)期望 。 辛欽大數(shù)定律 ：設(shè) ??iX 為一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列 ,若 iX 的數(shù)學(xué)期望存在 ,則??iX 服從大數(shù)定律 ,即對(duì)任意的 0＞? ,有 1))(11(l i m 11 ?? ?? ???? ?＜ni ini in XEnXnP 成立 。 可見(jiàn) 試驗(yàn)次數(shù)愈多 ,偏差發(fā)生的可能性愈小 。 若把這枚硬幣連拋 10 次 ,則因?yàn)?n 較小 ,發(fā)生大偏差的可能性有時(shí)會(huì)大一些 ,有時(shí)會(huì)小一些 。 這個(gè)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式刻畫了頻率的穩(wěn)定性 ,因此 ,在實(shí)際應(yīng)用中 ,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí) ,便可以用時(shí)間發(fā)生的頻率來(lái)代替事件的概率 。 解：依題意 ,可以將觀察結(jié)果 ?? , 21 nXXX 看作是相互獨(dú)立具有相同分布的隨機(jī)變量 。【 1】 此推論表明： n 個(gè)相互獨(dú)立的具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的隨機(jī)變量 ,當(dāng) n 很大時(shí) ,它們的算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù) ,這個(gè)常數(shù)就是它們的數(shù)學(xué)期望 。 （ 4）它是推導(dǎo)大數(shù)定律和其他定理的依據(jù) 。 切比雪夫不等式及其應(yīng)用 切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量 X 具有有限數(shù)學(xué)期望 ? 和方差 2? ,則對(duì)于任意正數(shù) ? ,如下不等式成立 ， ? ?22???? ???XP或有 ? ?221???? ????XP 這個(gè)不等式可解釋為：對(duì)任意給定的正常數(shù) ? ,可以作出兩個(gè)區(qū)間 ),( ????? 和 ),( ????? ， 不等式 表示 ,在一次試驗(yàn)中 ,隨機(jī)變量 ? 的取值落在 ),( ????? ? ),( ????? 的 概率小于等于22?? 。 它的結(jié)論也可敘述為：大量的隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性相互抵消而呈現(xiàn)出某種必 然的數(shù)量規(guī)律 。 １ 大數(shù)定律的應(yīng)用 引言 生產(chǎn)、生活及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的風(fēng)險(xiǎn)事故都具有不確定性 ， 或者稱為隨機(jī)性 。 本文共分 3章 ,每章結(jié)合具體問(wèn)題展開(kāi)討論 ,內(nèi)容涉及對(duì)基本公式概念的理解 ,對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)的剖析 ,定理的具體應(yīng)用 ,結(jié)合實(shí)際 ,分析解答了有關(guān)的典型例題 。 關(guān)鍵詞 ： 大數(shù)定律，中心極限定理，期望，方差，應(yīng)用 Abstract The law of large numbers and central limit theorem is very important in probability theory theorem,and it is not only the contact key of Probability theory and mathematical statistics,but also an indispensable part of life. Many literatures have given the dissimilar conditions of the law of large numbers and central limit literatures have given the dissimilar conditions of the law of large numbers,and have obtained the astringent using the law of large numbers and central limiting here has no many results in practical life and applicable I introduce several kinds of laws of large numbers and central limit theorems,then this paper enumerates some different applicants in economic life,mathematics and information theory and so makes theory concretely,and considers some concrete mathematical model,and so makes mathematical theory reality,thus we can have dee