44數(shù)字特征與極限定理(編輯修改稿)
2024-10-07 15:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè) C是常數(shù)，則 E(C)=C。 4. 設(shè) X、 Y獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y)。 2. 若 k是常數(shù)，則 E(kX)=kE(X)。 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2)。 ?????niinii XEXE11)(][:推廣?????niinii XEXE11)(][:推廣（諸 Xi獨立時） 注意 :由 E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出 X,Y獨立 五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用 例 1 求二項分布的數(shù)學(xué)期望 若 X~B(n,p)， 則 X表示 n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù) . 現(xiàn)在我們來求 X的數(shù)學(xué)期望 . 可見，服從參數(shù)為 n和 p的二項分布的隨機變量 X的數(shù)學(xué)期望是 np. X~B(n,p), 若設(shè) 則 X= X1+X2+…+ Xn = np ????次試驗失敗如第次試驗成功如第iiX i01i=1,2， … ， n 因為 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1p ??niiXE1)(所以 E(X)= 則 X表示 n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù) . E(Xi)= )1(01 pp ???? = p 例 2 把數(shù)字 1,2,… ,n任意地排成一列 ， 如果數(shù)字 k恰好出現(xiàn)在第 k個位置上 ， 則稱為一個巧合 ， 求巧合個數(shù)的數(shù)學(xué)期望 . 由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解 : 設(shè)巧合個數(shù)為 X, ????否則，個位置上恰好出現(xiàn)在第數(shù)字0,1 kkXk k=1,2, …, n ???nkkXX1則 !)!1(nn ??n1????nkkXEXE1)()(故 11 ???nn引入 例 3 設(shè)甲、乙兩人玩必分勝負的賭博游戲，假定游戲的規(guī)則不公正，以致兩人獲勝的概率不等，甲為 p,乙為 q， pq,p+q=乙的不利地位，另行規(guī)定兩人下的賭注不相等，甲為 a, 乙為 b, ab. 現(xiàn)在的問題是： a究竟應(yīng)比 b大多少，才能做到公正？ 解：設(shè)甲贏的錢數(shù)為 X，乙贏的錢數(shù)為 Y， 依題意 ,~ ???????? ?qpabX ,~ ???????? ?pqbaY解：設(shè)甲贏的錢數(shù)為 X，乙贏的錢數(shù)為 Y， 為對雙方公正 ,應(yīng)有 依題意 ,~ ???????? ?qpabX ,~ ???????? ?pqbaYE(X)=bp+(a)q, E(Y)=aq+(b)p bpaq=aqbp=0, qbpa ?故 期望與風險并存．數(shù)學(xué)家從期望值來觀察風險，分析風險，以便作出正確的決策． 例如，有一家個體戶，有資金一筆，如經(jīng)營西瓜，風險大但利潤高 (成功的概率為，獲利 2020元 )； 如經(jīng)營工藝品，風險小但獲利少 (95％會賺，但利潤為 1000元 )．究竟該如何決策？ 所以權(quán)衡下來，情愿“搏一記”，去經(jīng)營西瓜，因它的期望值高． 于是計算期望值： 若經(jīng)營西瓜，期望值 E1= 2020=1400元． 而經(jīng)營工藝品期望值 E2＝ 1000＝ 950元． 我們介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征 . 接下來我們將向大家介紹隨機變量另一個重要的數(shù)字特征： 方差 我們已經(jīng)介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征 . 但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的 . 例如，某零件的真實長度為 a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量 10次，將測量結(jié)果 X用坐標上的點表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認為哪臺儀器好一些呢？ a? ? ? ?? ? ?? ??甲儀器測量結(jié)果 a?? ? ? ?? ??? ?乙儀器測量結(jié)果 較好 測量結(jié)果的均值都是 a 因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近 又如 ,
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