中心極限定理的內(nèi)涵和應(yīng)用doc(編輯修改稿)
2025-08-13 15:27 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 諾夫中心極限定理的特殊應(yīng)用定理4（李雅普諾夫中心極限定理）設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，并且 ,記,若存在滿(mǎn)足則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量的分布函數(shù)對(duì)于任意的滿(mǎn)足這個(gè)定理是李雅普諾夫在1900年提出的。它表明，在定理?xiàng)l件下，隨機(jī)變量，當(dāng)很大時(shí)，近似地服從正態(tài)分布由此，當(dāng)很大時(shí)，近似地服從正態(tài)分布。也就是說(shuō)，無(wú)論各個(gè)隨機(jī)變量服從什么分布，只要滿(mǎn)足定理?xiàng)l件，那么它們的和，當(dāng)很大時(shí)，就近似地服從正態(tài)分布，這就是為什么正態(tài)隨機(jī)變量在概率論中占有重要地位的一個(gè)基本原因。在實(shí)際生活的很多問(wèn)題中，所考慮的隨機(jī)變量往往可以表示成很多個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和。例如：在任一指定時(shí)刻，一個(gè)城市的耗電量是大量用戶(hù)的耗電量的總和；一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差是由許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成的，它們往往近似地服從正態(tài)分布。在現(xiàn)實(shí)生活中，人們往往比較在意錢(qián)的花費(fèi)，那么在器件價(jià)格預(yù)算方面，李雅普諾夫中心極限定理又有著怎樣的神奇之處呢？請(qǐng)看下面這例題。例4．某種器件使用壽命(單位:小時(shí))服從指數(shù)分布,其平均使用壽命為20小時(shí),具體使用時(shí)是一器件損壞后立即更換另一個(gè)新器件,如此繼續(xù),已知每個(gè)器件進(jìn)價(jià)為a元。試求在年計(jì)劃中應(yīng)為此器件作多少預(yù)算才可能有95%的把握一年夠用（假定一年有2000個(gè)工作小時(shí)）？[3]解：設(shè)第k個(gè)器件使用壽命為，由于服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且20，所以，那么。假定一年至少準(zhǔn)備n件才能有95%的把握夠用，相互獨(dú)立，記，由李雅普諾夫中心極限定理知=所以。查表得：。所以，在年計(jì)劃中應(yīng)為此器件作118件預(yù)算才可能有95%的把握一年夠用。四、中心極限定理在二項(xiàng)分布中的特殊應(yīng)用由于二項(xiàng)分布在實(shí)際問(wèn)題中有著大量的應(yīng)用，因此在這些中心極限定理中，棣－拉中心極限定理有著更重要的地位，它可以解決的問(wèn)題類(lèi)型也特別多。如果在棣莫弗拉普拉斯中心極限定理中，我們將二項(xiàng)分布看成是n個(gè)獨(dú)立同分布的0—1分布的和，于是我們能得到下面的棣莫弗拉普拉斯中心極限定理，即如下的兩個(gè)定理：設(shè)，則（1） 局部極限定理當(dāng)n較大時(shí)，（2） 積分極限定理當(dāng)n較大時(shí)，其中該定理的具體應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：應(yīng)用一：導(dǎo)出貝努利大數(shù)定理。應(yīng)用二：近似計(jì)算服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)取值的概率。應(yīng)用三：已知服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)取值的概率，估計(jì)該范圍（或該范圍的最大值）。應(yīng)用四：與用頻率估計(jì)概率有關(guān)的二項(xiàng)分布的近似計(jì)算。這里主要闡述棣莫弗拉普拉斯中心極限定理在現(xiàn)實(shí)生活中有關(guān)二項(xiàng)分布的應(yīng)用問(wèn)題。在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道了“二項(xiàng)分布的泊松近似”，即用泊松分布來(lái)作為相應(yīng)的二項(xiàng)分布的近似。在二項(xiàng)分布中，當(dāng)n較大，而p又較小的情況下時(shí)，我們有以下的泊松定理。定理5 （泊松定理）在n重伯努利試驗(yàn)中，記事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為（與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)），如果當(dāng)時(shí)，有，則而在二項(xiàng)分布中，當(dāng)n較大，p又不小時(shí)，且當(dāng)p處在和時(shí)，則用正態(tài)分布近似比較好，這就用到了棣莫弗拉普拉斯中心極限定理。棣莫弗拉普拉斯中心極限定理在各個(gè)方面都有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在管理中也有著不小的應(yīng)用，請(qǐng)看下面的這例題：例5. 水房擁擠問(wèn)題：假設(shè)紹興文理學(xué)院要建新校區(qū)，里面有學(xué)生5000人，只有一個(gè)開(kāi)水房。由于每天傍晚打開(kāi)水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會(huì)特向后勤集團(tuán)提議增設(shè)水龍頭。假設(shè)后勤集團(tuán)經(jīng)過(guò)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生在傍晚一般有1％的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個(gè)，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問(wèn)題是：(1)未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？(2)至少要裝多少個(gè)水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？[4]分析：首先，我們先設(shè)5000個(gè)學(xué)生中占有水龍頭的人數(shù)為隨機(jī)變量X，未新裝水龍頭前，擁擠的概率為p。因?yàn)轭}中占有水龍頭的人和人之間是獨(dú)立的。因此比較容易看出，此題中的X是服從二項(xiàng)分布的，所以我們可用二項(xiàng)分布的方法
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