中心極限定理的內(nèi)涵和應(yīng)用doc(編輯修改稿)
2025-08-13 15:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 諾夫中心極限定理的特殊應(yīng)用定理4（李雅普諾夫中心極限定理）設(shè)為獨立隨機變量序列，并且 ,記,若存在滿足則隨機變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量的分布函數(shù)對于任意的滿足這個定理是李雅普諾夫在1900年提出的。它表明，在定理條件下，隨機變量，當(dāng)很大時，近似地服從正態(tài)分布由此，當(dāng)很大時，近似地服從正態(tài)分布。也就是說，無論各個隨機變量服從什么分布，只要滿足定理條件，那么它們的和，當(dāng)很大時，就近似地服從正態(tài)分布，這就是為什么正態(tài)隨機變量在概率論中占有重要地位的一個基本原因。在實際生活的很多問題中，所考慮的隨機變量往往可以表示成很多個獨立的隨機變量之和。例如：在任一指定時刻，一個城市的耗電量是大量用戶的耗電量的總和；一個物理實驗的測量誤差是由許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成的，它們往往近似地服從正態(tài)分布。在現(xiàn)實生活中，人們往往比較在意錢的花費，那么在器件價格預(yù)算方面，李雅普諾夫中心極限定理又有著怎樣的神奇之處呢？請看下面這例題。例4．某種器件使用壽命(單位:小時)服從指數(shù)分布,其平均使用壽命為20小時,具體使用時是一器件損壞后立即更換另一個新器件,如此繼續(xù),已知每個器件進(jìn)價為a元。試求在年計劃中應(yīng)為此器件作多少預(yù)算才可能有95%的把握一年夠用（假定一年有2000個工作小時）？[3]解：設(shè)第k個器件使用壽命為，由于服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且20，所以，那么。假定一年至少準(zhǔn)備n件才能有95%的把握夠用，相互獨立，記，由李雅普諾夫中心極限定理知=所以。查表得：。所以，在年計劃中應(yīng)為此器件作118件預(yù)算才可能有95%的把握一年夠用。四、中心極限定理在二項分布中的特殊應(yīng)用由于二項分布在實際問題中有著大量的應(yīng)用，因此在這些中心極限定理中，棣－拉中心極限定理有著更重要的地位，它可以解決的問題類型也特別多。如果在棣莫弗拉普拉斯中心極限定理中，我們將二項分布看成是n個獨立同分布的0—1分布的和，于是我們能得到下面的棣莫弗拉普拉斯中心極限定理，即如下的兩個定理：設(shè)，則（1） 局部極限定理當(dāng)n較大時，（2） 積分極限定理當(dāng)n較大時，其中該定理的具體應(yīng)用主要有以下幾個方面：應(yīng)用一：導(dǎo)出貝努利大數(shù)定理。應(yīng)用二：近似計算服從二項分布的隨機變量在某范圍內(nèi)取值的概率。應(yīng)用三：已知服從二項分布的隨機變量在某范圍內(nèi)取值的概率，估計該范圍（或該范圍的最大值）。應(yīng)用四：與用頻率估計概率有關(guān)的二項分布的近似計算。這里主要闡述棣莫弗拉普拉斯中心極限定理在現(xiàn)實生活中有關(guān)二項分布的應(yīng)用問題。在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道了“二項分布的泊松近似”，即用泊松分布來作為相應(yīng)的二項分布的近似。在二項分布中，當(dāng)n較大，而p又較小的情況下時，我們有以下的泊松定理。定理5 （泊松定理）在n重伯努利試驗中，記事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為（與試驗次數(shù)n有關(guān)），如果當(dāng)時，有，則而在二項分布中，當(dāng)n較大，p又不小時，且當(dāng)p處在和時，則用正態(tài)分布近似比較好，這就用到了棣莫弗拉普拉斯中心極限定理。棣莫弗拉普拉斯中心極限定理在各個方面都有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在管理中也有著不小的應(yīng)用，請看下面的這例題：例5. 水房擁擠問題：假設(shè)紹興文理學(xué)院要建新校區(qū)，里面有學(xué)生5000人，只有一個開水房。由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長隊的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會特向后勤集團提議增設(shè)水龍頭。假設(shè)后勤集團經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個學(xué)生在傍晚一般有1％的時間要占用一個水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問題是：(1)未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？(2)至少要裝多少個水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？[4]分析：首先，我們先設(shè)5000個學(xué)生中占有水龍頭的人數(shù)為隨機變量X，未新裝水龍頭前，擁擠的概率為p。因為題中占有水龍頭的人和人之間是獨立的。因此比較容易看出，此題中的X是服從二項分布的，所以我們可用二項分布的方法
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