[理學(xué)]第五章大數(shù)定律與中心極限定理(編輯修改稿)
2025-02-10 17:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ??有 關(guān) 大 數(shù) 定 律 的 習(xí) 題 選 講解26 3 2 3 1 3n n nX X X??? ? ?20 223 2 3 1 3 3 2 3 1 323 2 3 2 3 1 32 2 21 1 2 3 4 5 6 3 2 3 1 3[ ] [ ] [ ] [ ][ ] ( [ ] ) [ ] [ ]6 4 4 14 1 , 2 , ,{},14滿(mǎn) 足 辛 欽 大 數(shù) 定 律 條 件 ， 所 以且 。k k k k k k kk k k knnkk n n nPE Y E X X X E X E X XV ar X E X E X E XknYYX X X X X X X X Xnnana? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ???21 1()11{}{}( ) ( 5假 設(shè) 某 洗 衣 店 為 第 個(gè) 顧 客 服 務(wù) 的 時(shí) 間 服 從 區(qū) 間[5,53] 單 位 : 分 鐘 上 的 均 勻 分 布 ， 且 對(duì) 每 個(gè) 顧 客 是 相 互 獨(dú) 立的 , 試 問(wèn) 當(dāng) 時(shí) , 次 服 務(wù) 時(shí) 間 的 算 術(shù) 平 均 值 以 概率 收 斂 于 何 值 ？依 題 意 ， 顯 然 有 ， 是 一 個(gè) 獨(dú) 立 同 分 布 的 隨 機(jī) 變 量 序 列 ，只 要 存 在 有 限 的 公 共 數(shù) 學(xué) 期 望 ， 則 的 算 術(shù) 平 均 值 依 概 率收 斂 于 其 公 共 數(shù) 學(xué) 期 望 ， 由 于 服 從 [5,53] 上 的 均 勻 分 ，所 以 布iniinniiiXn n XnXXXEX????? 解習(xí) 題13 5 ) / 2 29 , 1 , 2 , ,11 29( )， 所 以 ， 當(dāng) 時(shí) ，次 服 務(wù) 時(shí) 間 的 算 術(shù) 平 均 值 以 概 率 收 斂 于 分 鐘 。niii n nnXn?? ? ? ? ??22 中心極限定理 定義 設(shè) {Xn}為獨(dú)立隨機(jī)變量序列 ， 具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差 ， 記其和函數(shù)為 ， 若 Yn標(biāo)準(zhǔn)化后服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 即 則稱(chēng) {Xn}服從中心極限定理 。 說(shuō)明 ： 該定義表明 論證和函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)化后的分布收斂于正態(tài)分布的這類(lèi)定理叫做 “ 中心極限定理 ” 。 11( ( ) )( 0 , 1 )???????????nkk dknkkX E XNVar X1niinYX?? ?1niinYX?? ?23 定理 (林德伯格 萊維中心極限定理 ) 設(shè) {Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列 ， 具有有限的數(shù)學(xué)期望 μ和方差 σ 20， 則{Xn}服從中心極限定理 ， 即 說(shuō)明： 上述定理并未規(guī)定獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列 {Xn}服從何種概率分布 。 因此 ， 當(dāng) n充分大時(shí) ， 無(wú)論獨(dú)立同分布的 {Xn}服從何種概率分布 ， 其部分和標(biāo)準(zhǔn)化后的分布都可以近似地用正態(tài)分布代替 (即定理 )。 122121()11( ) d2nnunxknk lim P X X X n μ xσ nlim P X n μ x Φ x e uσ n π? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ??????? ??? ? ? ? ?????????? ?24 設(shè) Yn=X1+X2+? +Xn為隨機(jī)變量序列的 和函數(shù) (部分和 ) E(Yn)=E(X1)+E(X2)+? +E(X n) = nμ D(Yn)=D(X1)+D(X2)+? +D(Xn) = n?2 將 Yn“標(biāo)準(zhǔn)化 ” ： “ 標(biāo)準(zhǔn)化 ” 后的 和函數(shù) 的分布函數(shù) Fn(x): 1122() 1 ()()????? ? ? ? ? ? ??nin n n innXn μY E Y Y n μX X X n μDY σ n σ nn σL12() 1( ) ( )()( ) ( ) .1由 定 理 知 ： 該 中 心 極 限 定 理 可 用 于 ： 正 態(tài) 隨 機(jī) 數(shù) 的 產(chǎn) 生 ； 誤 差 分 析 等 。nnnnnnn+Y E YF x P x P X X X n μ xDY σ nl i m F x Φ x????? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ???????應(yīng)25 說(shuō)明： 一般很難求出 n個(gè)隨機(jī)變量之和 的分布函數(shù) ，而 表明 ， 當(dāng) n充分大時(shí) ， 可以通過(guò) Φ(x)給出 近似的分布 。 由此 ， 可利用正態(tài)分布對(duì) 作理論分析或?qū)嶋H計(jì)算 。 1niiX??1 ( 0 , 1 )近 似 地nii NnXn μ????1niiX??1niiX??26 22121( 0 , 1 ) ( , )10 { }1近 似 地 近 似 地 將 上 式 左 端 改 寫(xiě) 成 ， 上 述 結(jié) 果 可寫(xiě) 成 ： 當(dāng) 充 分 大 時(shí) 這 是 獨(dú) 立 同 分 布 中 心 極 限 定 理 的 另 一 個(gè) 形或均 值 為， 方 差 為 的 獨(dú) 立 同 分 布 的 隨 機(jī) 變 量 序 列 的 算 術(shù)平 均 ， 當(dāng) 充 分 大 時(shí) 近 似 服 從 均 值 為 ， 方 差 為的 正式 ， 表 明該 結(jié) 果 是 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 中 大 樣 本態(tài) 分 統(tǒng) 計(jì) 推 斷基 礎(chǔ) 。布 的。nniiniiXX μN(yùn) X N μ nnXX X nnnnμnnX μn??????????????????27 例 已知 {Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列 ， 具有數(shù)學(xué)期望 μ=1和方差 σ2=4， 試求 P(X1+X2+? +X100≤125)。 解 由于 n較大 ,可以利用上述定理做近似計(jì)算 。 因?yàn)閚μ=100， 所以 ，20=nσ1 2 1001 2 100( 125)1 125 100()20( ) 00 20P X X XX X XPΦ? ? ? ?? ? ? ?????28 補(bǔ)充例 1 每袋味精的凈重為隨機(jī)變量 ， 平均重量為 100克 ， 標(biāo)準(zhǔn)差為 10克 。 一箱內(nèi)裝 200袋味精 ， 求一箱味精的凈重大于 20500克的概率 。 解 設(shè)箱中第 i袋味精的凈重為 Xi, 則 Xi 獨(dú)立同分布 ， 且 E[Xi]=100， Var[Xi] =100， 由中心極限定理 ， 所求概率為： 故一箱味精的凈重大于 20500克的概率為 (很小 )。 20012 0 5 0 0 2 0 0 1 0 02 0 5 0 0 12 0 0 1 0 01 ( 3 .5 4 ) 0 .0 0 0 2????? ??? ? ??? ???????? ? ?? iiPX ??29
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