lebesgue積分極限定理(編輯修改稿)
2025-02-15 09:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 i m l i m 。nnEEnnf x dx f x dx? ? ? ????g ..nf g a e??若存在可積函數(shù) ，則； 13 , ( )kE f E??MMl im ( ) ( ) . .kk f x f x a e?? ?? ?,nf f L E?定理 (Lebesgue控制收斂定理 ) 設(shè) 且有 ? ?F L E? | ( ) | ( ) . .nf x F x a e?若存在 使得 ，則 l im ( ) ( )kk EEf x dx f x dx?????且 F ? ?kf注：可積函數(shù) 稱為函數(shù)列 的控制函數(shù)。 左側(cè)極限存在？ 證明：由于 l im ( ) ( ) . .kk f x f x a e?? ?為可測函數(shù)。進(jìn)而由 f | ( ) | ( ) . .nf x F x a e?? ?,nf f L E?因此 | | . .f F a e?知： E考慮 上可積函數(shù)列 ( ) | ( ) ( ) |, 1 , 2 ,kkg x f x f x k? ? ?0 | ( ) | 2 ( ) 1 , 2 ,kg x F x k? ? ?由于 由 Fatou引理， 14 2 ( )l i m ( ( ) )kkEgxx xF d???? 2 ( )l im ( ( ) )kkEgxFx xd?????15 即 l im2 ( ) 2 ( ) l i( () m)kkEkkE EEF x dx F x dx gg xdd xxx ????? ? ???? ?l im ( ) 0 , . .kk g x a e?? ? l im ( ) 0kkEg x dx???? ，l im ( ) k Eg x dx????由于 得 即 ? ? ? ? ? ? ,nnE E Ef x dx f x dx g x dx??? ? ?最后，由 n ??令 ，即知命題成立。 ( ) | ( ) ( ) |, 1 , 2 ,kkg x f x f x k? ? ?..nf F a e?? ? ()kf L E?mnff???E?M ? ? ()nfE? M推論 ， ，且 ? ?F L E??若 ，滿足 ，則 ， ? ? ? ?l im nEEn f x d x f x d x?? ???且 17 l im ( ) Eg x dx?? ??( ) | ( ) ( ) |, 1 , 2 ,nng x f x f x n? ? ?記： 類似上面定理，只需要證明 mnff???證明：由于 ..knf f a e?由 Riesz定理，存在子列 由 Lebesgue控制收斂定理， ? ?f L E?18 ( )
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