考研數學概率名師精華講義e極限定理(編輯修改稿)
2024-10-10 01:47 本頁面
【文章內容簡介】 率 p 的絕對偏差不小于 Δ 的概率 ? ? ?? ??? pf nP ． () 試利用中心極限定理， (1) 根據 ?和n 求 ? 的近似值； (2) 根據 ?和n 估計 ? 的近似值； (3) 根據??和 估計 n． 解 變量 n? 服從參數為 ),( pn 的二項分布．記 pq ??1 ，則由（ ）知，當n 充分大時 n? 近似服從正態(tài)分布 ),( npqnpN ．因此，近似地有 ? ? ? ? ，～ )1,0(~???????? ?????????????????? ??????uUpqnn p qnppnpfNn p qnpUnnnnnPPPP () 其中 U 是服從 )1,0(N 的隨機變量，而 ?u 是 )1,0(N 水平 ? 雙側分位數 (附表 2)．故 ?? upqn ?． () (1) 已知 n 和 ? ， 求 ? ．利用附表 1，可以由（ ）求出 ? 的值 (附表 1)．例如，若 ()式左側等于 ，則 ?? ．亦可由下式求 ? 的近似值．有 ． 12 1 ???????? ???????????????? ????????? ??? pqnpqnUpqnn p qnpn ?????? PP () 進而由 )1,0(N 分布函數 )(x? 的數值表（附表 1）最后求出 ? 的值． (2) 已知 n 和 ? ， 求 ? ．由（ *）和 41?pq ，可見 nunpqu 2 ??? ??； () (3) 已知 ? 和 ? ，求 n．由（ ）和 pq? 1/4，可見 — — 2??????? ??upqn 或 2241 ?????????????? ?? ??upqun ． () 例 （棣莫佛 拉普拉斯定理） 假設某單位交換臺有 n 部分機， k 條外線，每部分機呼叫外線的概率為 p ．利用中心極限定理，解下列問題： (1) 設 n =200， k =30， p =，求每部分機呼叫外線時能及時得到滿足的概率 ? 的近似值． (2) 設 n =200， p =，問為使每部分機呼叫外線時能及時得到滿足的概率? ? 95%，至少需要設置多少條外線？ (3) k =30， p =，問為使每部分機呼叫外線時能及時得到滿足的概率? ? 95%，最多可以容納多少部分機？ 解 設 n? —— n 部分機中同時呼叫外線的分機數， k—— 外線條數，則 n? 服從參數為 (n, p)的二項分布， ?np 24， npq =．當 n 充分大時，根據棣莫佛 拉普拉斯中心極限定理，近似地 )1 ,0(~ NnpqnpU nn ?? ? ． (1) 設 n =200， k =30， p =，每部分機呼叫外線時能及時得到滿足的概率 ? ? ? ? ． 9 0 4 243030 ???????? ???????? ?????? ????? n p qnpnn PP (2) 設 n =200， p =， k —— 至少需要設置的外線條數，則 ? ?．，； 3 1 . 5 4 4 1 .6 4 4 9242424????????????? ???????? ??????kkkkn p qnpk nn ???? PP 即至少需要設置 32 外線． (3) 設 k =30， p =，且每部分機呼叫外線時能及時得到滿足的概率?? 95%．由 ? ? 0 5 0 5 ??????? ???????? ?????? nnnnn p qnpnn ???? PP ， ?? nn ． — — 090 048 64 2 ????? nnnn ， 它有兩個實根： 3 3 1 0 4 3 1,7 9 7 8 8 21 ?? nn ；經驗證 3 104312 ?n 為增根，由此得 n? ，即最多可以容納 188 部分機． 例 （列維 林德伯格定理） 設 nXXX , 21 ? 是獨立同分布隨機變量，nX 是其算術平均值．考慮概率 ? ? ??? ???nXP ， () 其中 ??iXE ? ?ni .,2,1 ?? ， ? ?0??? 和 ? (0? 1)是給定的實數．試利用中心極限定理，根據給定的， (1) ?和n ，求 ? 的近似值； (2) ?和n ，求 ? 的近似值； (3) ??和 ，估計 n． 解 式（ ）中的三個數 ),( ??n 相互聯(lián)系
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