【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?????????????????????????????????????????????????????????貝 努利 概 型貝 葉斯公式/)(獨(dú)立性全概公式和乘法公式條件概率減法加法五大公式幾何概型古典概型隨機(jī)事件樣本空間基本事件隨機(jī)試驗(yàn) BCCBCBCBAPAE? 重要公式和結(jié)論 （ 1）排列組合公式 )!( !nmmPnm ?? 從 m 個(gè)人中挑出 n 個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。 )!(! ! nmn mC nm ?? 從 m 個(gè)人中挑出 n 個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。 （ 2）加法和乘法原理 加法原理（兩種方法均能完成此事）： m+n 某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由 m 種方法完成，第二種方法可由 n種方法來(lái)完成，則這件事可由 m+n 種方法來(lái)完成。 乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）： m179。 n 某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由 m 種方法完成，第二個(gè)步驟可由 n 種方法來(lái)完成，則這件事可由 m179。 n 種方法來(lái)完成。 （ 3）一些常見排列 重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序） 對(duì)立事件（至少有一個(gè)） 順 序問題 （ 4）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件 如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。 試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。 概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 2 （ 5）基本事件、樣本空間和事件 在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)： ①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件； ②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。 這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用 ? 來(lái)表示。 基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用 ? 表示。 一個(gè)事件就是由 ? 中的部分點(diǎn)（基本事件 ? ）組成的集合。通常用大寫字母A， B， C， ?表示事件，它們是 ? 的子集。 ? 為必然事件， 216。 為不可能事件。 不可能事件（ 216。）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為 1，而概率為 1 的事件也不一定是必然事件。 （ 6）事件的關(guān)系與運(yùn)算 ①關(guān)系： 如果事件 A 的組成部分也是事件 B 的組成部分，（ A 發(fā)生必有事件 B 發(fā)生）：BA? 如果同時(shí)有 BA? ， AB? ，則稱事件 A 與事件 B 等價(jià)，或稱 A 等于 B：A=B。 A、 B 中至少有一個(gè)發(fā)生的事件： A? B，或者 A+B。 屬于 A 而不屬于 B 的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A 與 B 的差，記為 AB，也可表 示為 AAB 或者 BA ，它表示 A 發(fā)生而 B 不發(fā)生的事件。 A、 B 同時(shí)發(fā)生： A? B，或者 AB。 A? B=216。， 則表示 A 與 B 不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件 A 與事件 B 互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。 ? A 稱為事件 A 的逆事件，或稱 A 的對(duì)立事件，記為 A 。它表示 A 不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。 ②運(yùn)算： 結(jié)合率： A(BC)=(AB)C A∪ (B∪ C)=(A∪ B)∪ C 分配率： (AB)∪ C=(A∪ C)∩ (B∪ C) (A∪ B)∩ C=(AC)∪ (BC) 德摩根率： ?????? ? 11 i ii i AA BABA ?? ? ， BABA ?? ? （ 7）概率的公理化定義 設(shè) ? 為樣本空間， A 為事件，對(duì)每一個(gè)事件 A 都有一個(gè)實(shí)數(shù) P(A)，若滿足下列三個(gè)條件： 1176。 0≤P(A) ≤ 1， 2176。 P( Ω ) =1 3176。 對(duì)于兩兩互不相容的事件 1A ， 2A ，?有 ????? ????????? 11 )(i ii i APAP ? 常稱為可列（完全）可加性。 則稱 P(A)為事件 A 的概率。 （ 8）古典概型 1176。 ? ?n??? ?21 ,?? ， 2176。 nPPPn 1)()()( 21 ??? ??? ?。 設(shè)任一事件 A ，它是由 m??? ?21, 組成的，則有 P(A)=? ?)()()( 21 m??? ???? = )()()( 21 mPPP ??? ??? ? nm? 基本事件總數(shù)所包含的基本事件數(shù)A? （ 9）幾何 若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空 概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 3 概型 間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件 A， )( )()( ?? L ALAP。其中 L 為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積） 。 （ 10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) 當(dāng) P(AB)＝ 0 時(shí)， P(A+B)=P(A)+P(B) （ 11）減法公式 P(AB)=P(A)P(AB) 當(dāng) B? A 時(shí)， P(AB)=P(A)P(B) 當(dāng) A=Ω時(shí)， P(B )=1 P(B) （ 12）條件概率 定義 設(shè) A、 B 是兩個(gè)事件，且 P(A)0，則稱)( )( APABP為事件 A 發(fā)生條件下，事件 B 發(fā)生的條件概率，記為 ?)/( ABP)( )( APABP。 條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。 例如 P(Ω /B)=1? P(B /A)=1P(B/A) （ 13）乘法公式 乘法公式： )/()()( ABPAPABP ? 更一般地，對(duì)事件 A1， A2，? An，若 P(A1A2? An1)0，則有 21( AAP ? )nA )|()|()( 213121 AAAPAAPAP? ?? 21|( AAP n ?)1?nA 。 （ 14）獨(dú)立性 ①兩個(gè)事件的獨(dú)立性 設(shè)事件 A 、 B 滿足 )()()( BPAPABP ? ，則稱事件 A 、 B 是相互獨(dú)立的。 若事件 A 、 B 相互獨(dú)立，且 0)( ?AP ，則有 )()( )()()( )()|( BPAP BPAPAP ABPABP ??? 若事件 A 、 B 相互獨(dú)立，則可得到 A 與 B 、 A 與 B 、 A 與 B 也都相互獨(dú)立。 必然事件 ? 和不可能事件 216。 與任何事件都相互獨(dú)立。 216。 與任何事件都互斥。 ②多個(gè)事件的獨(dú)立性 設(shè) ABC 是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件， P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A) 并且同時(shí)滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、 B、 C 相互獨(dú)立。 對(duì)于 n 個(gè)事件類似。 （ 15）全概公式 設(shè)事件 nBBB , 21 ? 滿足 1176。 nBBB , 21 ? 兩兩互不相容， ),2,1(0)( niBP i ??? ， 2176。 ?ni iBA 1?? ， 則有 )|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP ???? ?。 （ 16）貝葉斯公式 設(shè)事件 1B ， 2B ，?， nB 及 A 滿足 1176。 1B ， 2B ，?， nB 兩兩互不相容， )(BiP 0， ?i 1， 2，?， n ， 概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 4 2176。 ?ni iBA 1?? ， 0)( ?AP ， 則 ??? nj jjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/( ， i=1， 2，? n。 此公式即為貝葉斯公式。 )( iBP ，（ 1?i ， 2 ，?， n ），通常叫先驗(yàn)概率。 )/( ABP i ，（ 1?i ， 2 ，?，n ），通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。 （ 17）伯努利概型 我們作了 n 次試驗(yàn)，且滿足 ? 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果， A 發(fā)生或 A 不發(fā)生； ? n 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即 A 發(fā)生的概率每次均一樣； ? 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn) A 發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) A 發(fā)生與否是互不影響的。 這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為 n 重伯努利試驗(yàn)。 用 p 表示每次試驗(yàn) A 發(fā)生的概率，則 A 發(fā)生的概率為 qp??1 ，用 )(kPn 表示 n 重伯努利試驗(yàn)中 A 出現(xiàn) )0( nkk ?? 次的概率， knkknn qpkP C ??)( ， nk ,2,1,0 ?? 。 例 1． 1：有 5 個(gè)隊(duì)伍參加了甲 A 聯(lián)賽，兩兩之間進(jìn)行循環(huán)賽兩場(chǎng)，沒有平局，試問 總共輸?shù)膱?chǎng)次是多少？ 例 1． 2：到美利堅(jiān)去，既可以乘飛機(jī)，也可以坐輪 船，其中飛機(jī)有戰(zhàn)斗機(jī)和民航，輪船有 小鷹號(hào)和 Titanic 號(hào)，問有多少種走法？ 例 1． 3：到美利堅(jiān)去，先乘飛機(jī)，后坐輪船，其中飛機(jī)有戰(zhàn)斗機(jī)和民航，輪船有小鷹號(hào)和 Titanic 號(hào)，問有多少種走法？ 例 1． 4： 10 人中有 6 人是男性，問組成 4 人組，三男一女的組合數(shù)。 例 1． 5： 兩線段 MN和 PQ不相交，線段 MN上有 6個(gè)點(diǎn) A1， A2? ， A6，線段 PQ上有 7 個(gè)點(diǎn)B1， B2， ? ， B7。若將每一個(gè) Ai和每一個(gè) Bj連成不作延長(zhǎng)的線段AiBj(i=1,2,?6。j=1,2,?,7), 則由這些線段 AiBj相交而得到的交點(diǎn)（ 不包括 A1? ，A6， B1? ， B713 個(gè)點(diǎn)）最多有 A． 315 個(gè) B． 316 個(gè) C． 317 個(gè) D． 318 個(gè) 例 1． 6： 3 封不同的信，有 4 個(gè)信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？ 例 1． 7：某市共有 10000 輛自行車，其牌照號(hào)碼從 00001 到 10000，求有數(shù)字 8 的牌照號(hào)碼的個(gè)數(shù)。 例 1． 8： 3 白球， 2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的種數(shù)？（有序） 151513 ??CC 2112121515 ???? CCCC 例 1． 9： 3 白球， 2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的種數(shù)？（有序） 121413 ??CC 1811121415 ???? CCCC 概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 5 例 1． 10： 3 白球， 2 黑球，任取 2 球，至少一白的種數(shù)？（無(wú)序） 121413 ??CC 92225 ??CC 例 1． 11：化簡(jiǎn) (A+B)(A+B )(A +B) 例 1． 12： )()()( CBCACBA ?? ? 成立的充分條件為： (1)C A? (2) C B? 例 1． 13： 3 白球， 2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的概率？ 例 1． 14： 3 白球， 2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的概率？ 例 1． 15： 3 白球， 2 黑球，任取 2 球，至少一白的概率？ 例 1． 16：袋中裝有α個(gè)白球及β個(gè)黑球。 ①?gòu)拇腥稳?a+b 個(gè)球，試求其中含 a 個(gè)白球， b 個(gè)黑球的概率（ a≤α， b≤β）。 ②從袋中任意地接連取出 k+1（ k+1≤α +β）個(gè)球，如果取出后 不放回，試求最后取出的是白球的概率。 ③上兩題改成“放回”。 例 1． 17：從 6 雙不同的手套中任取 4 只，求其中恰有一雙配對(duì)的概率。 例 1． 18：有 5 個(gè)白色珠子和 4 個(gè)黑色珠子，從中任取 3 個(gè)，問其中至少有 1 個(gè)是黑色的概率？ 例 1． 19：設(shè) O 為正方形 ABCD[坐標(biāo)為（ 1， 1），（ 1， 1），（ 1， 1），（ 1， 1） ]中的一點(diǎn)，求其落在 x2+y2≤ 1 的概率。 例 1． 20：某市共有 10000 輛自行車，其牌照號(hào)碼從 00001到 10000，求偶然遇到的一輛自行車，其牌照號(hào)碼中有數(shù)字 8 的概率。 例 1． 21：一只袋中裝有五 只乒乓球，其中三只白色，兩只紅色?，F(xiàn)從袋中取球兩次，每次一只，取出后不再放回。試求：①兩只球都是白色的概率；②兩只球顏色不同的概率；③至少有一只白球的概率。 例 1． 22： 5 把鑰匙，只有一把能打開，如果某次打不開就扔掉，問以下事件的概率？ ①第一次打開；②第二次打開；③第三次打開。 例 1． 23：某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以 100 件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品最多不超過(guò) 3 件，并具有如下的概率： 一批產(chǎn)品中的次品數(shù) 0 1 2 3 概 率 現(xiàn)在