考研數(shù)學(xué)概率名師精華講義f抽樣分布(編輯修改稿)
2024-10-10 01:45 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． Ⅲ、典 型例題分析 〖 填空題 〗 例 （ F 分布） 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從自由度為 ),( 21 ff 的 F 分布，則隨機(jī)變量 XY 1? 服從參數(shù)為 的 分布 ． 分析 因?yàn)榉淖杂啥葹?),( 21 ff 的 F 分布的隨機(jī)變量 X，可以表示為 222121 ffX ??? ，1212221 ffXY ???? ， 其中 2221 ?? 和 獨(dú)立，分別服從自由度為 21 ff和 的 2? 分布．由 F 分布變量的典型模式，知 Y 服從自由度為 ),( 12 ff 的 F 分布． 例 （ 2? 分布） 設(shè) 4321 , XXXX 是來自正態(tài)總體 ? ?22 ,0N 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記 ? ? ? ?243221 432 XXbXXaX ???? ， 則當(dāng) ?a ， ?b 時(shí) , 統(tǒng)計(jì)量 X 服從 2? 分布，其自由度為 ． 分析 由條件知 4321 , XXXX 相互獨(dú)立且同正態(tài)分布 ? ?22 ,0N ．因此 ? ?21 2XX ? 服從正態(tài)分布? ?20,0N ，而 ? ?43 43 XX ? 服從正態(tài)分布 ? ?100,0N ，并且相互獨(dú)立．由 2? 變量典型模式知 ? ? ? ?100 43202 243221 XXXXT ???? 服從自由度為 2 的 2? 分布，從而 a=1/20 , b= 1/100． 例 （ 2? 分布） 設(shè) 4321 , XXXX 相互獨(dú)立同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， X 是算術(shù)平均值，則 24X服從參數(shù)為 的 分布． 分析 熟知 4321 XXXX ??? 服從正態(tài)分布 )4,0(N ，因此 — — ? ?44 243212 XXXXX ???? 服從自由度為“ 1”的“ 2? ” 分布． 例 （ t 分布） 假設(shè)總體 )3,0(~ 2NX ， 821 , XXX ? 是來自總體 X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量 28272625 4321 XXXXXXXXY??????? 服從參數(shù)為 的 分布． 分析 由于獨(dú)立正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，易見 ．)1,0(~6)( 43214321 4321 NXXXXXXXX XXXXU ??????? ???? D 作為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī) 變量的平方和， 9999 2822252 XXXX ???? ７６? 服從 2? 分布，自由度為 4；隨機(jī)變量 2 ?和U 顯然相互獨(dú)立．隨機(jī)變量 Y 可以表示為 ? ?4496228222541?UXXXXXXXXY ????????７６３２ ． 由 t 分布隨機(jī)變量的典型模式，可見隨機(jī)變量 Y 服從自由度為 4 的 t 分布 ． 例 （ F 分布） 設(shè) ( 1521 , XXX ? )是來自 正態(tài)總體 ? ?9,0N 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量 2152122112102221 21 XXX XXXY ??? ???? ?? 的概率分布是參數(shù)為 的 分布 ． 分析 由 2? 分布的典型模式，知 99 215211222102121 XXXX ?????? ?? ?? 和 服從自由度相應(yīng)為 10 和 5 的 2? 分布，并且相互獨(dú)立．從而，由 F 變量的典型模式，知 510 21 222121521121021????? ??? XX XXY ?? 服從自由度為 (10, 5)的 F 分布． 例 （ F分布） 設(shè) X 服從自由度為 ? 的 t 分布，則 2XY? 服從參數(shù)為 的 分布． 分析 由自由度為 ? 的 t 分布隨機(jī)變量 X 可以表示為 ???2UX ? ， 其中 2 ),1,0(~ ??NU 服從自由度為 ? 的 2? 分布，并且 2 ??和U 獨(dú)立．由 2? 分布變量的典型模式，可見 221 U?? 服從自由度為 1 的 2? 分布．因此，由 F 分布變量的典型模式， 可見隨機(jī)變量 — — ????? ?? 221222 1??? UXY 服從自由度為 (1,? )的 F 分布． 例 （ F 分布） 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布并且相互獨(dú)立，則 22 YXZ ? 服從參數(shù)為 的 分布，． 分析 由于 X 和 Y 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可見 2X 和 2Y 都服從自由度為 1 的 2? 分布．此外，由 X 和 Y 獨(dú)立，可見 2X 和 2Y ．從而，由服從 F 分布的變量的典型模式，知 22 YXZ ? 服從自由度為 (1,1)的 F 分布． 例 （ 2? 分布 ） 設(shè)總體 )2,(~)2,(~ bNYaNX ， 并且獨(dú)立；基于分別來自總體 X 和 Y 的容量相應(yīng)為 nm和 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，得樣本方差 22 yx SS和 ，則統(tǒng)計(jì)量 ? ?22 )1()1(21 yx SnSmT ???? 服從參數(shù)為 的 分布． 分析 統(tǒng)計(jì)量 T 服從自由度為 2??nm 的 2? 分布．由 ()知 2221 )1(21 )1(21 yx SnTSmT ???? ， 分別服從自由度為 m－ 1 和服從自由度為 n－ 1 的 2? 分布，并且相互獨(dú)立．從而，由 2? 分布隨機(jī)變量的可加性知， T 服從自由度為 m+n－ 2 的 2? 分布． 例 （經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)） 設(shè)總體 X 在區(qū)間 [0,2]上服從均勻分布； ??xFn 是基于來自 X 的容量為 n 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，則對(duì)于任意 ? ?2,0?x ， ??xFnE = ． 分析 總體 X 的分布函數(shù)為 ??xF =x/2，若 ? ?2,0?x ； ??xF =0，若 ? ?2,0?x ．對(duì)于任意 ? ?2,0?x ，以 )(xn? 表示 n 次簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣事件 }{ xX? 的出現(xiàn)的次數(shù)，則 )(xn? 服從參數(shù)為 ? ?? ?xFn, 的二項(xiàng)分布，因此 )()(E xnFxn ?? ，從而 ? ? ? ? 2)( xxFn xxF nn ??? ?EE ． 例 （經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)） 設(shè)（ 2,1,5,2,1,3,1）是來自總體 X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本值，則總體 X 的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) ??xFn = . 分析 將各觀測(cè)值按從小到大的順序
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