【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 為了更好地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，并能正確地理解統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論。 1. 抽樣分布的概念樣本平均數(shù) 和樣本方差 S2是描述樣本特征的兩個(gè)最重要的統(tǒng)計(jì)量總體平均數(shù) μ和總體方差 σ2是描述總體特征的兩個(gè)最重要的參數(shù) 因此，研究總體和樣本的關(guān)系，實(shí)際就是研究： S2 σ2■ 就總體而言， μ和 σ2都是常量■從 總 體中隨機(jī)地抽取若干個(gè)體所 組 成的 樣 本，即使每次抽取的 樣 本容量都相等，每一個(gè) 樣 本所得到的 樣 本平均數(shù) 也不可能都相等，同時(shí)也不可能就等于總體平均數(shù) μ 樣本統(tǒng)計(jì)量將隨樣本的不同而有所不同，因而樣本統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，也有其概率分布 樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱(chēng)為抽樣分布（ sampling distribution） 樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異稱(chēng)為抽樣誤差 （ sampling error） 從總體中抽取樣本的過(guò)程稱(chēng)為抽樣（ sampling） 抽樣分為復(fù)置抽樣和不復(fù)置抽樣兩種： 復(fù)置抽樣指每次抽出一個(gè)個(gè)體后，這個(gè)個(gè)體應(yīng)返回原總體 不復(fù)置抽樣指每次抽出的個(gè)體不返回原總體 ■ 對(duì)于無(wú)限總體，或者樣本容量 n與總體容量 N相比很小時(shí)，返回與否都可保證每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，復(fù)置抽樣等同于不復(fù)置抽樣 ■ 對(duì)于有限總體，應(yīng)該采取復(fù)置抽樣，否則各個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)就不相等在實(shí)際操作中，均為不復(fù)置抽樣 在理論研究中則以復(fù)置抽樣為主 2. 樣本平均數(shù)的抽樣分布 樣本平均數(shù)抽樣分布的概念從總體容量為 N的總體中進(jìn)行抽樣，如果每個(gè)樣本的樣本容量均為 n， 將所有這樣的樣本都抽出來(lái)，并計(jì)算出每一個(gè)樣本的平均數(shù)原來(lái)的那個(gè)總體，稱(chēng)為原總體 由樣本平均數(shù)組成的分布稱(chēng)為樣本平均數(shù)的抽樣分布 如果原總體的平均數(shù)為 μ， 標(biāo)準(zhǔn)差為 σ， 那么樣本平均數(shù)抽樣總體：平均數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)差為： 稱(chēng)為樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)誤差 簡(jiǎn)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)誤（ standard error） 由這些樣本平均數(shù)組成的新總體，就稱(chēng)為樣本平均數(shù)抽樣總體。 標(biāo)準(zhǔn)誤表示平均數(shù)抽樣誤差的大小，反映樣本平均數(shù)與新總體平均數(shù)之間的離散程度。 ■ 標(biāo)準(zhǔn)差表示的是原總體中原始數(shù)據(jù)與原總體平均數(shù)的關(guān)系 ■ 標(biāo)準(zhǔn)誤表示的是從原總體中抽取的樣本平均數(shù)與樣本平均數(shù)抽樣總體平均數(shù)的關(guān)系 研究總體與樣本的關(guān)系就轉(zhuǎn)化成了討論原總體與樣本平均數(shù)抽樣總體的關(guān)系：例 6： 設(shè)有一總體，總體容量為 N=3， 觀(guān)測(cè)值分別為 6，以樣本容量n=2對(duì)該總體進(jìn)行復(fù)置抽樣，證明： （ 1）（ 2）原總體的總體平均數(shù)為：（ 1）以樣本容量 n = 2對(duì)該總體進(jìn)行復(fù)置抽樣，則樣本平均數(shù)抽樣總體為： 樣本平均數(shù)抽樣總體的總體容量為： 樣本平均數(shù)抽樣總體的總體平均數(shù)為： （ 2） 原總體的總體標(biāo)準(zhǔn)差為：樣本平均數(shù)抽樣總體的總體標(biāo)準(zhǔn)差為： 樣本平均數(shù)抽樣分布的特點(diǎn)（ 1）樣本平均數(shù)抽樣總體的總體平均數(shù)與原總體的總體平均數(shù)相等，因此，可用 μ代替（ 2）樣本平均數(shù)抽樣總體的方差與原總體的方差的關(guān)系為 （ 3）當(dāng)隨機(jī)變量 x～ N（ μ,σ2） 時(shí)，樣本平均數(shù) 當(dāng)隨機(jī)變量 x不呈正態(tài)分布或分布未知時(shí)，只要樣本容量 n不斷增大（或足夠大），則樣本平均數(shù)的分布逐漸趨向于正態(tài)分布，且平均數(shù)為 μ，方差為 中心極限定理 樣本平均值 服從或近似服從正態(tài)分布 σ 與 的關(guān)系（ 1） （ 2） σ表示原總體中各觀(guān)測(cè)值的離散程度 表示樣本平均數(shù)抽樣總體中各樣本平均數(shù)的離散程度（ 3） σ是總體中各觀(guān)測(cè)值變異程度的度量值 是樣本平均數(shù)抽樣誤差的度量值是用來(lái)衡量樣本平均數(shù)代表總體平均數(shù)的代表程度的（ 4） σ稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差，用 Sd表示 稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)誤，用 Se表示 4. t分布（不要求） t分布的定義設(shè)有服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量 x， 正 態(tài) 分布的 標(biāo) 準(zhǔn)化公式 為 ： 對(duì)于總體方差 σ2已知的總體， 根據(jù)公式可以計(jì)算出隨機(jī)變量 x在某一區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率： 對(duì)于總體方差 σ2已知的總體，根據(jù)公式可以知道 樣本平均數(shù)樣本平均數(shù) 在某一區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率，公式為： 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布附：服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布假如 σ2未知，而且樣本容量又比較?。?n≤30） 時(shí)： 標(biāo)準(zhǔn)化公式可變換為：t統(tǒng)計(jì)量組成的分布，就稱(chēng)為 t分布（ tdistribution） 不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t分布是一組曲線(xiàn)，自由度不同，曲線(xiàn)不同，但均以 y軸為對(duì)稱(chēng) t分布只有一個(gè)參數(shù)，即自由度 dft分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為： μ＝ 0 （ df 1） （ df 2）服從 t分布 t分布的特點(diǎn)（ 1） t分布為對(duì)稱(chēng)分布，關(guān)于 t=0對(duì)稱(chēng)；只有一個(gè)峰，峰值在 t=0處；與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線(xiàn)相比， t分布曲線(xiàn)頂部略低，兩尾部稍高而平 （ 2） t分布曲線(xiàn)受自由度 df 的影響，自由度越小，離散程度越大（ 3） t分布的極限是正態(tài)分布。 df越大， t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 當(dāng) n 30時(shí)， t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很??； n 100時(shí)， t分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同； n→∞ 時(shí)， t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致 t分布的概率計(jì)算附表 4給出了 t分布的兩尾臨界值 當(dāng)左尾和右尾的概率之和為 ?（每側(cè)為 ?/2）時(shí)， t分布在橫坐標(biāo)上的臨界值的絕對(duì)值，記為 t?例 7：根據(jù)附表 4查出相應(yīng)的臨界 t值 ：（ 1） df =9， α=； （ 2） df =9， α=從一個(gè)平均數(shù)為 μ， 方差為 σ2的正態(tài)總體中，進(jìn)行獨(dú)立地抽樣，可獲得隨機(jī)變量 x， 則其標(biāo)準(zhǔn)離差： ~ N（ 0,1）如果連續(xù)進(jìn)行 n次獨(dú)立抽樣，可得 n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差 ui， 對(duì)這 n個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差 ui進(jìn)行平方求和就得到一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量χ2:5. χ2分布（不要求） χ2分布的定義如果用樣本進(jìn)行計(jì)算：由這些 χ2值所組成的一個(gè)分布，就稱(chēng)之為 χ2分布（ χ2distribution） χ2分布的特點(diǎn)（ 1） χ2分布的取值范圍為 [0， +∞），無(wú)負(fù)值（ 2） χ2分布的平均數(shù)為： 方差為： （ 3） χ2分布的形狀決定于自由度 df 當(dāng) df =1時(shí)，曲線(xiàn)呈反 J形 隨著 df 的增大，曲線(xiàn)漸趨對(duì)稱(chēng) 當(dāng) df 30時(shí)，向正態(tài)分布漸近 （ 4） χ2還可以定義為理論次數(shù)與觀(guān)察次數(shù)間的符合程度 （離散型變量）O — 觀(guān)察次數(shù) E — 理論次數(shù) χ2分布的概率計(jì)算附表 3給出了 χ 2分布的右尾臨界值 當(dāng)右尾概率為 ?時(shí)， χ2分布在橫坐標(biāo)上的臨界值的絕對(duì)值，記為例 8：根據(jù)附表 3查出相應(yīng)的右尾臨界 χ2值 ： （ 1） df =9， α=；（ 2） df =9， α=如果計(jì)算左尾概率為 ? 時(shí) ?2分布的臨界值，只需查右尾