【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? 也稱為總體百分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。 ?? ?p n/)]1([ ??? ???p?51 理論分布 ? 第三節(jié) 泊松分布 ? 泊松分布是一種可以用來描述和分析隨機(jī)地發(fā)生在單位空間或時(shí)間里的 稀有事件 的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量 n 必須很大 。 ? 在生物學(xué)研究中，服從泊松分布的隨機(jī)變量是常見的。如， 一定群體中某種患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)，群體中遺傳的畸形怪胎數(shù)，每升飲水中大腸桿菌數(shù)，計(jì)數(shù)器小方格中血球數(shù)，單位空間中某些野生動(dòng)物或昆蟲數(shù)等，都是服從泊松分布的。 52 理論分布 ? 一、泊松分布的意義 ? 在二項(xiàng)分布中，當(dāng)某事件出現(xiàn)的概率特別小( )，而樣本含量又很大 ( )且 時(shí)，二項(xiàng)分布就變成泊松分布 (Poisson distribution)，具有概率密度函數(shù)： ? 其中 ； e=… 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，稱 y服從參數(shù)為 的泊松分布， 記為 ～ 。 ?，，yeyeyypyy10!!)( ??? ? ?? ??0?? ??n ?? ?n0??? y )(?P53 理論分布 ? 二、泊松分布的特征數(shù) ? 泊松分布的平均數(shù)： ? 即泊松分布的平均數(shù)為概率密度函數(shù)中的 。 ? 泊松分布的方差： ? 即泊松分布的方差為概率密度函數(shù)中的 。 ? 所以，泊松分布具有重要特征： ? 平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù) 。 ? 泊松分布的偏斜度： ? 泊松分布的峭度： ? 當(dāng) (≥20)很大時(shí)，泊松分布近似于正態(tài)分布。 ??? ?? ?2??? ?? /11 ? ?? /12 ??54 理論分布 ? 例 調(diào)查某種豬場(chǎng)閉鎖育種群仔豬畸形數(shù)，共記錄 200窩， 畸形仔豬數(shù)的分布情況如表所示。試判斷畸形仔豬數(shù)是否服從泊松分布。 ? 樣本均數(shù)和方差： ? 樣本均數(shù)和方差兩個(gè)數(shù)是相當(dāng)接近的， 因此可以認(rèn)為畸形仔豬數(shù)服從泊松分布。 ?? ? nfyy /)( 222 ???? ??nnfyfys55 理論分布 ? 將 代替公式中的 得： ? ? =，畸形仔豬數(shù)各項(xiàng)的概率為： ? P(y=0)=／ (0! )= ? P(y=1)=／ (1! )= ? P(y=2)=／ (2! )= ? P(y=3)=／ (3! )= ? P(y=4)=／ (4! )= ? 把上面各項(xiàng)概率乘以總觀察窩數(shù) (n=200)即得各項(xiàng)按泊松分布的理論窩數(shù)。 ?y ? ?，，yeyeyypyy10!!)( ??? ?? ??56 理論分布 ? 表 畸形仔豬數(shù)的泊松分布 ? 將實(shí)際計(jì)算得的頻率與根據(jù) =布計(jì)算的概率相比較 ，發(fā)現(xiàn)畸形仔豬的頻率分布與 = 的泊松分布是吻合得很好的 。這進(jìn)一步說明了畸形仔豬數(shù)是服從泊松分布的。 ??57 理論分布 ? 第三節(jié) 泊松分布 ? P47例 58 理論分布 ? 例 為監(jiān)測(cè)飲用水的污染情況， 現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù) ， 共得 400個(gè)記錄如下： ? 試分析飲用水中細(xì)菌數(shù)的分布是否服從泊松分布。若服從，按泊松分布計(jì)算每毫升水中細(xì)菌數(shù)的概率及理論次數(shù)并將頻率分布與泊松分布作直觀比較。 59 理論分布 ? 經(jīng)計(jì)算得每毫升水中平均細(xì)菌數(shù)和方差： ? 兩者很接近， 故可認(rèn)為每毫升水中細(xì)菌數(shù)服從泊松分布。 ? 將 代替公式中的 得： ? 計(jì)算結(jié)果如下表： ?? ? nfyy /)( 222 ???? ??nnfyfys?y ? ?，，yeyeyypyy10!!)( ??? ?? ??60 理論分布 ? 表 細(xì)菌數(shù)的泊松分布 ? 可見細(xì)菌數(shù)的頻率分布與 的泊松分布是相當(dāng)吻合的 ， 進(jìn)一步說明用泊松分布描述單位容積 (或面積 )中細(xì)菌數(shù)的分布是適宜的。 ?y61 理論分布 ? 第四節(jié) 正態(tài)分布 ? 正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，還有不少隨機(jī)變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中 ，均占有重要的地位。 62 理論分布 ? 一、正態(tài)分布的定義及其特征 ? (一 ) 正態(tài)分布的定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量 Y的概率分布密度函數(shù)為： ? ? 其中 μ為平均數(shù)， 為方差，則稱隨機(jī)變量 Y服從正態(tài)分布 (normal distribution)， 記為 Y～N(μ， )。 021)( 222)(??? ?????，y，eyfy??????2?2?63 理論分布 64 理論分布 ? 對(duì)于任意正態(tài)分布，隨機(jī)變量 Y的值落入任意區(qū)間 (a， b)的概率為： ? 相應(yīng)的累積分布函數(shù)為： dyedyyfbYaP bayba ?????? 222)(21)()( ? ????? dzedzzfyYPyF y zy ??????????? 222)(21)()()( ? ????65 理論分布 ? (二 ) 正態(tài)分布的特征 ? 正態(tài)分布密度曲線是單峰、對(duì)稱的懸鐘形曲線，對(duì)稱軸為y=μ； ? f(y) 在 y =μ 處達(dá)到極大 ， 極大值 ； ? f(y)是非負(fù)函數(shù)，以 x軸為漸近線，分布從 ∞ 至 +∞ ； ? 曲線在 y=μ177。 σ處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即曲線在 (∞,μ σ)和(μ+σ,+∞) 區(qū)間上是下凸的，在 [μσ,μ+σ]區(qū)間內(nèi)是上凸的； ? 正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即平均數(shù) μ和標(biāo)準(zhǔn)差 σ。 ? μ是位置參數(shù)，如 圖 4—8所示。 當(dāng) σ恒定時(shí)， μ愈大，則曲線沿 x軸愈向右移動(dòng)；反之， μ愈小，曲線沿 x軸愈向左移動(dòng)。 ? σ是變異度參數(shù)， 如 圖 4—9所示 。 ? 分布密度曲線與橫軸所夾的面積為 1， ??? 21)( ?f66 理論分布 二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 由上述正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布是依賴于參數(shù) μ和 (或 σ) 的一簇分布， 正態(tài)曲線之位置及形態(tài)隨 μ和 的不同而不同。 這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難。 以一個(gè)新變數(shù) u替代 y變數(shù)，即將 y離其平均數(shù)的差數(shù)，以 σ為單位進(jìn)行轉(zhuǎn)換，于是 。 u稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差。 2?2? ? ? )( ?? yu67 理論分布 ? 由之可將正態(tài)分布的概率密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù) 為： ? 我們稱 的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)。 記作 u～N(0， 1)。 ? 累積分布函數(shù)為： ???? ? ?? u，euu2221)(?? 10 2 ?? ?? ， dueuUPu u u?????? 22121)()(?? ?68 理論分布 69 理論分布 ? 三、正態(tài)分布的概率計(jì)算 ? （一）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算 ? 設(shè) u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 u在 [u1， u2)內(nèi)取值的概率為： ? ? ＝ Φ(u2)－ Φ(u1) ? Φ(u1)與 Φ(u2)可由附表 2查得。 dueduedueuuuPu uu uuuu???????????????122221221212121212121)(???70 理論分布 ? 由公式及正態(tài)分布的對(duì)稱性可推出下列關(guān)系式，再借助附表 2 ，便能很方便地計(jì)算有關(guān)概率： ? P(0≤U＜ u1)＝ Φ(u1) ? P(U≥u1) =Φ(u1) ? P(｜ U｜ ≥u1)=2Φ(u1) ? P(｜ U｜＜ u1＝＝ 12Φ(u1) ? P(u1≤U＜ u2)＝ Φ(u2)Φ(u1) 71 理論分布 ? 例 已知 u～ N(0， 1)，試求： ? (1) P(u＜ )＝ ? ? (2) P (u≥)=? ? (3) P (｜ u｜ ≥)=? ? (4) P(≤u＜ ) =? 72 理論分布 查附表 2得： (1) P(u＜ )= (2) P (u≥)=Φ()= (3) P (｜ u｜ ≥) =2Φ()=2 = (4) P (≤u＜ ) =Φ()Φ() == 73 理論分布 74 理論分布 ? 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記： ? P（ 1≤u＜ 1） = ? P（ 2≤u＜ 2） = ? P（ 3≤u＜ 3） = ? P (≤u＜ )= ? P (≤u＜ )= 75 理論分布 ? u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為： ? P(｜ u｜ ≥1)=2Φ(1)=1 P(1≤u＜ 1) == ? P(｜ u｜ ≥2)=2Φ(2) =1 P（ 2≤u＜ 2） == ? P(｜ u｜ ≥3)== ? P(｜ u｜ ≥)== ? P(｜ u｜ ≥)== 76 理論分布 ? （二）一般正態(tài)分布的概率計(jì)算 ? 正 態(tài) 分 布 密度曲線和橫軸圍成的一個(gè)區(qū)域，其面積為 1，這實(shí)際上表明了“隨機(jī)變量 Y取值在∞ 與 +∞