【文章內容簡介】 ? ? 也稱為總體百分數標準誤。 ?? ?p n/)]1([ ??? ???p?51 理論分布 ? 第三節(jié) 泊松分布 ? 泊松分布是一種可以用來描述和分析隨機地發(fā)生在單位空間或時間里的 稀有事件 的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量 n 必須很大 。 ? 在生物學研究中，服從泊松分布的隨機變量是常見的。如， 一定群體中某種患病率很低的非傳染性疾病患病數或死亡數，群體中遺傳的畸形怪胎數，每升飲水中大腸桿菌數，計數器小方格中血球數，單位空間中某些野生動物或昆蟲數等，都是服從泊松分布的。 52 理論分布 ? 一、泊松分布的意義 ? 在二項分布中，當某事件出現的概率特別小( )，而樣本含量又很大 ( )且 時，二項分布就變成泊松分布 (Poisson distribution)，具有概率密度函數： ? 其中 ； e=… 是自然對數的底數，稱 y服從參數為 的泊松分布， 記為 ～ 。 ?，，yeyeyypyy10!!)( ??? ? ?? ??0?? ??n ?? ?n0??? y )(?P53 理論分布 ? 二、泊松分布的特征數 ? 泊松分布的平均數： ? 即泊松分布的平均數為概率密度函數中的 。 ? 泊松分布的方差： ? 即泊松分布的方差為概率密度函數中的 。 ? 所以，泊松分布具有重要特征： ? 平均數和方差相等，都等于常數 。 ? 泊松分布的偏斜度： ? 泊松分布的峭度： ? 當 (≥20)很大時，泊松分布近似于正態(tài)分布。 ??? ?? ?2??? ?? /11 ? ?? /12 ??54 理論分布 ? 例 調查某種豬場閉鎖育種群仔豬畸形數，共記錄 200窩， 畸形仔豬數的分布情況如表所示。試判斷畸形仔豬數是否服從泊松分布。 ? 樣本均數和方差： ? 樣本均數和方差兩個數是相當接近的， 因此可以認為畸形仔豬數服從泊松分布。 ?? ? nfyy /)( 222 ???? ??nnfyfys55 理論分布 ? 將 代替公式中的 得： ? ? =，畸形仔豬數各項的概率為： ? P(y=0)=／ (0! )= ? P(y=1)=／ (1! )= ? P(y=2)=／ (2! )= ? P(y=3)=／ (3! )= ? P(y=4)=／ (4! )= ? 把上面各項概率乘以總觀察窩數 (n=200)即得各項按泊松分布的理論窩數。 ?y ? ?，，yeyeyypyy10!!)( ??? ?? ??56 理論分布 ? 表 畸形仔豬數的泊松分布 ? 將實際計算得的頻率與根據 =布計算的概率相比較 ，發(fā)現畸形仔豬的頻率分布與 = 的泊松分布是吻合得很好的 。這進一步說明了畸形仔豬數是服從泊松分布的。 ??57 理論分布 ? 第三節(jié) 泊松分布 ? P47例 58 理論分布 ? 例 為監(jiān)測飲用水的污染情況， 現檢驗某社區(qū)每毫升飲用水中細菌數 ， 共得 400個記錄如下： ? 試分析飲用水中細菌數的分布是否服從泊松分布。若服從，按泊松分布計算每毫升水中細菌數的概率及理論次數并將頻率分布與泊松分布作直觀比較。 59 理論分布 ? 經計算得每毫升水中平均細菌數和方差： ? 兩者很接近， 故可認為每毫升水中細菌數服從泊松分布。 ? 將 代替公式中的 得： ? 計算結果如下表： ?? ? nfyy /)( 222 ???? ??nnfyfys?y ? ?，，yeyeyypyy10!!)( ??? ?? ??60 理論分布 ? 表 細菌數的泊松分布 ? 可見細菌數的頻率分布與 的泊松分布是相當吻合的 ， 進一步說明用泊松分布描述單位容積 (或面積 )中細菌數的分布是適宜的。 ?y61 理論分布 ? 第四節(jié) 正態(tài)分布 ? 正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機變量的概率分布。生物現象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。許多統(tǒng)計分析方法都是以正態(tài)分布為基礎的。此外，還有不少隨機變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計學中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實際應用中 ，均占有重要的地位。 62 理論分布 ? 一、正態(tài)分布的定義及其特征 ? (一 ) 正態(tài)分布的定義 若連續(xù)型隨機變量 Y的概率分布密度函數為： ? ? 其中 μ為平均數， 為方差，則稱隨機變量 Y服從正態(tài)分布 (normal distribution)， 記為 Y～N(μ， )。 021)( 222)(??? ?????，y，eyfy??????2?2?63 理論分布 64 理論分布 ? 對于任意正態(tài)分布，隨機變量 Y的值落入任意區(qū)間 (a， b)的概率為： ? 相應的累積分布函數為： dyedyyfbYaP bayba ?????? 222)(21)()( ? ????? dzedzzfyYPyF y zy ??????????? 222)(21)()()( ? ????65 理論分布 ? (二 ) 正態(tài)分布的特征 ? 正態(tài)分布密度曲線是單峰、對稱的懸鐘形曲線，對稱軸為y=μ； ? f(y) 在 y =μ 處達到極大 ， 極大值 ； ? f(y)是非負函數，以 x軸為漸近線，分布從 ∞ 至 +∞ ； ? 曲線在 y=μ177。 σ處各有一個拐點，即曲線在 (∞,μ σ)和(μ+σ,+∞) 區(qū)間上是下凸的，在 [μσ,μ+σ]區(qū)間內是上凸的； ? 正態(tài)分布有兩個參數，即平均數 μ和標準差 σ。 ? μ是位置參數，如 圖 4—8所示。 當 σ恒定時， μ愈大，則曲線沿 x軸愈向右移動；反之， μ愈小，曲線沿 x軸愈向左移動。 ? σ是變異度參數， 如 圖 4—9所示 。 ? 分布密度曲線與橫軸所夾的面積為 1， ??? 21)( ?f66 理論分布 二、標準正態(tài)分布 由上述正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布是依賴于參數 μ和 (或 σ) 的一簇分布， 正態(tài)曲線之位置及形態(tài)隨 μ和 的不同而不同。 這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難。 以一個新變數 u替代 y變數，即將 y離其平均數的差數，以 σ為單位進行轉換，于是 。 u稱為標準正態(tài)離差。 2?2? ? ? )( ?? yu67 理論分布 ? 由之可將正態(tài)分布的概率密度函數標準化為 標準正態(tài)分布的概率密度函數 為： ? 我們稱 的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布(standard normal distribution)。 記作 u～N(0， 1)。 ? 累積分布函數為： ???? ? ?? u，euu2221)(?? 10 2 ?? ?? ， dueuUPu u u?????? 22121)()(?? ?68 理論分布 69 理論分布 ? 三、正態(tài)分布的概率計算 ? （一）標準正態(tài)分布的概率計算 ? 設 u服從標準正態(tài)分布，則 u在 [u1， u2)內取值的概率為： ? ? ＝ Φ(u2)－ Φ(u1) ? Φ(u1)與 Φ(u2)可由附表 2查得。 dueduedueuuuPu uu uuuu???????????????122221221212121212121)(???70 理論分布 ? 由公式及正態(tài)分布的對稱性可推出下列關系式，再借助附表 2 ，便能很方便地計算有關概率： ? P(0≤U＜ u1)＝ Φ(u1) ? P(U≥u1) =Φ(u1) ? P(｜ U｜ ≥u1)=2Φ(u1) ? P(｜ U｜＜ u1＝＝ 12Φ(u1) ? P(u1≤U＜ u2)＝ Φ(u2)Φ(u1) 71 理論分布 ? 例 已知 u～ N(0， 1)，試求： ? (1) P(u＜ )＝ ? ? (2) P (u≥)=? ? (3) P (｜ u｜ ≥)=? ? (4) P(≤u＜ ) =? 72 理論分布 查附表 2得： (1) P(u＜ )= (2) P (u≥)=Φ()= (3) P (｜ u｜ ≥) =2Φ()=2 = (4) P (≤u＜ ) =Φ()Φ() == 73 理論分布 74 理論分布 ? 關于標準正態(tài)分布，以下幾種概率應當熟記： ? P（ 1≤u＜ 1） = ? P（ 2≤u＜ 2） = ? P（ 3≤u＜ 3） = ? P (≤u＜ )= ? P (≤u＜ )= 75 理論分布 ? u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為： ? P(｜ u｜ ≥1)=2Φ(1)=1 P(1≤u＜ 1) == ? P(｜ u｜ ≥2)=2Φ(2) =1 P（ 2≤u＜ 2） == ? P(｜ u｜ ≥3)== ? P(｜ u｜ ≥)== ? P(｜ u｜ ≥)== 76 理論分布 ? （二）一般正態(tài)分布的概率計算 ? 正 態(tài) 分 布 密度曲線和橫軸圍成的一個區(qū)域，其面積為 1，這實際上表明了“隨機變量 Y取值在∞ 與 +∞