【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 概率應(yīng)該為 1/4。考試結(jié)束后發(fā)現(xiàn)他答對(duì)了，那么他?？荚嚱Y(jié)束后發(fā)現(xiàn)他答對(duì)了，那么他是知道正確答案情況下做對(duì)的概率是多大呢？是知道正確答案情況下做對(duì)的概率是多大呢？ 解：解： 設(shè)設(shè) A =該考生答對(duì)了該考生答對(duì)了 ， B =該考生知道正確答案該考生知道正確答案 依題意有依題意有 ：： P(B)=1/2；； P(?B)=11/2=1/2P(A|?B)=1/4P(A|B)=1統(tǒng)計(jì)學(xué)隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布 隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量的概率分布 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 幾種常用的離散型概率分布 概率密度函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量 常見的連續(xù)型概率分布統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS4531. 隨機(jī)變量就是其取值帶有隨機(jī)性的變量， 一般用 X、 Y、 Z等表示。在給定的條件下，這種變量取任何值事先不能確定，只能由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果來定，并且隨試驗(yàn)的結(jié)果而變。例如： 投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS4542.隨機(jī)變量的種類如果隨機(jī)變量的全體可能取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量稱作離散型隨機(jī)變量（如擲一枚硬幣首次出現(xiàn)正面向上所需要的投擲次數(shù)）；如果隨機(jī)變量的全體可能取值不能一一列舉，其可能的取值在數(shù)軸上是連續(xù)的，則該變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量（如可能出現(xiàn)的測(cè)量誤差） 。統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 55u 離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn) 隨機(jī)變量 可能的取值抽 查 100個(gè) 產(chǎn)品一家餐館營(yíng)業(yè)一天電腦公司一個(gè)月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個(gè)數(shù)顧 客數(shù)銷 售量顧 客性 別0,1,2, … ,1000,1,2, …0,1, 2,…男性 為 0,女性 為 1統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 56u 連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn) 隨機(jī)變量 可能的取 值抽 查 一批 電 子元件新建一座住宅樓測(cè)量一個(gè)產(chǎn)品的長(zhǎng) 度使用壽命 (小 時(shí) )半年后工程完成的百分比測(cè) 量 誤 差 (cm)X ? 00? X ?100X ? 0統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS離散型隨機(jī)變量的概率分布統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 離散型隨機(jī)變量 X的所有可能取值 x x x …… 、 xn和這些值的概率 p(x1)、 p(x2)、p(x3)、 …… 、 p(xn)就稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布。即：統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS168。離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)變量 X x1x2x3……x n概率 P p(x1)p(x2)p(x3)……p(x n)離散型隨機(jī)變量的概率分布統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS【【 例例 】】 投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個(gè)離散型投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布為隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi 1 2 3 4 5 6P(X=xi)=pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/601/6P(x)1 x2 3 4 5 6統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 61【【 例例 】】 一部電梯在一周內(nèi)發(fā)生故障的次一部電梯在一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)數(shù) X及相應(yīng)的概率如下表及相應(yīng)的概率如下表故障次數(shù) X = xi 0 1 2 3概率 P(X=xi)?pi ?一部電梯一周發(fā)生故障的次數(shù)及概率分布一部電梯一周發(fā)生故障的次數(shù)及概率分布 (1)確定確定 ?的值的值(2)求正好發(fā)生兩次故障的概率求正好發(fā)生兩次故障的概率(3)求最多發(fā)生兩次故障的概率求最多發(fā)生兩次故障的概率 (4)求求 故障次數(shù)多于一次的概率故障次數(shù)多于一次的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 62解：解： (1)由于由于 +++? =1所以，所以， ? =(2)P(X=2)=(3)P(X? 2)=++=(4)P(X?1)=+=統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 641.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1）離散型隨機(jī)變量 X的所有可能取值 xi與其取相對(duì)應(yīng)的概率 pi乘積之和2）描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度3）記為 ?或 E(X)4）計(jì)算公式為統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 652.離散型隨機(jī)變量的方差1）隨機(jī)變量 X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為 ? 2或 D(X)2）描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度3）計(jì)算公式為4）方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，記為 ?或 ?D(X)統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 66【【 例例 】】 一家電腦配件供應(yīng)商聲稱，他所提供的配一家電腦配件供應(yīng)商聲稱，他所提供的配件件 100個(gè)中擁有次品的個(gè)數(shù)及概率如下表個(gè)中擁有次品的個(gè)數(shù)及概率如下表 次品數(shù) X = xi 0 1 2 3概率 P(X=xi)?pi 每每 100個(gè)配件中的次品數(shù)及概率分布個(gè)配件中的次品數(shù)及概率分布 求該供應(yīng)商次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差求該供應(yīng)商次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS幾種常用的離散型概率分布統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 68常用離散型概率分布離散型離散型概率分布概率分布二項(xiàng)分布 兩點(diǎn)分布 泊松分布 超幾何分布統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 691.二項(xiàng)分布1）二項(xiàng)分布與伯努利試驗(yàn)有關(guān)2）伯努利試驗(yàn)滿足下列條件– 一次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，即 “成功 ”和 “失敗”? “成功 ”是指我們感興趣的某種特征– 一次試驗(yàn) “成功 ”的概率為 p ，失敗的概率為 q =1p， 且概率 p對(duì)每次試驗(yàn)都是相同的 – 試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，并 可以重復(fù)進(jìn)行 n次 – 在 n次試驗(yàn)中， “成功 ”的次數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量 X 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 703）重復(fù)進(jìn)行 n次試驗(yàn)，出現(xiàn) “成功 ”的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布，記為 X~B(n， p)4）設(shè) X為 n 次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù)， X 取 x的概率為5）二項(xiàng)分布的期望與方差：統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 71u 對(duì)于 P(X=x)?0， x=1,2,…, n，有u 同樣有統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 72【【 例例 】】 已知一批產(chǎn)品的次品率為已知一批產(chǎn)品的次品率為 4%，從中任意有放回地抽，從中任意有放回地抽取取 5個(gè)。求個(gè)。求 5個(gè)產(chǎn)品中：個(gè)產(chǎn)品中： (1)沒有次品的概率是多少？沒有次品的概率是多少？ (2)恰好有恰好有 1個(gè)次品的概率是多少？個(gè)次品的概率是多少？ (3)有有 3個(gè)以下次品的概率是多少？個(gè)以下次品的概率是多少？ 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 732.兩點(diǎn)分布（ 01分布 ）u 隨機(jī)變量 X只取 0和 1兩個(gè)可能的值。u 兩點(diǎn)分布的期望為 p，方差為 pq。當(dāng) n = 1 時(shí)，二項(xiàng)分布退化為兩點(diǎn)分布：或統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 74【【 例例 】】 已知一批產(chǎn)品的次品率為已知一批產(chǎn)品的次品率為 p＝＝ ，合格率，合格率為為 q=1p==。并指定廢品用。并指定廢品用 1表示，合表示，合格品用格品用 0表示。則任取一件為廢品或合格品這一表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X = xi 0 1P(X=xi)=pi 011 xP(x)統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 753.泊松分布1） 1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松 (， 1781— 1840)首次提出 2）用于描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在一定的長(zhǎng)度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布3）泊松分布的例子– 一定時(shí)間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)– 一定時(shí)間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)– 一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)– 一定時(shí)間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)– 一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)– 一定頁(yè)數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯(cuò)別字個(gè)數(shù) 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 76?— 給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面 積、體積內(nèi) “成功 ”的 平均數(shù)e=x — 給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面積、體積內(nèi) “成功 ”的次數(shù)4）概率分布函數(shù) X~P(?)5）泊松分布的期望和方差均為 ?統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 77【【 例例 】】 假定某航空公司預(yù)訂票處平均每小時(shí)接到假定某航空公司預(yù)訂票處平均每小時(shí)接到 42次訂票電話，那么次訂票電話，那么 10分鐘內(nèi)恰好接到分鐘內(nèi)恰好接到 6次電話的概次電話的概率是多少？率是多少？ 解：解： 設(shè)設(shè) X=10分鐘內(nèi)航空公司預(yù)訂票處接到的電話次數(shù)分鐘內(nèi)航空公司預(yù)訂票處接到的電話次數(shù) 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 78（ 1）當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù) n很大，成功的概率 p很小時(shí)，可用泊松分布來近似地計(jì)算二項(xiàng)分布的概率，即（（ 2）實(shí)際應(yīng)用）實(shí)際應(yīng)用 中，當(dāng)中，當(dāng) P?， n20，近似效，近似效果良好果良好6）泊松分布作為二項(xiàng)分布的近似統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 794.超幾何分布1）采用不重復(fù)抽樣，各次試驗(yàn)并不獨(dú)立，成功的概率也互不相等2）總體元素的數(shù)目 N很小，或?qū)嶒?yàn)次數(shù) n相對(duì)于N來說較大時(shí)，樣本中 “成功 ”的次數(shù)則服從超幾何概率分布3）概率分布函數(shù)為4）統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS3－ 80【【 例例 】】 假定有假定有 10支股票，其中有支股票，其中有 3支購(gòu)買后可以獲利，支購(gòu)買后可以獲利，另外另外 7支購(gòu)買后將會(huì)虧損。如果你打算從支購(gòu)買后將會(huì)虧損。如果你打算從 10支股票中選支股票中選擇擇 4支購(gòu)買，但你并不知道哪支購(gòu)買，但你并不知道哪 3支是獲利的，哪支是獲利的，哪 7支是虧支是虧損的。求：損的。求： (1)有有 3支能獲利的股票都被你選中的概率有多大？支能獲利的股票都被你選中的概率有多大？(2)3支可獲利的股票中有支可獲利的股票中有 2支被你選中的概率有多大？支被你選中的概率有多大？ 解：解： 設(shè)設(shè) N=10， M=3， n=4統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS概率密度函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1.連續(xù)型隨機(jī)變量的特點(diǎn)1）連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值2）它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于 03）