概率及概率分布ppt課件(編輯修改稿)
2025-06-08 08:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ?2 2 2 2 ( , )XYXY C o v X Y? ? ?? ? ? ?2 2 2 2 ( , )XYXY C o v X Y? ? ?? ? ? ?例 6：雞蛋應(yīng)該放在不同籃子里嗎？ ? 有兩個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)需投資 100萬元，預(yù)期投資回報(bào)為隨機(jī)變量。假設(shè)投資回報(bào)期望都是 10萬元，已知不確定性（標(biāo)準(zhǔn)差）都是 4萬元，且兩個(gè)項(xiàng)目之間存在相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)假設(shè)為 ?，F(xiàn)在你有 200萬元投資款，你應(yīng)該將全部資金投于一個(gè)項(xiàng)目還是分投兩個(gè)項(xiàng)目？ 分析 ? 投資（尤其是短期）決策主要考慮兩個(gè)因素：預(yù)期投資回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)。 ? 預(yù)期投資回報(bào)可以用隨機(jī)變量的期望來衡量； ? 分析則可以用隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差來衡量。 ? 若投資回報(bào)相同，則選擇風(fēng)險(xiǎn)較小的方案； ? 若投資回報(bào)不同相同，則根據(jù)決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好來選擇方案。 （另：人類是風(fēng)險(xiǎn)喜好者還是規(guī)避者？如果你是房產(chǎn)投資人，試考慮買和賣的決策過程。） 計(jì)算 ? 設(shè)隨機(jī)變量 X和 Y分別表示兩個(gè)項(xiàng)目的投資回報(bào)，則可以表示：預(yù)期回報(bào)和分析為： ,10 , 4 , Y X Y X Y? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 方案 1：分別投資于兩個(gè)項(xiàng)目，則預(yù)期回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)分別為： 22,222 0 , 2 ( , ) , ( , ) 0 .5 4 4 84 4 2 8 6 .9 3X Y X YX Y X YX Y X YXYC o v X YC o v X Y? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?方案 2：全部投資于 1個(gè)項(xiàng)目，則預(yù)期回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)分別為： ? 顯然， 方案 1優(yōu)于方案 2。 222 2 0 , 2 2 4 8XXXX??????? ? ? ?? 問題并沒有結(jié)束，試考慮： ?投資中的對沖問題； ?跨行業(yè)分散投資問題。 獨(dú)立簡單隨機(jī)樣本 ? 如果 X1,X2,…,X n為抽取自同一總體的 獨(dú)立隨機(jī)樣本 ，樣本均值 ? 則 均值的期望 為： ? 均值的方差： 111nX X Xnn??11111 1 1 1nn XXX XXnn n n n n? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?112 2 2 211 221 1 1XXX nnXXnn n n n? ? ? ? ??? ? ? ? ?例 4 ? 某機(jī)構(gòu)希望調(diào)查一個(gè)城市中居民家庭對某一商品的月均消費(fèi)水平（平均）。根據(jù)其它類似城市的調(diào)查已知該消費(fèi)值的標(biāo)準(zhǔn)差約為 50元。現(xiàn)要求本次調(diào)查的偏差（以標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)）不超過 2元，問至少需要多大的樣本容量？ 計(jì)算 ? 設(shè)隨機(jī)變量 X代表月均消費(fèi)， X1,X2,…,X n代表獨(dú)立隨機(jī)抽出的樣本，則顯然有樣本均值的期望等于總體均值： X???22 50=2X nn?? ??而樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差為： 因此，需要抽取至少 625戶。 思考： 如果只抽取一戶，誤差為多少？ 抽取 2戶呢？ 為什么要抽取那么多的樣本？ 大數(shù)定理 ? 設(shè) X1,X2,…,X n為 iid（獨(dú)立同分布）隨機(jī)變量，公共期望為 ?，方差 ?2存在且有限。則對任意給定的 e?0有： 1l i m (| | ) 01 nnniiPXX Xn?e???? ? ?? ?其 中 ：? 該定理證明了 ：當(dāng) n 很大時(shí)， Xi的平均值是依概率收斂于期望的。 Lindberg中心極限定理 ? 設(shè) X1,X2,…,X n為 iid（獨(dú)立同分布）隨機(jī)變量，公共期望為 ?，方差 ?2存在且有限。則對任意給定的實(shí)數(shù) x有： 21/21l im ( ( , , ) ) ( )1: ( )2nnxtP X X n x xnw h e r e x e d t????????? ? ? ? ? ??? ?? 換言之 ：當(dāng) n 很大時(shí)， Xi的平均值： ?(x)是 N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。 2~ ( , ) , ~ (0 , 1 )/XX N Nn n?????或課外作業(yè) ? 用 EXCEL從以下 3個(gè)分布中，分別各以樣本數(shù) n=5和 n=30進(jìn)行隨機(jī)抽樣，計(jì)算樣本均值，重復(fù) 500次，繪出 500個(gè)均值的頻數(shù)直方圖。將各個(gè)分布的圖形與 N(,)和N(,)以及 N(,)、 N(,)圖形對比。 ? 泊松分布 ： Poisson() ? 離散雙峰分布，概率分布如下： X 1 2 3 4 P(X=x) 三、常用的概率分布 伯努利分布 (Bernoulli distribution） ? 伯努利實(shí)驗(yàn)：一個(gè)實(shí)驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：“成功”和“失敗”，概率分別為 p和 1p。 ? 定義隨機(jī)變量 X：實(shí)驗(yàn)成功則 X=1，否則為 0 ? 稱 X是服從參數(shù)為 p的伯努利分布，記為： ~ ( )X Be rn oul l i p2 (1 )XXppp?????易得： 二項(xiàng)分布 (binomial distribution） ? 假設(shè)進(jìn)行了 n次獨(dú)立的伯努利實(shí)驗(yàn)，記 X為 n次試驗(yàn)中成功的總次數(shù)。 ? 稱 X是服從參數(shù)為 n和 p的二項(xiàng)分布，記為： ? 根據(jù)概率計(jì)算可得 X的概率分布函數(shù)： ~ ( , )X B in n p2 (1 )XXnpn p p?????均值和方差為： !( 1 ) 0 , 1 , ,! ( ) !( ) ( )0 o t h e rx n xn p p x nx n xp x P X x?? ??? ?? ? ????泊松分布 (Poisson distribution）
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