【文章內(nèi)容簡介】 有次品的個數(shù)及概率如下表 次品數(shù) X = xi 0 1 2 3 概率 P(X=xi)?pi 每 100個配件中的次品數(shù)及概率分布 求該供應商次品數(shù)的數(shù)學期望和標準差 ? ?????????? ?iii px?22( ) , ( ) 0 . 7 0 5 1 0 . 8 3 9 7iiiD X x p? ? ?? ? ? ??167。 連續(xù)變量的分布 ? 取連續(xù)值的變量 ， 如高度 、 長度 、重量 、 時間 、 距離等等；它們被稱為連續(xù)變量 (continuous variable)。 ? 換言之 ， 一個隨機變量如果能夠在一區(qū)間 （ 無論這個區(qū)間多么小 ） 內(nèi)取任何值 ， 則該變量稱為在此區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的 ， 其分布稱為連續(xù)型概率分布 。 ? 它們的概率分布很難準確地用離散變量概率的條形圖表示 。 167。 連續(xù)變量的分布 ? 想象連續(xù)變量觀測值的直方圖；如果其縱坐標為相對頻數(shù) ， 那么所有這些矩形條的高度和為 1；完全可以重新設置量綱 ， 使得這些矩形條的面積和為 1。 ? 不斷增加觀測值及直方圖的矩形條的數(shù)目 ， 直方圖就會越來越像一條光滑曲線 ，其下面的面積和為 1。 ? 該曲線即所謂 概率密度函數(shù) (probability density function， pdf)， 簡稱密度函數(shù)或密度 。 下圖為這樣形成的密度曲線 。 ( 1 ) ( 2 )( 3 ) ( 4 )2 0 20.00.10.20.30.4逐漸增加矩形條數(shù)目的直方圖和一個形狀類似的密度曲線。 167。 連續(xù)變量的分布 ? 連續(xù)變量落入某個區(qū)間的概率就是概率密度函數(shù)的曲線在這個區(qū)間上所覆蓋的面積；因此 ， 理論上 ， 這個概率就是密度函數(shù)在這個區(qū)間上的積分 。 ? 對于連續(xù)變量 ， 取某個特定值的概率都是零 ， 而只有變量取值于某個 （ 或若干個 ） 區(qū)間的概率才可能大于 0。 ? 連續(xù)變量密度函數(shù)曲線 （ 這里用 f表示 ）下面覆蓋的總面積為 1， 即 ( ) 1f x d x?????167。 正態(tài)分布 ? 在北京市場上的精制鹽很多是一公斤袋裝 ， 上面標有 “ 凈含量 1kg”的字樣 。 但當你用稍微精確一些的天平稱那些袋裝鹽的重量時 ， 會發(fā)現(xiàn)有些可能會重些 ，有些可能會輕些；但都是在 1kg左右 。多數(shù)離 1kg不遠 ， 離 1kg越近就越可能出現(xiàn) ， 離 1kg越遠就越不可能 。 ? 一般認為這種重量分布近似地服從最常用的 正態(tài)分布 (normal distribution， 又叫 高斯分布 ， Gaussian distribution)。 167。 正態(tài)分布 ? 近似地服從正態(tài)分布的變量很常見 ， 象測量誤差 、 商品的重量或尺寸 、 某年齡人群的身高和體重等等 。 ? 在一定條件下 ， 許多不是正態(tài)分布的樣本均值在樣本量很大時 ，也可用正態(tài)分布來近似 。 167。 正態(tài)分布 ? 正態(tài)分布的密度曲線是一個對稱的鐘型曲線 （ 最高點在均值處 ） 。 正態(tài)分布也是一族分布 ， 各種正態(tài)分布根據(jù)它們的均值和標準差不同而有區(qū)別 。 ? 一個正態(tài)分布用 N(?,?)表示；其中 ?為均值 ， 而 ?為標準差 。 也常用N(?,?2)來表示 ， 這里 ?2為方差 （ 標準差的平方 ） 。 167。 正態(tài)分布 ? 標準差為 1的正態(tài)分布 N(0, 1)稱為 標準正態(tài)分布 (standard normal distribution)。 ? 標準正態(tài)分布的密度函數(shù)用 f(x)表示 。 ? 任何具有正態(tài)分布 N(?,?)的隨機變量 X都可以用簡單的變換 （ 減去其均值 ?， 再除以標準差 ?） ： Z=(X?)/?， 而成為標準正態(tài)隨機變量 。 這種變換和標準得分的意義類似 。 4 2 0 2 4N(0,1)N(2,)兩條正態(tài)分布的密度曲線。左邊是N(2,)分布，右邊是 N(0, 1)分布 167。 正態(tài)分布 ? 當然 ， 和所有連續(xù)變量一樣 ， 正態(tài)變量落在某個區(qū)間的概率就等于在這個區(qū)間上 ， 密度曲線下面的面積 。 ? 比如 ， 標準正態(tài)分布變量落在區(qū)間 (,)中的概率 ， 就是在標準正態(tài)密度曲線下面在 間的面積 。 ? 很容易得到這個面積等于 ；也就是說 ， 標準正態(tài)變量在區(qū)間 (,)中的概率等于 。如果密度函數(shù)為 f(x)， 那么這個面積為積分 1 . 5 70 . 5 1( ) 0 . 2 4 6 8 2x d xf ??4 3 2 1 0 1 2 3 400 . 0 50 . 10 . 1 50 . 20 . 2 50 . 30 . 3 50 . 4P r o b a b i l i t y B e t w e e n L i m i t s i s 0 . 2 4 6 8 2DensityC r i t i c a l V a l u e標準正態(tài)變量在區(qū)間 (, )中的概率 167。 正態(tài)分布 ? 我們有必要引進總體的下側(cè)分位數(shù) 、 上側(cè)分位數(shù)以及相應的尾概率的概念 。 ? 對于連續(xù)型隨機變量 X， ?下側(cè)分位數(shù)（ 又稱為 ?分位數(shù) ， ?quantile） 定義為數(shù) x?， 它滿足關(guān)系 ()P X x ? ???這里的 ?又 稱為下（左）側(cè)尾概率（ lower/left tail probability） 167。 正態(tài)分布 ? 而 ?上側(cè)分位數(shù) （ 又稱 ?上 分位數(shù) ，?upper quantile） 定義為數(shù) x?， 它滿足關(guān)系 ()P X x ? ???這里的 ?也 稱為上（右）側(cè)尾概率（ upper/right tail probability）。 167。 正態(tài)分布 ? 對于非連續(xù)型的分布 ， 分位數(shù)的定義稍微復雜一些； ? 顯然 ， 對于連續(xù)分布 ， ?上側(cè)分位數(shù)等于 (1－ ?)下側(cè)分位數(shù) ， 而(1－ ?)下側(cè)分位數(shù)等于 ?上側(cè)分位數(shù) 。 167。 正態(tài)分布 ? 通常 用 z?表示標準正態(tài)分布的 ?上側(cè)分位數(shù) ， 即對于標準正態(tài)分布變量 Z， 有 P(Zz?)=?。 ? 圖 z?= 及 相 應 的 尾 概 率（ ??） 。 有些書用符號 z1－ ?而不是 z?；因此在看參考文獻時要注意符號的定義 。 3 2 1 0 1 2 300 . 0 50 . 10 . 1 50 . 20 . 2 50 . 30 . 3 50 . 4z v a l u eDensity of N(0,1)T a i l P r o b a b i l i t y f o r N ( 0 , 1 )z0 . 0 5= 1 . 6 4 5P ( z z0 . 0 5)= ? = 0 . 0 5P ( z z0 . 0 5) = 1 ? = 0 . 9 5N(0,1)分布右側(cè)尾概率 P(zz?)=?的示意圖 167。 c2分布 ? 一個由正態(tài)變量導出的分布是 c2分布 (chisquare distribution， 也翻譯為卡方分布 )。 該分布在一些檢驗中會用到 。 ? n個獨立正態(tài)變量平方和稱為有 n個自由度的 c2分布 ,記為 c2(n)。 c2分布為一族分布 , 成員由自由度區(qū)分 。 ? 由于 c2分布變量為正態(tài)變量的平方和 ， 它不會取負值 。 0 2 4 6 8 10c2(2)c2(3)c2(5)自由度為 5的 c2分布密度曲線圖 167。 t分布 ? 正態(tài)變量的樣本均值也是正態(tài)變量 ，能利用減去其均值再除以其 (總體 )標準差來得到標準正態(tài)變量 。 ? 但用樣本標準差來代替未知的總體標準差時 ， 得到的結(jié)果分布就不再是標準正態(tài)分布了 。 它的密度曲線看上去有些象標準正態(tài)分布 ， 但是中間瘦一些 ， 而且尾巴長一些 。 這種分布稱為 t分布 (tdistribution， 或?qū)W生分布 ， Student’s t)。 167。 t分布 ? 不同的樣本量通過標準化所產(chǎn)生的 t分布也不同 , 這樣就形成一族分布 。 ? t分布族中的成員是以自由度來區(qū)分的 。 這里的自由度等于樣本量減去 1（ 如果樣本量為 n， 剛才定義的 t分布的自由度為 n1） 。 ? 由于產(chǎn)生 t分布的方式很多 ， 簡單說自由度就是樣本量減 1是不準確的 。自由度甚至不一定是整數(shù) 。 4 2 0 2 4N(0,1)t(1)標準正態(tài)分布和 t(1)分布的密度圖 167。 t分布 ? 通常 用 t?表示 t分布相應于右側(cè)尾概率 ?的 t變量的 ?上側(cè)分位數(shù) ，即對于 t分布變量 T， 有 P(Tt?)=?。在突出自由度時 ， 也用 tn， ?， 也有用 t1－ ?或 tn， 1－ ?表示的 。 ? 圖 2的 t(2)分布右邊的尾概率 （ ??） 。 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 500 . 0 50 . 10 . 1 50 . 20 . 2 50 . 30 . 3 50 . 4t v a l u eDensity of t(2)T a i l P r o b a b i l i t y f o r t ( 2 )t0 . 0 5= 2 . 9 2P