【文章內容簡介】 F n n= (1222 1 21 1~ , )? ?二個正態(tài)分布的隨機變量 X和 Y具有二元正態(tài)分布(bivariable normal distribution)。 ) , ( ~ 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Y XY XY X Y X BVN Y X ? ? ? ? ? ? () 這二個變量之間的相關系數(shù)為 )/( YXXY ???? ?每一個變量具有邊緣分布 (marginal distribution)，它們也是正態(tài)分布 ),(~ 2XXNX ?? ),(~ 2YYNY ??對于二元正態(tài)分布的二個變量 ， 給定一個變量的賦值 ， 另一個變量的條件分布 (conditional distribution)也是正態(tài)分布 。 例如給定 Y = y， X的條件分布是具有均值為 和方差為 的正態(tài)分布 ))(/(YYXX y ????? ?? )1( 22 ?? ?X如果給定 X = x， Y的條件分布是具有均值為 和方差為 的正態(tài)分布 ))(/(XXYY x ????? ?? )1( 22 ?? ?Y)) 1 ( , ) )( / ( ( ~ = 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Y X X Y Y x N x X Y () ))1(,))(/((~= 22 ??????? ??? XYYXX yNyYX () . 統(tǒng)計估計量 統(tǒng)計量 (statistic)： 如果 是總體的樣本，統(tǒng)計量是樣本的已知函數(shù) ，它不包含總體分布的任何未知參數(shù)。 X X X Xi n1 2, , , , ,? ?g X X X Xi n( , , , , , )1 2 ? ?參數(shù)的估計量 (estimator)： 用于估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量。 可以有若干個估計量估計總體的某個參數(shù)。 評價估計量優(yōu)劣的二項指標： 無偏性 (unbiasedness) 對于某個參數(shù)，可能存在若干個無偏估計量。這些無偏估計量并不都是等效的。 有效性 (efficiency) 如果估計量 是參數(shù) 的點估計，并有 E[ ] = ，則 是 的無偏估計 (unbiased estimation) ??????? ??)?( 12 ??如果參數(shù)的二個無偏估計量和的方差分別為 和 ，并且 ，那么無偏估計量比無偏估計量更有效。 )?( 22 ??)?()?( 2212 ???? ?無偏估計量對于無偏估計量的相對有效性可由二個方差的比值算得 相對有效性 = () )?()?(2212????最好的估計量 (the best estimator)： 具有最小方差的無偏估計量。 如果是的一個點估計， 是 的所有其它點估計，并有 , 則 是 的最小方差估計(minimum variance estimation)。 *? ?]?[2 ?? ][ *2 ??? ?? ?用四種方法估計遺傳方差分量的偏差 (Bias)和均方誤差MSE)的比較 估計方法 Bi as MSE Bi as MSE Bi as MSE Bi as MSERE M L ? ? ?? ? 3 5 2 2 . 1 ? ? ?? 4 3 8 . 3 4 . 9 6 4 5 0 . 4 3 6 9 . 1M IN QU E( 0 ) ? ? ?? ? 5 5 0 0 . 3 ? ? ?? ? 6 4 2 . 6 8 . 1 1 7 9 0 . 9 5 2 8 . 5M IN QU E( 1 ) ? ? ?? ? 3 5 6 2 . 9 ? ? ?? ? 2 5 5 . 7 5 . 0 8 464 3 7 9 . 2M IN QU E( ? ) ? ? ?? ? 3 5 7 4 . 5 ? ? ?? ? 2 5 4 . 5 5 . 1 1 464 3 8 1 . 7V A = 1 0 0 V D = 3 0 V M = 2 0? ? ?? ?? ? ?? ?V P = 2 0? ? ?? ?? ? ?? ???? ?)?( ??E2222)(]?[)]?([])?[(])?[(M SEB i a sV arEV arE???????????????線性模型統(tǒng)計分析中常用的參數(shù)估計方法： 最小二乘法 (method of least squares) 最大似然法 (method of maximum likelihood) 如果觀察值 Yi是參數(shù) 的函數(shù) 和隨機機誤 的和 ， i = 1， 2， … ， n () 通常假設 。因而平方和 () 也可視為參數(shù) 的函數(shù)。 最小二乘估計量 (least squares estimators)： 使 Q值為最小值的參數(shù) 估計量。 ?)(?if i?iii fY ?? ?? )(0)( ?iE ???????niiniii fYQ1212 )()]([= ????現(xiàn)以一個簡單的線性模型為例 ， 說明運用最小二乘法估計參數(shù)的過程 。 如果隨機變量 Yi與變量 Xi存在如下的線性關系 ， i = 1， 2， … ， n () 其中回歸系數(shù) b0和 b1是未知的參數(shù)。平方和 Q的計算公式是 () 要估計 b0和 b1并使 Q值為最小 ， 可以分別對 b0和 b1求偏導 , () iii XbbY ???? 10????niii XbbYQ1210 )(=??????????niiiiniiiXbbYXbQXbbYbQ11011100)(2=/ )(2=/????然后用估計量 和 替代以上式子中的參數(shù) ， 并設以上偏導為零 。 解下列正規(guī)方程組 () 便可獲得二個參數(shù)的最小二乘估計量 () 0?b 1?b0)??(20)??(2110110????????????niiiiniiiXbbYXXbbYXbYbXnXYXnYXbi iiii101 1221??)/()(?????? ? ?? ?如果觀察值 Y1， Y2， … ， Yi， … ， Yn是 n個獨立的隨機變量 , 這一組觀察值的聯(lián)合概率函數(shù)為 () 這個聯(lián)合概率函數(shù)是給定一組觀察值時參數(shù) 的函數(shù) ，稱為 似然函數(shù) (likelihood function)， () 最 大 似 然 法 估 計 量 (maximum likelihood estimators)是使 L( )值為最大值的 估計量 。 ???niini yfyyyyg121 )。()...,...,( ?????niiyfL1)。()( ??? ?現(xiàn)仍以一個簡單的線性模型為例 ， 說明運用最大似然法估計參數(shù)的過程 。 如果隨機變量 Yi與變量 Xi存在如下的線性關系 (i = 1， 2，… ， n) ~ N( )() 其中回歸系數(shù) b0和 b1以及方差 是未知的參數(shù) 。 似然函數(shù)是 () iii XbbY ???? 10 210 , ?iXbb ??2?????????niiiniiXbbY,bbYf,bbL1221021210210]2)(e x p [21)。(),(?????使 L值為最大值亦即使 L的自然對數(shù)值 L為最大值 ， () 要估計回歸系數(shù) b0和 b1以及方差 并使 L值為最大 ， 可以分別對 b0和 b1以及方差 求偏導 , () ln????????niii XbbYnnL121022210 )(21ln2)2l n (2),b,(bln ?????2ln2?????????????????????niiiniiiiniiiXbbYnbbLXbbYXbbbLXbbYbbbL12104222101102121011020210)(212=)],([ l n)(1=)],([ l n)(1=)],([ l n????????然后用估計量 和 以及 替代以上式子中的參數(shù) ，并設以上偏導為零 。 解下列正規(guī)方程組 : () 0?b 1?b2??0)??(?21?20)??(?10)??(?112104211021102?????????????????n