【正文】 () 分布函數(shù)具有以下特性 (1) 0 ) ( lim ? ?? ? x F x (2) 1 ) ( lim ? ?? ? x F x (3) ) ( ) ( lim 0 x F h x F h ? ? ? (4) 如果 a b, 那么 F(a) ? F(b) (5) P(a X ? b) = F(b)F(a) 隨機(jī)變量 X的期望值 (expected value)的定義： 如果某一隨機(jī)變量 X在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的具體結(jié)果 x具有概率密度函數(shù) f(x)， X E = ) ( 如果 X 是離散隨機(jī)變量 () X E = ) ( 如果 X 是連續(xù)隨機(jī)變量 () 根據(jù)隨機(jī)變量期望值的定義，可以進(jìn)一步推算隨機(jī)變量線性函數(shù)的期望值。 ?xxxf )(????? dxxxf )(隨機(jī)變量 X和常數(shù) a和 c的線性函數(shù) (a + cX)的期望值為 E(a+cX) = E(a) + E(cX)= a+cE(X) E(aX+cY) = aE(X)+cE(Y) E(XY) = E(X)E(Y) 如果 X和 Y 是獨(dú)立的隨機(jī)變量。 a X i i i n ? ? 1 如果 X1， X2， … ， Xi， … ， Xn是 n個(gè)隨機(jī)變量，它們的線性函數(shù) 的期望值為 E a X a E X i i i n i i i n ( ( ? ? ?? ? ? 1 1 ) ) 隨機(jī)變量 X的方差 (variance)定義為 ? 2 ( } ) [ X E X E X E X E X ) = {[ ( )] = ( ( )] 2 2 2 ? ? 隨機(jī)變量 X和常數(shù) a和 c的線性函數(shù) (a+cX)的方差為 Var(a+cX) = Var(a) + Var(cX) = c2 ? 2 ( X ) 其中常數(shù)的方差為零 給定常數(shù) a， b， c和 d，則隨機(jī)變量 X和 Y的線性函數(shù)的協(xié)方差為 Cov( a + cX ， b + dY ) = cd ? ( , ) X Y 隨機(jī)變量 X與 X的協(xié)方差即為 X的方差 2 2 )] ( [ ) ( = (X) ) ( ) ( = (X)]} )][X ( {[ = ) , ( X E X E E X E XX E E X E X E X X ? ? ? ? ? 隨機(jī)變量 X和 Y的 協(xié)方差 (covariance)定義為 ) ( ) ( ) ( = )]} ( )][ ( {[ = ) , ( Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X ? ? ? ? Var ( a X i i i n ? ? 1 ) = a a X X i j i j j n i n ? ( , ) ? ? ? ? 1 1 = ? ? ? n i i i X a 1 2 2 ) ( ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ) , ( 2 n i n i j j i j i X X a a ? 如果 X1， X2， … ， Xi， … ， Xn是 n個(gè)隨機(jī)變量，它們的線性函數(shù) 的方差為 ? ? n i i i X a 1 如果 X和 Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則它們之間的協(xié)方差為零 ? ( , ) X Y = 0 ? ? n i i i X a 1 因此當(dāng) X1， X2， … ， Xi， … ， Xn是 n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)，它們的線性函數(shù) 的方差為 Var( ? ? n i i i X a 1 )= ? ? n i i i X a 1 2 2 ) ( ? 雖然協(xié)方差可以度量不同變量之間的相互關(guān)聯(lián)性 ， 但是協(xié)方差的值受到變量度量單位的影響 。 度量隨機(jī)變量 X和 Y之間相關(guān)性 ， 并不受變量度量單位影響的參數(shù)是 相關(guān)系數(shù) (correlation coefficient)， 其定義為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) X Y X Y X Y X Y 2 2 . 概率分布 離散變量的概率分布 二項(xiàng)式分布（ binomial distribution） 如果隨機(jī)變量 X在 n次獨(dú)立試驗(yàn)中成功的次數(shù)為 x，并且具有概率密度函數(shù) nxppxnx nxf n xx ,2,1,0,)(1)!(! !=)( ???則變量 X服從二項(xiàng)式分布，其中 n和 p是二個(gè)參數(shù)。 n是試驗(yàn)總數(shù)， p（ 0p1）是一次試驗(yàn)的成功概率。 二項(xiàng)式分布常用于描述 n次獨(dú)立試驗(yàn)中成功出現(xiàn)次數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 X ~ B(n, p) 具有二項(xiàng)式分布的隨機(jī)變量 X的期望值和方差是 E(X) = np = np(1p) ) (2 X ? 多項(xiàng)式分布（ multinomial distribution） 如果隨機(jī)變量 X在 n次獨(dú)立試驗(yàn)中出現(xiàn)第 i種結(jié)局次數(shù)為 xj，并且具有概率密度函數(shù) ?? ??kixikiikipxnxxxf1121!!=),( ?則變量 X服從多項(xiàng)式分布，其中參數(shù) n是試驗(yàn)總數(shù)，參數(shù) pi是一次試驗(yàn)出現(xiàn)第 i種結(jié)局的概率 多項(xiàng)式分布常用于描述 n次獨(dú)立試驗(yàn)中不同結(jié)局出現(xiàn)的次數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 具有多項(xiàng)式分布的隨機(jī)變量 X的期望值和方差是 )1()(2 iii pnpx ???E ( ix ) = inp泊松式分布 （ Poisson distribution） 如果隨機(jī)變量 X可取一切非負(fù)整數(shù)，并且具有概率密度函數(shù) ?,2,1,0,!=)( ??xxexf x ??則變量 X服從泊松分布 ， 其中 e = ?是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) ，參數(shù) ?是在給定時(shí)間 （ 或面積 、 容積等 ） 某事件出現(xiàn)的平均次數(shù) 。 泊松分布常用于描述單位時(shí)間內(nèi)某一特定事件在空間的某固定范圍內(nèi)出現(xiàn)次數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 X ~ P(?) 具有泊松分布的隨機(jī)變量 X的期望值和方差是 E ( x ) = ??? ?)(2 x連續(xù)變量的概率分布 正態(tài)分布 (normal distribution)是連續(xù)變量的一個(gè)重要的理論分布，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論和實(shí)踐中占有重要的地位。 如果隨機(jī)變量 X具有正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)是 2212)(21=)( ??????xexf ， ?????? x ( 1 . 8 )則變量 X服從正態(tài)分布，其中 e = ?是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，參數(shù) ?是均值，參數(shù) 方差。 2?具有正態(tài)分布的隨機(jī)變量 X的期望值和方差是 E(X) =μ ? ? 2 2 ( ) = X 因而隨機(jī)變量 X是具有均值為 ?和方差為的正態(tài)分布，表示為 X ~ N(?, ) 2 ? 正態(tài)性檢驗(yàn)： 偏度（ skewness）、峰度 (kurtosis)檢驗(yàn) 如果 X ~ N(?, )，樣本偏度 2 ? ???????niinniinSXXXXC12/321131])([)(?3])([)(?1221141????????niinniinKXXXXC當(dāng)樣本容量 n較大時(shí)，如果 nzC S /6|?| 2/?? ， nzC K /24|?| 2/??則可認(rèn)為所檢驗(yàn)的隨機(jī)變量不服從正態(tài)分布。 漸進(jìn)服從 N(0, ), 而樣本峰度 n 6 漸進(jìn)服從 N(0, ), n 24 正態(tài)分布 （ 100 , 100 2 ? ? ? ? ）變量的抽樣表現(xiàn) 樣本個(gè)體數(shù) n 5 50 500 平均 標(biāo)準(zhǔn)誤差 中值 樣本方差 峰值 偏斜度 均值 μ和方差是正態(tài)分布的二個(gè)參數(shù)。由于正態(tài)分布具有均值和方差二個(gè)參數(shù)，這些參數(shù)的取值不同，可以產(chǎn)生不同的正態(tài)分布。 a + cX ~ N ( a c + ?? ， c 2 ? 2 ) ac +? c 2 ? 2 如果隨機(jī)變量 X是正態(tài)分布，其線性函數(shù) a + cX也是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，具有均值 和 方差 如果 X1， X2， … ， Xi， … ， Xn是取自某總體的一個(gè)隨機(jī)樣本，該總體具有均值為 μ和方差為 的正態(tài)分布。樣本均值 是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，具有均值 μ和方差 2 ? X = ?? n i i X n 1 1 ? 2 n ， X ~ ) , ( 2 n N ? ? 。 中心極限定理 (central limit theorem)： 當(dāng)某總體具有均值為 μ和方差為 ?2 的未知分布，并且樣本容量 n趨于無窮大時(shí)，樣本均值趨近正態(tài)分布。 具有正態(tài)分布的隨機(jī)變量可以轉(zhuǎn)換成其它一些重要的概率分布。具正態(tài)分布的隨機(jī)變量 X ~ N( )，經(jīng)由標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)化 ? , ? 2 z X ? ? ? ? 產(chǎn)生的 z變量具有均值為零和方差為 1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)， z ~ N(0， 1)。 如果 z1， z2， … ， zi， … ， zv是 v個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，那么 2 2 2 2 2 1 = v i z z z z X ? ? ? ? ? ? ? 是具有自由度 (degrees of freedom， df)為 v的 x2分布 (chi square distribution)， X ~x2(v)。 v是分布的唯一參數(shù)。 如果隨機(jī)變量 X具有 x2分布，其概率密度函數(shù)是 ) 2 / ( 2 = ) ( /2 2 / 1 ) 2 / ( v e x x f x G ? ? ? ? ， 0 ? x 具有 x2分布的隨機(jī)變量X的期望值和方差是 E[X] = v ? 2 ( X ) = 2 v 如果隨機(jī)變量 X具有正態(tài)分布 X ~ N(μ， )，其樣本標(biāo)準(zhǔn)差 (standard deviation)的計(jì)算公式為 ?????nii nXXS12 )1/(])([其中 ，那么標(biāo)準(zhǔn)差的以下函數(shù)具有 分布 X Xn iin???11?2)1(~)1( 222 ?? nSn ??如果隨機(jī)變量 z ~ N( 0， 1)和 X ~ 相互獨(dú)立，那么它們的函數(shù) T ?2( )vT zX v=是具有自由度為 v的 t分布 (t distribution)，表示為 T ~ t(v)。 隨機(jī)變量 T的期望值和方差是 E[T] = 0 ? 2 ( T ) = v /( v2 ) 如果隨機(jī)變量 X具有正態(tài)分布 X ~ N( )，那么其樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的函數(shù)具有以下分布 ? , ? 2 )1,0(~/ znX? ?? )1(~)1( 222 ?? nSn ??因此隨機(jī)變量 T )1/()1(/22????nSnnXT???)1(~/??? ntnSX ?具有自由度為 (n1)的 t分布 如果隨機(jī)變量 X ~ 和 Y ~ 是相互獨(dú)立的具有 分布的變量 ,隨機(jī)變量 F是 X和 Y的函數(shù)， ?2 1( )v ?2 2( )v?2F X vY vF v v? //~ ( , )121 2并且具有 F 分布 ( F distribution) F ~ F(v1， v2)。 F分布具有兩個(gè)參數(shù)，分子自由度 v1和分母自由度 v2。 如果有二個(gè)相互獨(dú)立的 分布的隨機(jī)變量 ?2)1(~)1( 1221211 ?? nSn ??)1(~)1( 2222222 ?? nSn ??可以得到檢驗(yàn)方差分量的 F分布變量 F SSF n n= (12122222 1 21 1//~ , )??? ?當(dāng)假定成立 時(shí) 2221 ?? ?F SS