【文章內容簡介】 試驗結果必須是既在 A 中又在 B中的樣本點 , 即此點必屬于 AB. 由于我們已經知道 A已發(fā)生 , 故 A變成了新的樣本空間 , 于是 有 (1). 設 A、 B是兩個事件，且 P(A)0,則稱 (1) )()()|(APABPABP ?SAB AB條件概率的定義 為在事件 A發(fā)生的條件下 ,事件 B的條件概率 . 條件概率 P(B|A)與 P(B)的區(qū)別 每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的，設 B是隨機試驗的一個事件，則 P(B)是在該試驗條件下事件 B發(fā)生的可能性大小 . P(B)與 P(B |A)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同 ,它們是兩個不同的概念 ,在數(shù)值上一般也不同 . 而條件概率 P(B|A)是在原條件下又添加“ A發(fā)生”這個條件時 B發(fā)生的可能性大小，即 P(B|A)仍是概率 . 條件概率的性質 (自行驗證 ) 設 A是一事件，且 P(A)0,則 1. 對任一事件 B， 0≤P(B|A)≤1。 2. P (S | A) =1 ； B1,…,B … 互不相容，則 而且，前面對概率所證明的一些重要性質 都適用于條件概率 . ???????11)()(iiii ABPABPn 2)從加入條件后改變了的情況去算 條件概率的計算 1) 用定義計算 : ,)()()|(APABPABP ? P(A)0 擲骰子 例： B={擲出 2點 }， A={擲出偶數(shù)點 } P(B|A） = 31A發(fā)生后的 縮減樣本空間 所含樣本點總數(shù) 在縮減樣本空間 中 B所含樣本點 個數(shù) 例 1 擲兩顆均勻骰子 ,已知第一顆擲出 6點 ,問“擲出點數(shù)之和不小于 10”的概率是多少 ? 解法 1: )()()|(APABPABP ?解法 2: 2163)|( ??ABP解 : 設 A={第一顆擲出 6點 } B={擲出點數(shù)之和不小于 10} 應用定義 在 A發(fā)生后的 縮減樣本空間 中計算 21366363 ??例 2： 一盒子裝有 4只產品，其中有 3只一等品，1只二等品。從中取產品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。設事件 A為“第一次取到的是一等品”，事件 B為“第二次取到的是一等品”。試求條件概率 P（ B|A） 由條件概率的定義： 即 若 P(A)0,則 P(AB)=P(A)P(B|A) (2) )()()|(APABPABP ?而 P(AB)=P(BA) 乘法公式 若已知 P(A), P(B|A)時 , 可以反求 P(AB). 將 A、 B的位置對調，有 故 若 P(B)0,則 P(AB)=P(B)P(A|B) (3) 若 P(B)0, 則 P(BA)=P(B)P(A|B) (2)和 (3)式都稱為 乘法公式 , 利 用它們可計算兩 個事件同時發(fā)生 的概率 當 P(A1A2…An1)0時，有 P (A1A2…An） =P(A1)P(A2|A1) … P(An| A1A2…An1) 推廣到多個事件的乘法公式 : 例 3：設袋中裝有 r只紅球， t只白球。每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入 a只與所取出的那只球同色的球。若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、第二次取到紅球且第三、第四次取到白球的概率。 例 4：設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為 1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為 9/10。試求透鏡落下三次而未打破的概率。 例 5：某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地撥號，求他撥號不超過三次而接通所需電話的概率？若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？ 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率 , 它們實質上是加法公式和乘法公式的綜合運用 . 綜合運用 加法公式 P(A B)=P(A)+P(B) A、 B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0 ? 全概率公式和貝葉斯公式 例 1 有三個箱子，分別編號為 1,2,3， 1號箱裝有 1個紅球 4個白球， 2號箱裝有 2紅 3白球， 3號箱裝有 3紅球 . 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率 . 解：記 Bi={球取自 i號箱 }, i=1,2,3。 A ={取得紅球 } 即 ， 且 B1A、 B2A、 B3A兩兩互斥 A發(fā)生總是伴隨著 B1， B2， B3 之一同時發(fā)生， P(A)=P( B1A)+P(B2A)+P(B3A) 運用加法公式得 1 2 3 )()()( 321 ABABABA ???將此例中所用的方法推廣到一般的情形 ， 就得到在概率計算中常用的全概率公式 . 對求和中的每一項 運用乘法公式得 ???31)()()(iii BAPBPAP ｜代入數(shù)據(jù)計算得： P(A)=8/15 P(A)=P( B1A)+P(B2A)+P(B3A) 定義：設 S為試驗 E的樣本空間， n21 B,B,B ?為 E的一組事件。若 SBBB)ii(n,2,1j,i,ji,BB)i(n21ji??????????則 稱為樣本空間 S的一個劃分。 n21 B,B,B ?n21 B,B,B ?為樣本空間的一個劃分，那么對每次 試驗，事件 n21 B,B,B ?中必有一個且僅有一個發(fā)生。 全概率公式 定理：設試驗 E的樣本空間為 S， A為 E的事件， nBBB , 21 ?為 S的一個劃分，且 ),2,1(0)( niBP i ??? 則 )()|()()()()()()()(12211iniinnBPBAPBPBAPBPBAPBPBAPAP??????? ?在較復雜情況下直接計算 P(A)不易 ,但 A總是伴隨著某個 Bi出現(xiàn)，適當?shù)厝嬙爝@一組 Bi往往可以簡化計算 . ???niii BAPBPAP1)()()( ｜全概率公式的來由 , 不難由上式看出 : “全”部概率 P(A)被分解成了許多部分之和 . 它的理論和實用意義在于 : 某一事件 A的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,… ,n)， 如果 A是由原因 Bi所引起 ， 則A發(fā)生的概率是 每一原因都可能導致 A發(fā)生，故 A發(fā)生的概率是各原因引起 A發(fā)生概率的總和，即全概率公式 . P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi) 全概率公式 . 我們還可以從另一個角度去理解 例 3 甲箱中有 5個正品和 3個次品，乙箱中有 4個正品和 3個次品。從甲箱中任取 3個產品放入乙箱，然后從乙箱中任取一個產品，求這個產品是正品的概率。 例 2 采購員要購買 10個一包的電器元件，他的采購方法是：從一包中隨機抽查 3個，如果 3個元件都是好的，他才買下這一包，假定含有 4個次品的包數(shù)占 30%，而其余包中各含一個次品。求采購員拒絕購買的概率。 該球取自哪號箱的可能性最大