【正文】 互斥，且 P(A)0, P(B)0, 則 A與 B不獨立 . 反之，若 A與 B獨立，且 P(A)0,P(B)0, 則 A 、 B不互斥 . 而 P(A) ≠0, P(B) ≠0 故 A、 B不獨立 我們來計算： P(AB)=0 P(AB) ≠ P(A)P(B) 即 A BS 問：能否在樣本空間 S中找兩個事件 ,它們既相互獨立又互斥 ? 這兩個事件就是 S和 ?P( S) =P( )P(S)=0 ?? 與 S獨立且互斥 ??? ?s不難發(fā)現(xiàn)， 與任何事件都獨立 . ?設(shè) A、 B為互斥事件，且 P(A)0,P(B)0, 下面四個結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系 . 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 設(shè) A、 B為獨立事件，且 P(A)0,P(B)0, 下面四個結(jié)論中，正確的是： 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 再請你做個小練習(xí) . B=P(A)[1P(B)]= P(A) P( ) = P(A)P(AB) BP(A )= P(AA B) A、 B獨立 故 A與 獨立 . B 概率的性質(zhì) = P(A)P(A) P(B) 證明 : 僅證 A與 獨立 B容易證明 ,若兩事件 A、 B獨立，則 BABABA 與與與 ,也相互獨立 . 二、多個事件的獨立性 將兩事件獨立的定義推廣到三個事件： 對于三個事件 A、 B、 C，若 P(AB)= P(A)P(B) 四個等式同時 P(AC)= P(A)P(C) 成立 ,則稱事件 P(BC)= P(B)P(C) A、 B、 C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 獨立 . 推廣到 n個事件的獨立性定義 ,可類似寫出： 包含等式總數(shù)為： 1201)11(32??????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnn?對 n個事件 A1,A2 ....An，若對任意 k=2,3,…n和任意一組 都有 , 則稱事件 A1,A2 ....An是相互獨立的 . nii1 k1 ???? ?)A(P)A(P)A(P)AAA(P k21k21 iiiiii ?? ?請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立 的區(qū)別與聯(lián)系 兩兩獨立 相互獨立 對 n(n2)個事件 ? 對獨立事件，許多概率計算可得到簡化： 例 2 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為 1/5， 1/3， 1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：將三人編號為 1， 2， 3， 三、獨立性的概念在計算概率中的應(yīng)用 所求為 P(A1 A2 A3) 記 Ai={第 i個人破譯出密碼 } i=1,2,3 ? ?記 Ai={第 i個人破譯出密碼 } i=1,2,3 所求為 P(A1+A2+A3) 已知 , P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3) )(1 21 nAAAP ????)(1 321 AAAP??)()()(1 321 APAPAP?? =1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)] ??????n個獨立事件和的概率公式 : nAAA , 21 ?設(shè) 事件 相互獨立 ,則 ）? nAAP ???? 1(1)(1 21 nAAAP ??? )()()( nAPAPAP ?211 ?? 也相互獨立 nAAA , 21 ? 也就是說， n個獨立事件至少有一個發(fā)生 的概率等于 1減去各自對立事件概率的乘積 . )( 1 nAAP ?? ?nAAA , 21 ?則 “ 至少有一個發(fā)生” 的概率為 )()()(1 21 nAPAPAP ???,1 npp ?nAAA , 21 ?若設(shè) n個獨立事件 發(fā)生的概率 分別為 類似可以得出： nAAA , 21 ?至少有一個不發(fā)生” 的概率為 “ )( 21 nAAAP ??? ?=1 p1 … p n )1()1(1)( 11 nn ppAAP ?????? ?? 下面是一個串并聯(lián)電路示意圖 . A、 B、C、 D、 E、 F、 G、 H都是電路中的元件 . 它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率 . 求電路正常工作的概率 . A BCEDFGH P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H) 解：將電路正常工作記為 W，由于各元件獨立工作，有 其中 )()()( ?EPDPCPP(C+D+E)=1 9 3 7 )()( ?GPFPP(F+G)=1 ?P(W) 代入得 A BCEDFGH 例 2 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊 ,三人擊中的概率分別為 、 、 .飛 機被一人擊中而擊落的概率為 ,被兩人擊中而擊落的概率為 ,若三人都擊中 ,飛機必定被擊落 , 求飛機被擊落的概率 . 設(shè) A={飛機被擊落 } Bi={飛機被 i人擊中 }, i=1,2,3 由全概率公式 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3) 則 A=B1A+B2A+B3A 求解如下 : 依題意， P(A|B1)=, P(A|B2)=, P(A|B3)=1 于是 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3) = = + + 1 即飛機被擊落的概率為 . P(B1)=。P(B2)=。P(B3)= 要驗收一批（ 100件）樂器，驗收方案如下：自該批樂器中隨機地取 3件測試（設(shè) 3件樂器的測試是相互獨立的），如果 3件中至少有一件在測試中被認為音色不純，則這批樂器就被拒絕接收。設(shè)一批音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率為 ，而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認為不純的概率為 。如果已知這 100件樂器中恰有 4件是音色不純的。試問這批樂器被接收的概率是多少？ 一位老戰(zhàn)士向新伙伴介紹經(jīng)驗；當(dāng)敵人向我們的陣地打炮時，你最好滾到新彈坑里藏身 . 因為短時間內(nèi)不大可能有兩發(fā)炮彈落到同一個地點！” 他說得對嗎？ 這種想法的產(chǎn)生，是因為他們沒有認識到獨立事件的“獨立”性 . 一發(fā)炮彈落在什么地方，和另一發(fā)炮彈之間沒有關(guān)系，它們是相互獨立的 . 類似地，昨天從香港飛往紐約的飛機是否失事，與今天從北京飛往上海的飛機是否安全．它們是相互獨立的事件 . 頭胎生女生男與二胎生男生女，前幾次擲硬幣的結(jié)果與下一次出正面還是反面，都是彼此獨立的 .