概率論續(xù)(編輯修改稿)
2024-11-03 19:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 同 分 布 ， 又 E ( ) = ＝ － ，?nXXX x d x1 , .n那 么 由 辛 欽 大 數(shù) 定 律 知 ，Z 當(dāng)??? ? ? ? ?p n16 大數(shù)定律的重要意義： 貝努里大數(shù)定律建立了在大量重復(fù)獨立試驗中事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，正因為這種穩(wěn)定性，概率的概念才有客觀意義，貝努里大數(shù)定律還提供了通過試驗來確定事件概率的方法，既然頻率 nA/n與概率 p有較大偏差的可能性很小，我們便可以通過做試驗確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應(yīng)的概率估計，這種方法即是在第 7章將要介紹的參數(shù)估計法，參數(shù)估計的重要理論基礎(chǔ)之一就是大數(shù)定理。 ? ?, 0 ,5 4 1.AAnA p n nnA lim P pn??? ? ???? ? ? ? ????? 設(shè) 事 件 在 每 次 試 驗 中 發(fā) 生 的 概 率 為 ， 記 為 次 獨 立 重 復(fù) 試 驗 中 發(fā) 生 的 次 數(shù) 則 有定 理 貝 努 里 大：數(shù) 定 律? ?,An b n p?證明：利用契比雪夫不等式，因 故：? ? ? ?221 1 1 1,? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?AA AAnn pqE E n n p p D D n n p qn n n n nnn20 , 1An pqPpn n?? ???? ? ? ? ? ?????于是， 有1An nlim P pn ?? ? ? ??? ? ?????即得：17 167。 2 中心極限定理 (Central Limit Theorem) 背景： 有許多隨機(jī)變量，它們是由大量的相互獨立 的隨機(jī)變量的綜合影響所形成的，而其中每 個個別的因素作用都很小，這種隨機(jī)變量往 往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說它的極 限分布是正態(tài)分布，中心極限定理正是從數(shù) 學(xué)上論證了這一現(xiàn)象，它在長達(dá)兩個世紀(jì)的 時期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。 18 ? ?5. 5 定 理 獨 立 同 分 布 的 中 心 極 限 定 理? ?210 , 1 .( , ) ,nniin Y NX N n n????此 定 理 表 明 ， 當(dāng) 充 分 大 時 ， 近 似 服 從即 ： （ 近 似 ） ～11 niiXXn ?? ?思 考 題 ：的 近 似分 布 是 什 么 ？2( , )Nn??答 案 ：? ? ? ?? ?212212, , , , , 1 , 2 ,1, ( )2設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 相 互 獨 立 同 分 布 ，則 前 個 變 量 的 和 的 標(biāo) 準(zhǔn) 化 變 量 為 ：有 ： 證 明 略 。???????? ?? ??? ? ???? ? ? ? ? ???niiniintxnnXXE X D X iXnnYnx R l i m P Y x e dt x1( ) ( ) ( ) .n iib n a nP a X bnn???????? ? ? ? ? ??從 而 ，19 ? ?5 .6 定 理 德 莫 佛 拉 普 拉 斯 定 理2215 . 5 ,( 1 ) 2tbAn an n pli m P a b e d tn p p ??? ? ??? ?? ? ?????? ?由 定 理1 0 iiAXiA?? ??第 次 試 驗 時 發(fā) 生證 明 ： 令第 次 試 驗 時 未 發(fā) 生? ? ? ?220 1 ,1, l im ,( 1 ) 2AtbAn an n A P A p pn n pa b P a b e d tn p p ??? ? ?? ? ??? ?? ? ?????? ?設(shè) 為 重 貝 努 里 試 驗 中 發(fā) 生 的 次 數(shù) ，則 對 任 何 區(qū) 間 (] ， 有 ：12, , , , ~ ( 1 , ) .niX X X X b p則 相 互 獨 立 同 分 布 ,12 ,Ann X X X? ? ? ?由 于( ) ~ ( , ( 1 ) ) .An N np np p?即 : 近 似? ?()(1 )()(1 )AP a n bb npnp pa npnp p??????????20 例 3：設(shè)某種電器元件的壽命服從均值為 100小時的指 數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)取得 16只，設(shè)它們的壽命是相互 獨立的 ,求這 16只元件的壽命的總和大于 1920小 時的概率。 1 2 1 61 6 , , , , 1 , 2 , ,解 ： 記 只 電 器 元 件 的 壽 命 分 別 為 則 獨 立 同 分 布 。?iX X XXi16116記 只 電 器 元 件 的 壽 命 總 和 為 ,?? ? i
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