【正文】 個獨立事件 發(fā)生的概率 分別為 類似可以得出： nAAA , 21 ?至少有一個不發(fā)生” 的概率為 “ )( 21 nAAAP ??? ?=1 p1 … p n )1()1(1)( 11 nn ppAAP ?????? ?? 下面是一個串并聯(lián)電路示意圖 . A、 B、C、 D、 E、 F、 G、 H都是電路中的元件 . 它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率 . 求電路正常工作的概率 . A BCEDFGH P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H) 解：將電路正常工作記為 W，由于各元件獨立工作，有 其中 )()()( ?EPDPCPP(C+D+E)=1 9 3 7 )()( ?GPFPP(F+G)=1 ?P(W) 代入得 A BCEDFGH 例 2 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊 ,三人擊中的概率分別為 、 、 .飛 機被一人擊中而擊落的概率為 ,被兩人擊中而擊落的概率為 ,若三人都擊中 ,飛機必定被擊落 , 求飛機被擊落的概率 . 設(shè) A={飛機被擊落 } Bi={飛機被 i人擊中 }, i=1,2,3 由全概率公式 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3) 則 A=B1A+B2A+B3A 求解如下 : 依題意， P(A|B1)=, P(A|B2)=, P(A|B3)=1 于是 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3) = = + + 1 即飛機被擊落的概率為 . P(B1)=。一顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，顧客開箱隨意地察看 4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。 A為 E的事件 ，B1,B2,… ,Bn為 S的一個劃分 ， 且 P(A)0， ni , ?21?),2,1(0)( niBP i ???則 貝葉斯公式在實際中有很多應用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 B）發(fā)生的最可能原因 . 例 4 某一地區(qū)患有癌癥的人占 ，患者對一種試驗反應是陽性的概率為 ，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為 ，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大 ? 則 表示“抽查的人不患癌癥” . CCC已知 P(C)=,P( )=, P(A|C)=, P(A| )= 求解如下 : 設(shè) C={抽查的人患有癌癥 }， A={試驗結(jié)果是陽性 }， 求 P(C|A). 現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義 . 由 貝葉斯公式 ，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP??代入數(shù)據(jù)計算得 : P(C｜ A)= 2. 檢出陽性是否一定患有癌癥 ? 1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？ 如果不做試驗 , 抽查一人 , 他是患者的概率 P(C)= 患者陽性反應的概率是 ，若試驗后得陽性反應，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為 P(C｜ A)= 說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義 . 從 ,將近增加約 21倍 . 1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？ 2. 檢出陽性是否一定患有癌癥 ? 試驗結(jié)果為陽性 ,此人確患癌癥的概率為 P(C｜ A)= 即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有 % (平均來說， 1000個人中大約只有 107人確患癌癥 )，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認 . 該球取自哪號箱的可能性最大 ? 實際中還有下面一類問題，是 “已知結(jié)果求原因” 這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小 . 某人從任一箱中任意摸出一球， 發(fā)現(xiàn)是紅球 ,求該球是取自 1號箱的概率 . 1 2 3 1紅 4白 或者問 : 下面我們再回過頭來看一下貝葉斯公式 ???niiiiiiBAPBPBAPBPABP1)()()()()|(｜｜貝葉斯公式 在貝葉斯公式中， P(Bi)和 P(Bi |A)分別稱為 原因的 驗前概率 和 驗后概率 . P(Bi)(i=1,2,…, n)是在沒有進一步信息（不知道事件 A是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識 . 當有了新的信息（知道 A發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小 P(Bi | A)有了新的估計 . 貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化 。 該球取自哪號箱的可能性最大 ? 實際中還有下面一類問題，是 “已知結(jié)果求原因” 這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小 . 某人從任一箱中任意摸出一球， 發(fā)現(xiàn)是紅球 ,求該球是取自 1號箱的概率 . 1 2 3 1紅 4白 或者問 : 接下來我們介紹為解決這類問題而引出的 貝葉斯公式 有三個箱子，分別編號為 1,2,3， 1號箱裝有 1個紅球 4個白球， 2號箱裝有 2紅球 3白球，3號箱裝有 3紅球 . 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球， 發(fā)現(xiàn)是紅球 ,求該球是取自 1號箱的概率 . 1 2 3 1紅 4白 ? 某人從任一箱中任意摸出 一球， 發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自 1號箱的概率 . )()()|( 11 APABPABP ?記 Bi={球取自 i號箱 }, i=1,2,3。 例 2 采購員要購買 10個一包的電器元件，他的采購方法是：從一包中隨機抽查 3個，如果 3個元件都是好的，他才買下這一包，假定含有 4個次品的包數(shù)占 30%，而其余包中各含一個次品。 全概率公式 定理：設(shè)試驗 E的樣本空間為 S， A為 E的事件， nBBB , 21 ?為 S的一個劃分，且 ),2,1(0)( niBP i ??? 則 )()|()()()()()()()(12211iniinnBPBAPBPBAPBPBAPBPBAPAP??????? ?在較復雜情況下直接計算 P(A)不易 ,但 A總是伴隨著某個 Bi出現(xiàn)，適當?shù)厝?gòu)造這一組 Bi往往可以簡化計算 . ???niii BAPBPAP1)()()( ｜全概率公式的來由 , 不難由上式看出 : “全”部概率 P(A)被分解成了許多部分之和 . 它的理論和實用意義在于 : 某一事件 A的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,… ,n)， 如果 A是由原因 Bi所引起 ， 則A發(fā)生的概率是 每一原因都可能導致 A發(fā)生，故 A發(fā)生的概率是各原因引起 A發(fā)生概率的總和，即全概率公式 . P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi) 全概率公式 . 我們還可以從另一個角度去理解 例 3 甲箱中有 5個正品和 3個次品，乙箱中有 4個正品和 3個次品。若 SBBB)ii(n,2,1j,i,ji,BB)i(n21ji??????????則 稱為樣本空間 S的一個劃分。 例 5：某人忘記了電