【正文】 袋的球數(shù)不同，如果兩口袋裝的黑、白球個(gè)數(shù)都相同，則情況又如何？ 思 考 題 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 69頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 ? 乘法公式是求“幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率； ? 全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率； ? 貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果” ，求“原因”的概率 . 貝葉斯公式 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 70頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 某人從甲地到乙地，乘飛機(jī)、火車、汽車遲到的概率分別為 、 、 ，他等可能地選擇這三種交通工具。, Bn是互不相容的，且 P(Bi)0， 注意點(diǎn) (2) 1nAB ii??( ) ( ) ( ) ( | )11nnP A P A B P B P A Bi i iii?????? 則由 可得 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 63頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 設(shè) 10 件產(chǎn)品中有 3 件不合格品，從中 不放回地取兩次，每次一件，求取出 的第二件為不合格品的概率。, Bn是樣本空間 ?的一組分割，且 P(Bi)0， 則 全概率公式 11( ) ( ) ( | )() nn i i iiiP A B P B P A BPA??????第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 61頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 ? 全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率 . ? 使用全概率公式關(guān)鍵在于尋找另一組事件 來“分割”樣本空間 . ? 全概率公式最簡(jiǎn)單的形式： 注意點(diǎn) (1) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B P A B P B P A B??第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 62頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 ? 若事件 B1, B2 , An?1) 乘法公式 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 59頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 ? 乘法公式主要用于求幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率 . ? 一批零件共有 100個(gè)，其中 10個(gè)不合格品。 P(An|A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1) An?1)0，則 P(A1A2 ?全概率公式； ?貝葉斯公式 . 條件概率的三大公式 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 58頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 性質(zhì) (1) 若 P(B)0，則 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)0，則 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ? P(A|?) = P(A) 。 條件概率 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 52頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 定義 對(duì)于事件 A、 B，若 P(B)0，則稱 P(A|B) = P(AB) / P(B) 為在 B 出現(xiàn)的 條件下 ， A 出現(xiàn)的 條件概率 . 條件概率的定義 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 53頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 1) 縮減樣本空間 ： 將 ? 縮減為 ?B=B. 2) 用定義 ： P(A|B) = P(AB) / P(B). 條件概率 P(A|B) 的計(jì)算 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 54頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 10個(gè)產(chǎn)品中有 7個(gè)正品、 3個(gè)次品，從中 不放回地抽取兩個(gè)， 已知第一個(gè)取到次 品，求第二個(gè)又取到次品的概率 . P(B|A) = P(AB) / P(A) = (1/15) / (3/10) = 2/9 解 ： 設(shè) A = {第一個(gè)取到次品 }， B = {第二個(gè)取到次品 }， 例 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 55頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 ? 條件概率 P(A|B)滿足概率的三條公理 . ? 由此得： P(A?B|C) = P(A|C) + P(B|C) ? P(AB|C)； 若 A 與 B 互不相容，則 P(A?B|C) = P(A|C) + P(B|C) ； P( |B) = 1? P(A|B). 條件概率是概率 A第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 56頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 ? P(?|B) = 1 。由此得所求概率為 ： 2 2 ( 2 ) 2( 1 )nn n n?? ??例 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 40頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 ? N 個(gè)產(chǎn)品，其中 M個(gè)不合格品、 N?M個(gè)合格品 . (口袋中有 M 個(gè)白球， N?M 個(gè)黑球 ) 常見模型 (1) —— 不返回抽樣 M N Mm n mNn??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????????從中不返回任取 n 個(gè) , 則此 n 個(gè)中有 m 個(gè)不合格品的概率為： ?此模型又稱 超幾何模型 . n ? N, m ? M, n?m?N?M. 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 41頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 ? 口袋中有 5 個(gè)白球、 7個(gè)黑球、 4個(gè)紅球 . ? 從中不返回任取 3 個(gè) . ? 求取出的 3 個(gè)球?yàn)椴煌伾那虻母怕?. 思 考 題 5 7 41 1 1 14 0 116 56 0 43? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 42頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 ? 購(gòu)買 ： 從 01， …… ， 35 中選 7個(gè)號(hào)碼 . ? 開獎(jiǎng) ： 7個(gè)基本號(hào)碼， 1個(gè)特殊號(hào)碼 . 彩票問題 —— 幸運(yùn) 35選 7 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 43頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 中獎(jiǎng)規(guī)則 1) 7個(gè)基本號(hào)碼 2) 6個(gè)基本號(hào)碼 + 1個(gè)特殊號(hào)碼 3) 6個(gè)基本號(hào)碼 4) 5個(gè)基本號(hào)碼 + 1個(gè)特殊號(hào)碼 5) 5個(gè)基本號(hào)碼 6) 4個(gè)基本號(hào)碼 + 1個(gè)特殊號(hào)碼 7) 4個(gè)基本號(hào)碼，或 3個(gè)基本號(hào)碼 + 1個(gè)特殊號(hào)碼 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 44頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 中獎(jiǎng)概率 ? ? 中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)： 735C127 0 0 6 1 0771 2 7 1 2 7773 5 3 5,ppC C C C C CCC???將 35個(gè)號(hào)分成三類： 7個(gè)基本號(hào)碼 、 1個(gè)特殊號(hào)碼 、 27個(gè)無(wú)用號(hào)碼 ?記 pi 為中 i 等獎(jiǎng)的概率。 等可能概型（古典概型） 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 37頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 ? 拋一枚硬幣三次 ? 拋三枚硬幣一次 ? Ω1={(正正正 ), (反正正 ), (正反正 ), (正正反 ), (正反反 ), (反正反 ), (反反正 ), (反反反 )} 此樣本空間中的樣本點(diǎn) 等可能 . ? Ω2={(三正 ), (二正一反 ), (二反一正 ), (三反 )} 此樣本空間中的樣本點(diǎn) 不等可能 . 注 意 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 38頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 n 個(gè)人圍一圓桌坐， 求甲、乙兩人相鄰而坐的概率 . 解： 考慮甲先坐好，則乙有 n1個(gè)位置可坐， 而 “ 甲乙相鄰 ” 只有兩種情況，所以 P(A) = 2/(n1)。 則稱這類隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型為 等可能概型，或古典概型 。 解 ： 由 P(A?B) = P(A) + P(B)?P(AB) = P(A)+P(B) 例 得 P(B) = P(A?B)?P(A) = ? = ， 所以 P( ) = 1? = . B第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 28頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 例 解： 因?yàn)? P(A?B) = P(A)?P(AB) ，所以先求 P(AB) 由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)?P(A?B) = +?= 所以 P(A?B) = P(A)?P(AB) = P(A)=， P(B)=， P(A?B)=， 求 P(A?B). 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 29頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 例 解： 因?yàn)?A、 B、 C 都不出現(xiàn)的概率為 = 1?P(A)?P(B)?P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)?P(ABC) = 1?1/4?1/4?1/4+0+1/6+1/6?0 =1?5/12 = 7/12 ( ) 1 ( )P A B C P A B C? ? ? ? P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、 B、 C 都不出現(xiàn)的概率 . 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 30頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 口袋中有 n?1個(gè)黑球、 1個(gè)白球，每次從口袋中隨機(jī)地摸出一球，并換入一只黑球 .求第 k 次取到黑球的概率 . 利用對(duì)立事件 解： 記 A為“ 第 k 次取到黑球 ” ，則 A的對(duì)立事件為 “ 第 k 次取到白球 ” . 而 “ 第 k 次取到白球 ” 意味著： “ 第 1次 …… 第 k?1次取到黑球，而第 k 次取到白球 ” 1( 1 )( ) 1 ( ) 1kknP A P An??? ? ? ?第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 31頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 思 考 題 口袋中有 2個(gè)白球，每次從口袋中隨 機(jī)地摸出一球，并換入一只黑球 . 求第 k≧ 2 次取到黑球的概率 . .提示 ：采用對(duì)立事件方法 ,然后討論第k次前，有 1個(gè)白球與 2個(gè) 白球的情況 . 第一章 概率論的基本概念 2022年 2月 16日星期三 第 32頁(yè) 中科大軟件學(xué)院 例 解： 用對(duì)立事件進(jìn)行計(jì)算 , 445( ) 1 ( ) 1 0 . 5 1 7 76P A P A? ? ? ? ?記 A=“ 至少出現(xiàn)一次