【正文】 調(diào)查了 186個(gè)病例 ,根據(jù)病理報(bào)告 ,其中乳癌 (A1)29例 ,纖維腺瘤 (A2)92例 ,乳腺病 (A3)65例 ,由此可得各病的概率如下 :P(A1)=29/186= P(A2)=92/186= P(A3)=65/186= ,有關(guān)重要癥候出現(xiàn)的概率的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)如下表 : 癥候表現(xiàn) 乳腺 (29例 ) 纖維腺瘤 (92例 ) 乳腺病 (62例 ) 例數(shù) 條件概率 例數(shù) 條件概率 例數(shù) 條件概率 年齡 (歲 ) B1140 4 74 54 B12 40 25 18 11 腫塊表面 B21整齊 2 45 30 B22不整齊 27 47 35 硬度 B31中 4 6 12 B32偏硬 16 77 49 B33硬 9 9 4 增大速度 B41慢 3 4 16 B42中 16 79 46 B43快 10 9 3 邊界 B51清楚 1 51 19 B52欠清楚 16 38 36 B53不清楚 24 3 10 腫塊長(zhǎng)度 (cm) B61 6 69 56 B62 23 23 9 ??解：該病例所出現(xiàn)的有關(guān)癥候表現(xiàn)的具體組合可用符號(hào)表示為： B=B11B21B32B41B53B61,假設(shè)各癥候表現(xiàn)的出現(xiàn)與否彼此獨(dú)立，則根據(jù)獨(dú)立事件概率可得 P(B)=P(B11)P(B21)P(B32) P(B41)P(B53)P(B61) 在 A1發(fā)生的條件下， B出現(xiàn)的概率 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 1 1 5 3 1 6 1 15P ( B /A ) P ( B /A ) P ( B /A ) P ( B /A ) P ( B /A ) P ( B /A ) P ( B / A)0 . 1 3 7 9 0 . 0 6 9 0 0 . 5 5 1 7 0 . 1 0 3 4 0 . 1 3 7 9 0 . 2 0 6 9 1 . 5 4 8 7 1 0 ??? ? ? ? ? ? ? ?,?? 4 323同 理 P (B / A )= 3 .5 0 1 9 1 0 P (B / A )= 9 .4 2 8 1 1 0根據(jù)貝葉斯公式，可得在癥候 B表現(xiàn)的條件下，乳癌 A1發(fā)生的概率 1111 2 31 2 355 4 33223( ) ( )(B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 .15 59 1 .54 89 100 .15 59 1 .54 89 10 0 .49 45 3 .50 19 10 0 .34 95 9 .42 8 1 06 .92 10( B 593 10 ( BBP A PAPAB B BP A P P A P P A PA A AP A P A?? ? ????????? ? ? ? ? ? ? ????/) ＝同 理 /) ＝ ， /) ＝ 這說明是乳腺病的可能性最大，所以診斷該患者為乳腺病。 P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10 P(B/A1)=9/10, P(B/A2)=14/15, P(B/A3)=19/20 問 P(A1/B)=? P 11 P ( A B )A（ ） =BP(B)11( ) ( )()BP P AAPB＝111 2 31 2 3( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BP A PAB B BP A P P A P P A PA A A??＝ 定理 6（貝葉斯公式）設(shè) A1 A2,?A n是兩兩互不相容，且 P(Ai)0， P(B)0 121,( ) ( )()( ) , 1 , 2 , ,()( ) ( )nkkkkniiiB A A ABP A PP A B AAP k nB PBBP A PA?? ? ? ?? ? ??若 則 例 16 經(jīng)大量臨床應(yīng)用知道，某種診斷肝癌的試驗(yàn)有下述效果：“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”記為事件 B，“被診斷患肝癌”的事件為 A。設(shè) Ai表示“第 i道工序合格品”， i=1,2,3,4 P(A1A2A3A4)＝ P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)= ()()() (1)= 全概率公式與貝葉斯公式 定理 5（全概率公式）設(shè) A1 A2,?A n是兩兩互不相容事件，且 P(Ai)0； 121,( ) ( ) ( )nniiiB A A A BBP B P A PA?? ? ? ?? ?若 則 事 件 的 概 率A2 A1 A3 A5 A4 An B ?證明： 如圖 A1 A2,… An是兩兩互不相容事件 BB??12() nB A A A? ? ? ?()PB1212( ( ) )( ) ( ) ( )nnP B A A AP B A P B A P B A? ? ? ?? ? ? ?1212( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnB B BP A P P A P P A PA A A? ? ? ?1( ) ( )niiiBP A PA?? ? 例 15 設(shè)某醫(yī)院倉庫中有 10盒同樣規(guī)格的 X光片，已知其中有 5盒、 3盒、 2盒依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種 X光片的次品率分別是 1／ 10， 1／ 15， 1／ 20，從這 10盒中任取 — 盒，再從取出的這盒中任取一張 X光片，抽到的 X光片是正品的概率 ? 解： 設(shè) A1,A2,A3分別表示取得的 X光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的， B表示 x光片是正品。由于安 洗滌不潔成廢品的概率為 ％．灌裝時(shí)污染劑液成廢品的概率為 ％，由于封口不密成廢品的慨率為 ％，求四道工序都合格概率。 解： 兩個(gè)孩子家庭按出生先后順序排列共有四種可能結(jié)果： (女、女 )， (女、男 )， (男，女 )， (男，男 )； P(A)=2/4 P(B)＝ 2/4 P(AB)＝ 1/4 顯然 P(AB)＝ P(A)P(B)，所以 A與 B相互獨(dú)立，即 A發(fā)生的條件下，不影響 B的概率。表明服藥和不服藥對(duì)療效影響不大，新藥對(duì)流感沒有意義。 定理 4 事件 A與事件 B相互獨(dú)立的充分必要條件是 P(AB)＝ P(A)P(B). 例 11 有 — 種治療流行性感冒的新藥，在500名流行病人中，有的服了這種藥 (A)，有的沒有服這種藥 ( )，經(jīng) 5天后，有的痊愈 (B)，有的未痊愈 ( )，各種情況的人數(shù)見下表，其中 170表示服藥后痊愈 (AB)的人數(shù)，其余類似。 若 A與 B相互獨(dú)立，則 P(B／ A)=P(B)，又有乘法公式 P(AB)＝ P(A)P(B／ A)于是，P(AB)＝ P(A)P(B)成立。例如，對(duì)于三個(gè)事件 A,B,C P(ABC)＝ P((AB)C)＝ P(AB)P(C/AB) ＝ P(A)P(B／ A )P(C/AB) 例 10 在某一人群中，聾子 (A)的概率是，盲人 (B)的概率是 ，而聾子中是盲人的概率為 ，求盲人中聾子的概率 ? 解： P(A)= P(B)= P(B/A)= P(A/B)=? P(A/B)= ()()P ABPB?( ) ( )()BP A PAPB?0 .0 0 5 0 .1 2 0 .0 7 0 60 .0 0 8 5? ? 對(duì)于任意事件 A， B,通常條件概率P(B／ A)與概率 P(B)是不相等的 ， 即一個(gè)事件發(fā)生改變了另一個(gè)事件發(fā)生的概率 ，說明事件 A與 B有聯(lián)系 ， 但是 ． 生活中也有另外的一種情況存在 ， 一個(gè)事件的發(fā)生與否不會(huì)影響另一事件的概率 (P(B／ A)＝P(B))。 例如，在美國某大學(xué)高血壓研究中心就診的306名有末端器官損害的高血壓病人，按嚴(yán)重程度和有無心絞痛分類。 ?? ? ? ? ? ?1 2 1 2M M M MP (A B ) P (A ) P (B )N N N推論 1 若 A1, A2,? ， An是 n個(gè)兩兩互不相 容事件，則有 P(A1+A2+?+A n) ＝ P(A1)+P(A2)+… +P(An) 推論 2 事件 A的逆事件 的概率為 A( ) 1 ( )P A P A??定理 2 設(shè) A， B為任意二事件，則 P(A+B)＝ P(A)+P(B)P(AB) A B BA AB 證明：如圖 A+B=A+(BA) B=AB+(BA) 事件 A與事件 BA互不相容，事件 AB與事件 BA互不相容 根據(jù)定理 1 得 P(A+B)=P(A+(BA))=P(A)+P(BA) P(B)=P(AB+(BA))=P(AB)+P(BA) 所以 P(A+B)＝ P(A)+P(B)P(AB) 推論 3 若 A， B， C為任意三個(gè)事件，則 P(A+B+C)＝ P(A)+P(B)+P(C)P(AB) P(AC)P(BC)+P(ABC) 例 8 一批針劑共 50支，其中 45支是合格品， 5支是不合格品，從這批針劑中取 3支 .求其中有不合格品的概率。n!, 故概率為 Cmn為不可能事件，則 P(216。 思考：少量的試驗(yàn)（如 7次）能否出現(xiàn)同樣結(jié)果？ 例 4 表 72 英文字母使用頻率分布 字母 頻率 字母 頻率 字母 頻率