【正文】 , 可以定 義 P(B|A) .)( )()|( AP ABPABP ?一般地 , P(B|A)≠ P(B), 但當 A的發(fā)生對 B的發(fā)生沒有影響時 ,有 P(B|A)=P(B)。通常稱 P(Bi|A)(i=1,2,…, n)為 后驗概率 。有 220 3 53( ) / , 10P B C C??1 1 21 3 2 56( ) / , 10P B C C C? ? ?222 2 51( ) / , 10P B C C??由全概率公式 20 ( ) ( ) ( | )iiiP A P B P A B?? ?02 ( | )6P A B ?24 ( | )6P A B ?13 ( | )6P A B ?3 2 6 3 1 4 71 0 6 1 0 6 1 0 6 1 5? ? ? ? ? ? ?2022/1/4 72 . ..., 2, 1,)|()()|()()|( ,0)( ,...,121niBAPBPBAPBPABPAPASBBBnjjjiiin?????則有是任一隨機事件且的一個劃分是樣本空間設(shè)貝葉斯公式 : : : 由條件概率公式證 明 )|( ABP i ,)()(APABP i?由乘法公式 : P(ABi) =P(A|Bi)P(Bi). 由全概率公式 : P(A) .)()|(1???njjj BPBAP于是可得結(jié)論 . 2022/1/4 73 貝葉斯公式的直觀意義為 ：若事件B1,B2,…, Bn是引起事件 A發(fā)生的 n個原因，它們的概率 P(Bi)(i=1,2,…, n)是在對 A觀察前就已知的，因此通常叫做 先驗概率 。 解 以 Ai 表示事件“第 i次取到黑球” (i=1,2,3), 類似地個白球，則得和個黑球發(fā)生，盒中剩下若顯然,)1()|(1,)(1211babAAPbaAbaaAP??????于是所求概率為,)1()1( 1)|( 213 ??? ?? ba aAAAP211)( 321 ????????? baababbaaAAAP2022/1/4 65 例 5. 透鏡第一次落下打破的概率為 ,若第一次落下未打破 , 第二次落下打破的概率為獲 , 若前兩次落下未打破 ,第三次落下打破的概率為 , 試求透鏡落下三次而未打破的概率 . , 3. 2, 1, , : 三次落下未打破次落下打破第解B iiA i ?)()( 321 AAAPBP ?)|()|()( 123121 AAAPAAPAP? ) )(1 )(1(1 ?????2022/1/4 66 (三 ) 全概率公式和貝葉斯公式 : : , , , : 21 一組事件滿足若定義 nBBB L1. 樣本空間的劃分 ,.. ., 2, 1, , , , ( i ) njijiBB ji ????1( ii) ,niiBS??12, , ,.nB B BS則 稱 為 樣本 空 間 的 一 個 劃 分S B1 B2 B3 ... Bn 2022/1/4 67 (1) 若 B1,B2,…, Bn是樣本空間 S的一個劃 分 ,則每次試驗中 , 事件 B1, B2, …, Bn 中必 有一個且僅有一個發(fā)生 . . , , , , ,2 )2(212121BBBBSBBn??即為對立事件則的一個劃分為時當2022/1/4 68 2. 全概率公式 : A B1 B2 B3 Bn S ... 有的任一事件對分的一個劃為設(shè), ), 2, 1,(0,)( , , , 21AEniBPSBBBinLL??)(AP .)|()(1???niii BAPBP稱上式為 全概率公式 . 2022/1/4 69 再利用乘法定理即得 )(AP ???nii ABP1)( .)|()(1???niii BAPBP).( )()( ji ABAB ji ????并且,)()(1???nii ABPAP由概率的有限可加性 ,得 11( ) ,nniiiiA A S A B A B??? ? ?由 于分析： 2022/1/4 70 例 6 一批麥種中混有 2%的二等種、 1%的三等種、 1%的四等種。 解： 以 A,B分別表示甲乙兩城市出現(xiàn)雨天。 2022/1/4 61 例 2 根據(jù)長期氣象紀錄，甲乙兩城市一年中 雨天的比例分別為 20%和 18%,同時下雨的 比例為 12%。 6 條件概率 2022/1/4 57 S ={HH, HT, TH, TT} A={HH, HT, TH}, B={HH， TT} 于是 P(B|A) .)( )(4/3 4/1)|( AP ABPABP ?? 3 / 4 ,)( , ?AP又知 1 / 4 ,)( ?ABP分析： 已知事件 A已發(fā)生，有了這一信息，知道“ TT”不可能發(fā)生，即知試驗所有可能結(jié)果所成的集合就是 A。 5 幾何概型 ? 古典概型的計算，適用具有等可能性的有限樣本空間，若試驗結(jié)果無限，則它已經(jīng)不適合 ? 為了克服有限的局限性，利用幾何方法，可將古典概型的計算加以推廣 2022/1/4 51 ? 設(shè)試驗 E具有以下特點： （ 1）樣本空間 S是一個幾何區(qū)域，這個區(qū)域的大小是可以度量的（如長度、面積、體積等），并把對 S的度量記作 m(S)。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，因此，有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。)(,50。即 S ={e1, e2,?, en} (2) 試驗中每個基本事件 (樣本點 )的發(fā)生 是等可能的 ,即 P(e1)=P(e2)= ? =P(en). 計算公式 : 對古典概型 ,由概率定義及 等可能性 ,可得 這類隨機現(xiàn)象的概率模型叫做 古典概型 . 167。)2(。5 . ABP B A P B P A?? ? ?若 則 有性 質(zhì)).()( APBP ?,.4. ( ) 1A P A ?事性 對 任 一 件質(zhì)1)(1)( ,0)(????APAPAP所以證：由于2022/1/4 34 ，證： BA ??()A B A? ? ?且 ，有 )( ABAB ?? ?? P(B)=P(A)+P(BA), 即 P(BA)=P(B)P(A). B A BA ).()( ,0)(APBPABP??? 可得由2022/1/4 35 .,(6 ( )) ( ) ( ) ( ) .ABP A B P A P B P A B? ? ?對 任 意 兩 事 件 有性 質(zhì) 加 法 公 式），（證： ABBABA ?? ???B A A?B BAB A B AB? ? ?且 （ ） ，)()()( ABBPAPBAP ???? ?).()()( ABPBPAP ??? )( ABB ??2022/1/4 36 可以作如下推廣：)( CBAP ??).()()()()()()(A B CPBCPACPABPCPBPAP???????)( 21 nAAAP ????).()1()()()(211111nnnkjikjinjijiniiAAAPAAAPAAPAP????????????????????這個式子稱為 “ 加奇減偶公式 ” . 1. 2. 2022/1/4 37 可以利用上面的加奇減偶公式和 111( ) 1 ( ) 1 ( )nnniiiiiiP A P A P A???? ? ? ?推得下面的公式 )()1()()()()(111111??L???niinkjnkjiijnjiiniiniiAPAAAPAAPAPAP????????????????????2022/1/4 38 例 1 設(shè) A,B為兩個事件 ,且 P(A)=,P(B)=, P(AB)=,求下列各事件的概率 . .)4(。 (2 ) ( ) 1 。 2022/1/4 30 2 公理化定義：設(shè) S為樣本空間， A為事件，對每一事件 A賦予一實數(shù) P(A)，如果 P(A)滿足如下三條公理： ( 1 ) 0 ( ) 1 。2022/1/4 29 (二 )概率 1 統(tǒng)計定義 ： 頻率的穩(wěn)定值 P(A)反映了事件 A在一次試驗中發(fā)生的可能性大小，稱 P(A)為事件 A的概率。這 種 “ 頻 率 穩(wěn) 定 性 ” 即 通 常 所 說 的 統(tǒng) 計 規(guī) 律 性 。 但 當增 大 時 ， 頻 率 呈 現(xiàn) 出 穩(wěn) 定 性 。 得 到 數(shù) 據(jù) 如 表 1 所 示 （ 其 中 表 示 發(fā) 生 的 頻 數(shù) ，表 示 發(fā) 生 的 頻 率 ） 。 對于同一試驗 , 不同的試驗次數(shù) n, 其頻率也不同 , 當 n較小時 , fn(A)隨機波動的幅度較大 . (2)穩(wěn)定性 :隨著 n逐漸增大，事件 A的頻率總在某一定值 P(A)的附近擺動而逐漸穩(wěn)定于這個值，這個定值 P(A)通常稱為頻率的穩(wěn)定值。1 )2( ?Sf n,( ) ( ) ( )n n nABf A B f A f B??(3) 可 加 性 ： 對 互 斥 事 件 ， 有頻率的基本性質(zhì)： 167。 ）BC,BC A BD A?? BC BD ? ,A BA ?而 ?，BA即 事 件 與 事 件 互 不 相 容 。 BABABABA ???? ??德 A,A B B A??或2022/1/4 18