近代概率論基礎(chǔ)第一章概率空間-文庫吧資料
2025-05-06 12:10本頁面
【正文】 9 9n n n n n nn n n n n nPA ? ? ? ? ? ? ? ?BCBCB 為所取的 n個數(shù)全為奇數(shù)，故 所含基本事件數(shù)為 5n； 為所取的 n個數(shù)無五，故 所含基本事件數(shù)為8n； 為所取的 n個數(shù)全為奇數(shù)且不含 5，故 所含基本事件數(shù)為 4n ，所以有計算公式得： CBC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、概率的可列可加性與連續(xù)性 定義 1： 若 且 ，則 是 中的一個 單調(diào)不減的集序列 。 解： 若以 Ai 記第 i 封信與信封符合，則所求的事件為 12 nA A A不難求得 ( 1 ) ! 1( ) ,!inPAnn??? ( 2 ) ! 1( ) ,! ( 1 )ij nP A A n n n??? ?( 3 ) ! 1( ) ,! ( 1 ) ( 2 )i j knP A A An n n n?????121, ( )!nP A A A n?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1211()12 ( 1 )nnnP A A An n n? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?因此 111 ( 1 )3 ( 1 ) ( 2 ) !nnn n n n???? ? ? ???????11 1 11 ( 1 )2 ! 3 ! !nn?? ? ? ? ? ?例 6 從數(shù)字 中（可重復(fù)地）任取 n 次，試求所取的 n 個數(shù)的乘積能被 10整除的概率。 ( , )? F( , , )P? F機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可以推出，概率測度 P有以下性質(zhì) ： 01 ? ? 0P ??? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2nnP A A A P A P A P A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?02 有限可加性 即若 ，則 ijAA ??03 ? ? 1 ( )P A P A??04 ? ? ? ? ? ?P B A P B P A? ? ?若 ，則 AB?? ?0, 1A PA? ??? ?有② ① ? ? ? ?,A B P A P B??如 果 則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 概率的加法公式 布爾不等式 Bonferroni不等式 加法公式的推廣 提示：可用歸納法證明 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用上面的公式來作概率的計算，常能使解題思路清晰，計算便捷。 （ iii）若 且兩兩互不相容，則 稱這樣的 P為可測空間 上的一個概率測度 ，簡稱為 概率 。 同樣， 也是一個相當(dāng)大的集合，足夠把實際問題中感興趣的點(diǎn)集都包括在內(nèi)。 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 x, y表示任意實數(shù)，由于 11{ } [ , )nx x xn???? ( , ) [ , ) { }x y x y x??[ , ] [ , ) { }x y x y y?? ( , ] [ , ) { } { }x y x y y x? ? ? 因此， 中包含一切開區(qū)間，閉區(qū)間，單個實數(shù)，可列個實數(shù)，以及由它們經(jīng)可列次并、交運(yùn)算而得出的集合 。 1R nR 由一切形為 [a, b)的有界左閉右開區(qū)間構(gòu)成的集類所產(chǎn)生的 域稱為一維博雷爾 域，記為 ， 中的集合稱為一維博雷爾點(diǎn)集。 ? A? ? ()m A A? A ()m A()m A 稱為包含 的最小 域，或由 產(chǎn)生的 域 。 ? ?F注： 事件域可以很簡單，也可以十分復(fù)雜，要根據(jù) 問題的不同要求 來選擇適當(dāng)?shù)氖录颉? ?F例 4 F 為一 域。共有元素 2n 個。 ?例 3 1{ , , },n???? F 是由 的一切子集構(gòu)成。 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1： { , }? ? ?F 為一 域。nnnA n A??? ? ?F F 。如 果 ， 那 么 ? ?稱滿足上述條件的集類為 域 ，也稱 代數(shù) 。?? F( i i ) 。 ?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 是由樣本空間 的一些子集構(gòu)成的一個 域，則稱它為 事件域 ， 中的元素稱為 事件 ， 稱為 必然事件 ， 稱為 不可能事件 。 ? 一般并不把 的一切子集都作為事件，因為這將對給定概率帶來困難。 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、概率空間及其三要素 樣本空間 是一非空集合，稱為樣本空間；其中的元素稱為 樣本點(diǎn) ，相應(yīng)于隨機(jī)試驗的結(jié)果。 但是，并沒有對 事件的集合 進(jìn)行限制。 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三節(jié) 概率 空間 一、概率空間及其三要素 樣本空間 與可測空間 F概率 P與概率空間 二、概率的可列可加性與連續(xù)性 三、概率空間的實際例子 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在 《 工科概率 》 中講到： 事件就是某些樣本點(diǎn)組成的集合，事件之間的運(yùn)算也就是集合運(yùn)算 。 因此在使用術(shù)語“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等時， 應(yīng)明確指明其含義 ，這又因試驗而異。在第一 種解法中，假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，在第二種 解法中，假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，而在第 三種解法中，又假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布。 1/2 31/2【 解法三 】 B A 弦被其中點(diǎn)唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)其中點(diǎn)屬于半徑為 的同心圓時，弦長才大于 ，此小圓面積為大圓面積的 ，故所求的概率為 。 3【 解法一 】 任何弦交圓周兩點(diǎn)，不失一般性，先固定其中一點(diǎn)于圓周上，以此點(diǎn)為頂點(diǎn)作等邊三角
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