【正文】 個不相容事件的并： ?利用可加性公理得 ?再利用非負性公理得 ?從證明過程容易看出，如果 則 BA ? )()( BPAP ?)()()( APBPABP ???BA ?BAA ?和)()()( BAPAPBP ???)()( APBP ?)()()()( APBPABPABP ???? ?BA ?60 ? 性質(zhì) 2（ 加法公式 ） 證明：由圖所示 ,可將事件 和 B分解成不相容的事件之和： ? 利用可加性公理，得到 ? 兩式相減后移項合并 ? 根據(jù)性質(zhì) 2和非負性公理，很容易得到： )()()()( BAPBPAPBAP ?? ???BA?),( BAABA ??? ? )()( BABAB ????),()()( BAPAPBAP ?? ?? )()()( BAPBAPBP ?? ??)()()()( BAPBPAPBAP ?? ???)()()( BPAPBAP ???61 ? 加法公式可以推廣到 n(n2)個事件的情形（稱為 容斥原理 ） .例如對于三個事件 A、 B、 C，反復(fù)利用性質(zhì) 2可以得到： ?)( CBAP ??)()()( CBPCAPBAP ??? ???)( CBAP ???)()()( CPBPAP ??即加奇減偶定理 62 性質(zhì) 3 ? 證明：由圖所示 , 可以分解成三個互不相容的事件的并集： 重復(fù)利用可加性公理即可證得。 ?分析 :由于公共汽車 5分鐘一班 ,故乘客的等車時間是 0~5中間的一個數(shù) .因此樣本空間 ?而乘客到達車站的時間是隨機的，我們可以認為 [0,5]中的每一個時刻在等車時出現(xiàn)的可能性是相等的。 ? 當(dāng)樣本空間是一個連續(xù)的集合時，其概率的定義與樣本空間離散的情況有很大的區(qū)別。事件為： ?如果硬幣是均勻的，正面和反面出現(xiàn)的機會相同，這兩個結(jié)果出現(xiàn)的概率應(yīng)該相同，即 概率建模實例： 1? 2?},{ 21 ?????},{},{},{ 2121 ????})({})({ 21 ?? PP ?44 ?由可加性和歸一性知 ?由此可得： ?顯然，以上建立的概率滿足三條公理 . 1})({})({}),({ 2121 ??? ???? PPP0)(,})({,})({,1}),({ 2121 ????? PPPP ????45 2022/2/9 概率 Chapter 13 A AB 例 ? 假設(shè) A發(fā)生的概率為 ,A與 B都發(fā)生的概率為 , A與 B都不發(fā)生的概率為 ,求 (1)A發(fā)生但 B不發(fā)生的概率 . (2)B發(fā)生但 A不發(fā)生的概率 . (3) A與 B至少有一個發(fā)生的概率 . B 46 2022/2/9 概率 Chapter 13 例 0 .1 5 ,)B AP( 0 .1 ,P ( A B ) ,)A(P,: ???有依題意解A AB B (A B)P (A ))BP (A BABA ,BA)1(???? 的概率為即不發(fā)生發(fā)生但事件( ( ) , ( ) ( ) P ( ) .P ( ) ( ) ( ) . )A A A B B A B A B P A P A B A BA B P A P A B? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 分 解 法.) ()()( BAAB ,AB,)2(??????BAPAPBAP的概率為即不發(fā)生發(fā)生但事件同理( 3 ) P( A B ) 1 P( A B ) 1 ( B ) 1 5 5PA? ? ? ? ???47 2022/2/9 概率 Chapter 12 二、 古典概型 設(shè)樣本空間由 n個等可能的實驗結(jié)果組成，則對任意 事件 A，對應(yīng)的概率 P(A)可由下式計算： 特點 ； ； 依題意 , 12{ , , , }n? ? ???ninP i ?2,1,1})({ ???這樣對于每一個事件 A，可以按照下面方法計算概率： 根據(jù)歸一性和可加性 ,有 設(shè)它的樣本空間為 事件總數(shù)樣本空間中所有的基本中含有的基本事件數(shù)A)( ??nmAP48 例 (練習(xí) ) 連續(xù)兩次投擲一枚均勻的骰子有 36個等可能的結(jié)果，每個結(jié)果出現(xiàn)的概率為 1/： P({兩次點數(shù)之和為偶數(shù) })= P({兩次點數(shù)之和為奇數(shù) })= P({兩次點數(shù)相同 })= P({第一次點數(shù)比第二次點數(shù)大 }= P({有一次點數(shù)為 6})= P({只有一次點數(shù)為 6})= 213618?213618?6136 6?15 536 12?53610 536 18?1136P({最大點數(shù)為 3})= 概率 Chapter 12 2022/2/9 49 ? 求 n個人（ n365）中至少有兩個人同生日的概率 . ? 解：基本事件的總數(shù)為 ? 設(shè) A表示“至少有兩個人的生日在同一天”，則 表示“任何兩個人的生日都不在同一天，包含 個基本事件 ? 于是 ， ? 下面是給出 n的數(shù)值，得到的一些具體結(jié)果 ： n365AnA365nnAAPAP 3651)(1)( 365???? n 20 30 40 50 60 70 80 nP例 50 例 （抽簽的合理性） nkmAmA)!1(1 ?nC knknnCAP km ???!)!1()( 1 設(shè)有 n個人訂了 n張電影票 ,其中有 k張甲級票 .現(xiàn)讓這 n個人依次各抽一張，試證明每個人抽得甲級票的概率均為 k/n,與抽取的先后次序無關(guān) . 證明： n個人各抽一張，相當(dāng)于將 n張票全排列， 故基 本事件 總數(shù)為 n!. 設(shè)事件 Am={第 m個人抽到甲級票 }（ m=1,2,…,n ） , 則 Am中包含的基本事件數(shù)為 于是 可見 ,與 抽取 次序 m無關(guān) . 2022/2/9 概率 Chapter 12 51 2022/2/9 概率 Chapter 12 ? 有三個打字員為四個科室服務(wù) ,如果四個科室各有一份文件要打字 ,且各科室對打字員的選擇是隨機的 ,試求 : ? (1)四個科室把任務(wù)交給同一個打字員的概率 。: 用頻率近似計算概率應(yīng)用上概率確實存在理論上實驗者 投擲次數(shù) N “正面向上”次數(shù) M 頻率 M/N 蒲豐 4040 2048 皮爾遜 24000 12022 維尼 30000 14994 該試驗表明，正面出現(xiàn)的頻率在 .說明出現(xiàn)正面的概率是 1/ . 該實驗的意義 : 42 概率的基本性質(zhì) P( A ) 1 P ( A )??性質(zhì) 1 不可能事件 Φ 的概率等于 0，即 P（ Φ） =0 證明 : 由歸一性和可加性可 知 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )P P P P P? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?＝ ＝性質(zhì) 2 對立事件的概率有 1 ( ) ( ) ( ) ( )P P A A P A P A? ? ? ?＝ ＝證明 : 2022/2/9 概率 Chapter 12 性質(zhì) 3 若 A A … 、 An是 n個互不相容的隨機事件， 則它們的并集滿足 P(A1 ? A2 ?…A n)= P(A1 )+ P(A2) +…+ P(An) 證明 :反復(fù)利用可加性即得 . ( ) 0P? ? ?( ) 1 ( ) P A P A? ? ?43 ?例 1 給擲一枚硬幣的試驗建立概率模型 . ?解：擲一枚硬幣，有兩個可能的結(jié)果：正面和反面。 23 2. 事件的交（積） ?事件 A與事件 B同時發(fā)生這一事件稱為 A與 B的積事件（或交事件），記為 或 從集合角度看， ?類似的， n個事件 的交事件記為 或 ?表示這 n個事件同時發(fā)生 . AB BA ?}|{ BABA ??? ??? 且?nAAA , .. ., 21?niiA1???ninA124 ?稱事件 A不出現(xiàn)這一事件為 A的對立事件（逆事件），記為 . ?用集合表示， ?由定義可知， A也是 的對立事件，即 且 ?顯然 3. 對立事件（逆事件） A}|{ AA ???? ??? 且Ω A AAAA ? ???? AAAA ?? ,?????? ,25 4. 事件的差 ? 事件 A發(fā)生而事件 B不發(fā)生這一事件稱為 A與 B的差事件，記為 . ? 從集合角度 ， ?顯然 BA?}|{ BABA ???? ??? 且ABABA ??? BA?Ω A B 陰影部分是 BA? 或 BA26 5. 事件的的包含與相等 ?如果事件 A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生，則稱事件 A包含于事件 B或事件 B包含事件 A，記為 或 . ? 意味著 A是 B的子集 . ?顯然對于任何事件 A，有 ?如果 且 . ?則稱事件 . BA ? AB ?BA ?Ω A B 此處 BA ????? ABA ? AB ?BA ?27 ?例如 : ? 考察某動物的年齡，事件 A表示“存活3年的動物”，事件 B表示“存活 5年的動物”，問 A和 B的關(guān)系 . ? 如果用 X表示這種動物的年齡，則 事件 A={X≥3}， B={X≥5} ?于是 AB ?28 6. 互不相容（互斥）事件 ?如果事件 A與事件 B不能同時發(fā)生，則稱 A與 B是互不相容事件（或互斥事件） .從集合角度， A與 B互不相容即 . ?如果 n個事件 中任何兩個事件都互不相容， 即 則稱這 n個事件互不相容 . ??BA ?Ω A B C A， B， C互不相交 nAAA , .. ., 21), .. .2,1,( njijiAA ji ?????29 7. 完備事件組（分割） ? 如果 n個事件 互不相容，并且它們的和是必然事件，則稱這 n個事件構(gòu)成一個完備事件組（分割） . ? A和 構(gòu)成一個完備事件組 . nAAA , .. ., 21Ω A B C A,B,C形成 Ω的一個 完備事件組 （分割） A30 總結(jié) ? 集合 稱為 A的補集 (對立事件 ), ? 并集（ 和事件 ） ? 交集（ 積事件 ） }{ AA ???? ?? 且},|{ BxAxxBA ??? 或?},(|{ BxAxxBA ??? 和）且?31 2022/2/9 概率 Chapter 11 31 四、 事件的運算性質(zhì) ? 1)交換律 A?B=B?A A?B=B?A ? 2)結(jié)合律 A ? B ? C=(A ? B) ? C=A ?(B ? C) A ? B ? C=(A ? B) ? C=A ?(B ? C) ? 3)分配律 (A ? B) ? C=（ A ? C） ?（ B ? C） A ?(B ? C)=(A ? B) ?(A ? C) ? 4)對偶律 （摩根律） ? 5)其它 BAAB BABA ?????A B A B ? ? ???AA ? ??AA ?AA ???????AAA ??? niinii AA11 ??? ??niinii AA11 ???一般情形 32 2022/2/9 概率 Chapter 11 例 4（對偶律的運用） ?事件 Ak表示某射手