【正文】 (A ? B) ? C=A ?(B ? C) ? 3)分配律 (A ? B) ? C=（ A ? C） ?（ B ? C） A ?(B ? C)=(A ? B) ?(A ? C) ? 4)對(duì)偶律 （摩根律） ? 5)其它 BAAB BABA ?????A B A B ? ? ???AA ? ??AA ?AA ???????AAA ??? niinii AA11 ??? ??niinii AA11 ???一般情形 32 2022/2/9 概率 Chapter 11 例 4（對(duì)偶律的運(yùn)用） ?事件 Ak表示某射手第 k次（ k=1,2,3）擊中目標(biāo) ,用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录? A1+A2: A3A2: :AA 23:A A 21:AA 21 ?:A A 23 ?:AA 23同上 . 前兩次都未擊中目標(biāo) 同上 后兩次至少有一次未擊中 同上 前兩次至少有一次擊中目標(biāo) 第三次擊中目標(biāo)第二次未中 . 33 2022/2/9 概率 Chapter 11 例 5（ 事件的關(guān)系表示 ） ? 事件 Ak表示第 k次取到合格品（ k=1， 2， 3） .試用符號(hào)表示下列事件： 三次都取到了合格品 , 三次中至少有一次取到合格品 . 三次中恰有兩次取到合格品 . 三次中最多有一次取到合格品。 解： 321 AAA321 AAA ??321321321 AAAAAAAAA ??313221 A A A AAA ??（至少有兩次未取到合格品） 321321321321 AA A A A A AAAAAA ???35 例 （ 序貫樹(shù)形圖表示樣本空間 ） ( 1 , 2 , 3 )kAk ?序貫樹(shù)形圖 連續(xù)三次向同一目標(biāo)射擊，用“ 1”表示擊中目標(biāo)， 用“ 0”表示未擊中目標(biāo)，則樣本空間如圖 所示 . 表示第 k次擊中目標(biāo)，則 A1?A2={111,110,101,100,011,010} A1?A2 ={111,110} 表示前兩次都擊中目標(biāo)； “恰好有一次擊中目標(biāo)” ={100,010,001}. 表示前兩次射擊中至少有一次擊中目標(biāo)； 參見(jiàn)例 4 若 36 2022/2/9 概率 Chapter 11 例 7 ? 測(cè)定某種燈泡壽命 t(以小時(shí)為單位 )的試驗(yàn) ,試寫出樣本空間 ?及事件 A=“壽命大于 1000小時(shí)”的集合表示 . 解 : }1000|{}0|{???????????ttAtt思考 :該例題與前面的有何不同 .能用列舉法嗎 ? 37 事件的概率 ?一、概率的定義 ?二、古典概型 ?三、幾何概型 ?四、概率的性質(zhì) 基本內(nèi)容 38 概率 Chapter 12 概率公理 假定已經(jīng)確定了樣本空間以及與之相聯(lián)系的試驗(yàn) ， 對(duì)于每一個(gè)事件 A， 我們確定一個(gè)實(shí)數(shù) P(A)來(lái)刻畫它發(fā)生的可能性的大小 ， 稱為概率 .概率是定義在事件 （ 或集合 ） 上的函數(shù)（ 通常稱為測(cè)度 ） ， 必須滿足下面的幾條公理 （ 1） (非負(fù)性 ) 對(duì)一切事件 A，滿足 ( ) 0PA ?第二節(jié) 事件的概率 （ 2） (可加性 ) 設(shè) A、 B是兩個(gè)互不相容的事件 ,則它們的并集 滿足 P(A?B)= P(A)+ P(B) 若 A A … 是一個(gè)互不相容的事件序列，則它們的并集滿足 P(A1 ? A2 ?… )= P(A1 )+ P(A2) +… （ 3） (歸一性 ) 樣本空間 Ω (即必然事件 )的概率為 1, 即 P（ Ω） =1 39 概率模型的構(gòu)成： ? 樣本空間 Ω:這是一個(gè)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果的集合； ? 概率 :概率給實(shí)驗(yàn)結(jié)果的集合 A（稱之為 事件 ）確定一 個(gè)非負(fù)數(shù) P(A)(稱為事件 A的 概率 ).這個(gè)非負(fù)數(shù)刻畫了我們對(duì)事件 A的認(rèn)識(shí)或所產(chǎn)生的信念的程度 . ? 概率必須滿足某些性質(zhì) . 40 概率與頻率 ?概率的更具體、更直觀的解釋是頻率 . ?比如 P(A)=2/3,表示在大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率大約是 2/3. ?歷史上有人進(jìn)行過(guò)投擲一枚硬幣的試驗(yàn)，下表列出其結(jié)果： 41 2022/2/9 概率 Chapter 12 (見(jiàn)教材 ) .:。: 用頻率近似計(jì)算概率應(yīng)用上概率確實(shí)存在理論上實(shí)驗(yàn)者 投擲次數(shù) N “正面向上”次數(shù) M 頻率 M/N 蒲豐 4040 2048 皮爾遜 24000 12022 維尼 30000 14994 該試驗(yàn)表明，正面出現(xiàn)的頻率在 .說(shuō)明出現(xiàn)正面的概率是 1/ . 該實(shí)驗(yàn)的意義 : 42 概率的基本性質(zhì) P( A ) 1 P ( A )??性質(zhì) 1 不可能事件 Φ 的概率等于 0，即 P（ Φ） =0 證明 : 由歸一性和可加性可 知 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )P P P P P? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?＝ ＝性質(zhì) 2 對(duì)立事件的概率有 1 ( ) ( ) ( ) ( )P P A A P A P A? ? ? ?＝ ＝證明 : 2022/2/9 概率 Chapter 12 性質(zhì) 3 若 A A … 、 An是 n個(gè)互不相容的隨機(jī)事件， 則它們的并集滿足 P(A1 ? A2 ?…A n)= P(A1 )+ P(A2) +…+ P(An) 證明 :反復(fù)利用可加性即得 . ( ) 0P? ? ?( ) 1 ( ) P A P A? ? ?43 ?例 1 給擲一枚硬幣的試驗(yàn)建立概率模型 . ?解：擲一枚硬幣，有兩個(gè)可能的結(jié)果：正面和反面。若用 表示正面， 表示反面，則樣本空間為： 。事件為： ?如果硬幣是均勻的，正面和反面出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同，這兩個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率應(yīng)該相同，即 概率建模實(shí)例： 1? 2?},{ 21 ?????},{},{},{ 2121 ????})({})({ 21 ?? PP ?44 ?由可加性和歸一性知 ?由此可得： ?顯然，以上建立的概率滿足三條公理 . 1})({})({}),({ 2121 ??? ???? PPP0)(,})({,})({,1}),({ 2121 ????? PPPP ????45 2022/2/9 概率 Chapter 13 A AB 例 ? 假設(shè) A發(fā)生的概率為 ,A與 B都發(fā)生的概率為 , A與 B都不發(fā)生的概率為 ,求 (1)A發(fā)生但 B不發(fā)生的概率 . (2)B發(fā)生但 A不發(fā)生的概率 . (3) A與 B至少有一個(gè)發(fā)生的概率 . B 46 2022/2/9 概率 Chapter 13 例 0 .1 5 ,)B AP( 0 .1 ,P ( A B ) ,)A(P,: ???有依題意解A AB B (A B)P (A ))BP (A BABA ,BA)1(???? 的概率為即不發(fā)生發(fā)生但事件( ( ) , ( ) ( ) P ( ) .P ( ) ( ) ( ) . )A A A B B A B A B P A P A B A BA B P A P A B? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 分 解 法.) ()()( BAAB ,AB,)2(??????BAPAPBAP的概率為即不發(fā)生發(fā)生但事件同理( 3 ) P( A B ) 1 P( A B ) 1 ( B ) 1 5 5PA? ? ? ? ???47 2022/2/9 概率 Chapter 12 二、 古典概型 設(shè)樣本空間由 n個(gè)等可能的實(shí)驗(yàn)結(jié)果組成，則對(duì)任意 事件 A，對(duì)應(yīng)的概率 P(A)可由下式計(jì)算： 特點(diǎn) ； ； 依題意 , 12{ , , , }n? ? ???ninP i ?2,1,1})({ ???這樣對(duì)于每一個(gè)事件 A，可以按照下面方法計(jì)算概率： 根據(jù)歸一性和可加性 ,有 設(shè)它的樣本空間為 事件總數(shù)樣本空間中所有的基本中含有的基本事件數(shù)A)( ??nmAP48 例 (練習(xí) ) 連續(xù)兩次投擲一枚均勻的骰子有 36個(gè)等可能的結(jié)果，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率為 1/： P({兩次點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù) })= P({兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù) })= P({兩次點(diǎn)數(shù)相同 })= P({第一次點(diǎn)數(shù)比第二次點(diǎn)數(shù)大 }= P({有一次點(diǎn)數(shù)為 6})= P({只有一次點(diǎn)數(shù)為 6})= 213618?213618?6136 6?15 536 12?53610 536 18?1136P({最大點(diǎn)數(shù)為 3})= 概率 Chapter 12 2022/2/9 49 ? 求 n個(gè)人（ n365）中至少有兩個(gè)人同生日的概率 . ? 解：基本事件的總數(shù)為 ? 設(shè) A表示“至少有兩個(gè)人的生日在同一天”，則 表示“任何兩個(gè)人的生日都不在同一天，包含 個(gè)基本事件 ? 于是 ， ? 下面是給出 n的數(shù)值，得到的一些具體結(jié)果 ： n365AnA365nnAAPAP 3651)(1)( 365???? n 20 30 40 50 60 70 80 nP例 50 例 （抽簽的合理性） nkmAmA)!1(1 ?nC knknnCAP km ???!)!1()( 1 設(shè)有 n個(gè)人訂了 n張電影票 ,其中有 k張甲級(jí)票 .現(xiàn)讓這 n個(gè)人依次各抽一張，試證明每個(gè)人抽得甲級(jí)票的概率均為 k/n,與抽取的先后次序無(wú)關(guān) . 證明： n個(gè)人各抽一張，相當(dāng)于將 n張票全排列， 故基 本事件 總數(shù)為 n!. 設(shè)事件 Am={第 m個(gè)人抽到甲級(jí)票 }（ m=1,2,…,n ） , 則 Am中包含的基本事件數(shù)為 于是 可見(jiàn) ,與 抽取 次序 m無(wú)關(guān) . 2022/2/9 概率 Chapter 12 51 2022/2/9 概率 Chapter 12 ? 有三個(gè)打字員為四個(gè)科室服務(wù) ,如果四個(gè)科室各有一份文件要打字 ,且各科室對(duì)打字員的選擇是隨機(jī)的 ,試求 : ? (1)四個(gè)科室把任務(wù)交給同一個(gè)打字員的概率 。 ? (2)每個(gè)打字員都有任務(wù)的概率 . ? 解 : )( 3 4 可供選擇四個(gè)科室有三個(gè)打字員基本事件總數(shù)為補(bǔ)例 (選擇問(wèn)題 ) 52 2022/2/9 概率 Chapter 12 解 : .2713CP ( A) .CA,4A( 1 )41313??所以包含基本事件個(gè)數(shù)為則的事件個(gè)打字員個(gè)科室把任務(wù)交給同一表示設(shè).943CP ( B ) )22,24,213(,)2(4222413222413??PCPCCBB所以份人打剩下的另份份文件中選份文件人打人中有包含基本事件個(gè)數(shù)為的事件每個(gè)打字員都有任務(wù)表示設(shè)53 2022/2/9 概率 Chapter 12 例 （組合數(shù)與排列數(shù)） 假設(shè)有 100件產(chǎn)品，其中有 40件一等品， 60件二等品 .從中任取 3件 ,按下列抽取方法，求事件 A=“有兩件一等品，一件二等品”的概率 . (1)(有放回抽樣 )每次取一件，測(cè)試后放回，再抽取下一件； (2)(不放回抽樣 )每次取一件，測(cè)試后不放回，在剩下的產(chǎn)品中抽取下一件 . 解 : 32 23( 1 ) , A 40 60 ,100C ??基 本 事 件 總 數(shù) 為所 含 的 基 本 事 件 個(gè) 數(shù) 為 2 23340 60 P ( A ) 8100C ????練習(xí) 54 2022/2/9 概率 Chapter 12 (2) 分為兩種情形 : 214 0 6 03100( ) 0 .2 8 9CCPAC