【正文】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 數(shù)學與信息科學學院：劉曉真 2022/2/9 cheaper1 2 序 經(jīng)濟數(shù)學 考研內(nèi)容 高等數(shù)學 (50%) 概率論與 數(shù)理統(tǒng)計 (25%) 線性代數(shù) (25%) 3 2022/2/9 概率 Chapter 11 第一部分是概率論基礎(chǔ)，包括第一、二、三 、四、五 章 . 第二部分是數(shù)理統(tǒng)計初步 ,包括第六 、 七、八、九章 . 第一章介紹概率論最基本的概念；第二章引進隨機變量的概念，并用分布函數(shù)描述它；第三章介紹隨機向量；第四章介紹隨機變量的數(shù)字特征；第五章介紹大數(shù)定律與中心極限定理 . 第六章主要介紹數(shù)理統(tǒng)計的基本概念；第七章和第八章分別介紹統(tǒng)計推斷的兩項主要內(nèi)容－－參數(shù)估計和假設(shè)檢驗；第九章介紹具有回歸關(guān)系的隨機變量如何建立數(shù)學模型 . 本教材的主要內(nèi)容 本書分為 兩個部分 : 5 2022/2/9 概率 Chapter 11 引言 ?171。概率論與數(shù)理統(tǒng)計 187。的研究對象 在自然界中常見到兩類不同性質(zhì)的現(xiàn)象 : 確定性現(xiàn)象： 可以根據(jù)其賴以存在的條件，事先準確的判定它們未來的結(jié)果的現(xiàn)象 . 如 : 在標準大氣壓下，水加熱到 100度就會沸騰 . 每天，太陽從東方升起 . 第一章 隨機事件及概率 6 2022/2/9 概率 Chapter 11 隨機現(xiàn)象： 就某一現(xiàn)象而言，在條件相同的一系列 重復 觀察中，會時而出現(xiàn)時而不出現(xiàn)，呈現(xiàn)出不確定性，且在每次觀察之前不能準確預料其是否會出現(xiàn)。 如： 抽樣檢驗產(chǎn)品質(zhì)量的結(jié)果 。 保險公司的年賠償金額 。 擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù) 。 拋擲硬幣哪面向上等 . 7 2022/2/9 概率 Chapter 11 ?隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 比如剛才提到的例子，在桌面上投擲一枚硬幣，可能正面向上，也可能反面向上，在投擲之前不能斷言一定哪一面向上。這顯然是隨機現(xiàn)象。 但是如果大量拋擲硬幣，會發(fā)現(xiàn)正面出現(xiàn)的次數(shù)與拋擲的次數(shù) 之比 －－ 我們稱之為正面出現(xiàn)的頻率 －－在常數(shù) 。 8 2022/2/9 概率 Chapter 11 ?隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 (續(xù) ) 再比如，在桌面上投擲一顆骰子，可能 1點向上，也可能 2點向上， ??, 在投擲之前不能斷言一定哪一個數(shù)字向上。這顯然是隨機現(xiàn)象。 如果重復拋擲，會發(fā)現(xiàn) 骰子 某點出現(xiàn)的次數(shù)與拋擲的總次數(shù) 之比 －－ 我們稱之為某點出現(xiàn)的頻率 －－在一個 常數(shù) 附近擺動。 思考 :常數(shù)是幾 ? 答案 :常數(shù)是 1/6. 9 2022/2/9 概率 Chapter 11 “概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科。 隨機現(xiàn)象有其偶然性一面，也有其必然性一面，這種必然性表現(xiàn)在 大量重復 試驗或觀察中 ,隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 . 如圖是常用的柱狀圖 10 2022/2/9 概率 Chapter 11 第一節(jié) 隨機試驗、樣本空間及隨機事件 第二節(jié) 事件的概率 第三節(jié) 條件概率 第四節(jié) 全概率公式與貝葉斯公式 第五節(jié) 事件的獨立性 第六節(jié) 獨立重復試驗和二項概率 第一章 基本內(nèi)容 四大公式 11 、樣本空間和隨機事件 ?一、隨機試驗 ?二、 樣本空間和隨機事件 ?三、事件的關(guān)系和運算 ?四、事件的運算性質(zhì) 基本內(nèi)容 12 2022/2/9 概率 Chapter 11 一、先給出隨機試驗的概念 . 試驗 :對隨機現(xiàn)象的觀察過程通常稱為隨機試驗 . 簡稱試驗 .用字母 E表示 . 試驗的三個特性： ?A、 重復性 :試驗可以在相同的條件下重復進行 . ?B、 隨機性 :每次結(jié)果不止一個 ,進行一次試驗 之前不能確定究竟哪一個結(jié)果會出現(xiàn) . ?C、 明確性 :能夠明確指出試驗的所有可能結(jié)果 . 13 2022/2/9 概率 Chapter 11 13 二、 樣本空間和隨機事件 隨機試驗中每個可能出現(xiàn)的結(jié)果都叫做 樣本點 (用 ?表示 ) ； 全體樣本點構(gòu)成的集合叫 樣本空間 (用 ?表示 )； 樣本空間的子集 ,即某些實驗結(jié)果的集合 ,稱為隨機事件 . 簡稱 事件 . 事件一般用大寫字母 A、 B、 C等表示 ,必要時可加下標 . 如 :擲一枚硬幣 ,A=“正面向上 ” 。 袋中有紅 ,黃 ,綠色球各一個 .任取一球 .則 A1=“取出紅球 ” ； A2=“取出黃球 ” ； A3=“取出綠球 ” . ??基本概念 有時一次完整的試驗可有若干個步驟組成 . 如 :連續(xù)拋擲三次硬幣 . 14 2022/2/9 概率 Chapter 11 隨機事件的有關(guān)概念 :由定義 ,樣本空間本身和它的補集都可以作為事件 . ?稱為必然事件 , ?稱為不可能事件 .如果某個事件只包含一個樣本點，即單點集合稱為基本事件 . 即有如下分類 : ?基本事件： 試驗 E的每一個基本結(jié)果 {?}. ?復合事件（組合事件）： 由兩個或兩個以上基本事件組合而成的事件 {?1 ,?2…, ?n}. ?必然事件： 每次試驗中一定出現(xiàn)的事件 .用 Ω 表示 . ?不可能事件： 每次試驗中一定不出現(xiàn)的事件 . 用 ?表示 . 15 2022/2/9 概率 Chapter 11 例 1 設(shè)試驗 E為擲一顆骰子 ,觀察其出現(xiàn)的點數(shù) ： An=“出現(xiàn) n點 ” 。 n=1， 2， 3， 4， 5， 6. A A A A A A6是基本事件； A=“偶數(shù)點 ” 是復合事件； B=“點數(shù)小于 5”也是復合事件； “ 點數(shù)不大于 6”是必然事件； “ 點數(shù)大于 6”是不可能事件 . ?注： 復合事件發(fā)生是指：當且僅當其所包含的基本事件中有一個發(fā)生 . 如： A A A6中某 個發(fā)生， “ 偶數(shù)點 ” 就發(fā)生 . 16 例 2 ? 連續(xù)投擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面為止。若用“ 0”表示出現(xiàn)反面，“ 1”表示出現(xiàn)正面來記錄每次投擲的結(jié)果，則這個試驗的可能結(jié)果有： ?1 =“1” （第一次出現(xiàn)正面） ?2 =“01” （第一次出現(xiàn)反面，第二次出現(xiàn)正面） … ?n =“0… 01” (前 n1次出現(xiàn)反面，第 n次才出現(xiàn)正面 ) … 這個試驗有無窮多個可能結(jié)果，樣本空間 Ω= {?1 ,?2…, ?n…} . 概率 Chapter 11 2022/2/9 17 2022/2/9 概率 Chapter 11 例 3 ? 設(shè)試驗 E為從 10件產(chǎn)品中任取 3件 ,已知 10件中含有 2件次品 ,用 Ai表示取到 i件次品 : 即 Ai={ i件次品 },i=0,1,2 就是 3個 基本事件 . 18 例 4 ? 擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù) . 定義 A1 ={1}, A2 ={2,3,4,5,6}, A3 ={1,3,5}, A4 ={2,4,6}. 則 {A1 、 A2} 是樣本空間， {A3 、 A4}也是樣本空間 。 但是 {A2 、 A3}不是樣本空間， {A1 、 A4}也不是樣本空間 . 19 序貫模型 許多試驗本身具有序貫特征 . ?序貫試驗 :在進行下次試驗以前 ,已經(jīng)知道前面試驗的結(jié)果 ,這樣一次接著一次的抽樣試驗 ,即為序貫試驗 . 如連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，其樣本空間有兩種等價的表示方法，如下圖所示。左圖用二維格子點表示，右圖用序貫樹形圖表示。 通常用 序貫樹形 (狀 )圖 來刻畫樣本空間中的試驗結(jié)果，優(yōu)點是可以表示試驗的順序特征 .在樹形圖中，從根部到末端的每一條路徑表示一個試驗結(jié)果 . 21 三、事件的關(guān)系和運算 ? 隨機事件是樣本空間的子集，是某些試驗結(jié)果的集合 .這些事件之間往往有一定的聯(lián)系，我們需要研究這些事件之間的關(guān)系并規(guī)定事件之間的運算 . 概率 Chapter 11 2022/2/9 22 1. 事件的并（和） ?事件 A與事件 B至少有一個發(fā)生這一事件稱為A與 B的和事件（或并事件），記為 ? A+B 或 A∪ B ?從集合角度， ? A∪ B={ω| ω∈ A或 ω∈ B} nAAA , .. ., 21??niiA1?niiA1?類似的， n個事件 的和事件記為 或 表示這 n個事件中至少有一個發(fā)生。 23 2. 事件的交（積） ?事件 A與事件 B同時發(fā)生這一事件稱為 A與 B的積事件（或交事件），記為 或 從集合角度看， ?類似的， n個事件 的交事件記為 或 ?表示這 n個事件同時發(fā)生 . AB BA ?}|{ BABA ??? ??? 且?nAAA , .. ., 21?niiA1???ninA124 ?稱事件 A不出現(xiàn)這一事件為 A的對立事件（逆事件），記為 . ?用集合表示， ?由定義可知， A也是 的對立事件，即 且 ?顯然 3. 對立事件（逆事件） A}|{ AA ???? ??? 且Ω A AAAA ? ???? AAAA ?? ,?????? ,25 4. 事件的差 ? 事件 A發(fā)生而事件 B不發(fā)生這一事件稱為 A與 B的差事件，記為 . ? 從集合角度 ， ?顯然 BA?}|{ BABA ???? ??? 且ABABA ??? BA?Ω A B 陰影部分是 BA? 或 BA26 5. 事件的的包含與相等 ?如果事件 A發(fā)生必然導致事件 B發(fā)生，則稱事件 A包含于事件 B或事件 B包含事件 A，記為 或 . ? 意味著 A是 B的子集 . ?顯然對于任何事件 A，有 ?如果 且 . ?則稱事件 . BA ? AB ?BA ?Ω A B 此處 BA ????? ABA ? AB ?BA ?27 ?例如 : ? 考察某動物的年齡，事件 A表示“存活3年的動物”，事件 B表示“存活 5年的動物”，問 A和 B的關(guān)系 . ? 如果用 X表示這種動物的年齡，則 事件 A={X≥3}， B={X≥5} ?于是 AB ?28 6. 互不相容（互斥）事件 ?如果事件 A與事件 B不能同時發(fā)生，則稱 A與 B是互不相容事件（或互斥事件） .從集合角度， A與 B互不相容即 . ?如果 n個事件 中任何兩個事件都互不相容， 即 則稱這 n個事件互不相容 . ??BA ?Ω A B C A， B， C互不相交 nAAA , .. ., 21), .. .2,1,( njijiAA ji ?????29 7. 完備事件組（分割） ? 如果 n個事件 互不相容，并且它們的和是必然事件，則稱這 n個事件構(gòu)成一個完備事件組（分割） . ? A和 構(gòu)成一個完備事件組 . nAAA , .. ., 21Ω A B C A,B,C形成 Ω的一個 完備事件組 （分割） A30 總結(jié) ? 集合 稱為 A的補集 (對立事件 ), ? 并集（ 和事件 ） ? 交集（ 積事件 ） }{ AA ???? ?? 且},|{ BxAxxBA ??? 或?},(|{ BxAxxBA ??? 和）且?31 2022/2/9 概率 Chapter 11 31 四、 事件的運算性質(zhì) ? 1)交換律 A?B=B?A A?B=B?A ? 2)結(jié)合律 A ? B ? C=(A ? B) ? C=A ?(B ? C) A ? B ? C=