【正文】 還會相信嗎？ 167。試求顧客買下該箱的概率 ． 解 設(shè) ?iA{ 箱中恰好有 i 只殘次品 } ， 2,1,0?i ，B = { 顧客買下該箱玻璃杯 } ， 則210 , AAA構(gòu)成樣本空間的一個劃分， 由題意知 ，有 )( 0 ?AP )()( 21 ?? APAP并且 1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910 ?????CCABPCCABPABP由全概率公式，有 ??????????309 4 )|()()(iii ABPAPBP)( 0 ?AP )()( 21 ?? APAP并且 1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910 ?????CCABPCCABPABP證明 由條件概率的定義和全概率公式得 ????njjjiiiiBPBAPBPBAPAPABPABP1)()|()()|()()()|(貝葉斯公式 性質(zhì) 1. 4 . 3 （貝葉斯公式） 設(shè)}:{ IiB i ?為 S 的一個劃分，且 0)( ?AP ， 0)( ?iBP )( Ii ?，則有 ???Ijjjiii BPBAPBPBAPABP)()|()()|()|( 例 1. 4 .8 某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的．根據(jù)以 往的記錄有以下的數(shù)據(jù)． 元件制造廠 次品率 提供晶體管的份額 1 0 . 0 2 0 . 1 5 2 0 . 0 1 0 . 8 0 3 0 . 0 3 0 . 0 5 設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中 是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志．（ 1 ）在倉庫中隨機(jī)地取一只晶體管 ，求它是次品的概率．（ 2 ）在倉庫中隨機(jī)地取一只 晶體管，若已知取到的是次品， 為分析此次品出自何廠，需求出此次品是由第 1 、 2 、 3 家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少 ， 試求這些概率． 解 設(shè) A={取到的是一只次品 } Bi={所取產(chǎn)品是由第 i家工廠提供｝ 3,2,1?i顯然， B1,B2,B3是樣本空間的一個劃分 (1)由全概率公式 )()|()()|()()|()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP ??? ???????(2)由貝葉斯公式 1 2 )( )()|()|( 111 ???? AP BPBAPABP同理 )|(,)|(32 ?? ABPABP 例 ,當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時 ,產(chǎn)品的合格率為 90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時 ,其合格率為 30%.每天早上機(jī)器開動時 ,機(jī)器調(diào)整得良好的概率為 75%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時 ,機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少 ？ 解 設(shè) A={產(chǎn)品是合格品 }, B={機(jī)器調(diào)整得良好 } )(,)(,)|(,)|( ???? BPBPBAPBAP由題意 顯然 ， BB , 構(gòu)成了必然事件的一個劃分 ， 由貝葉斯公式 )()|()()|()()|()|(????????BPBAPBPBAPBPBAPABP這樣我們就有了兩個概率，一個是 )( ?BP ，這是在試驗(yàn)前根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析得到的，稱為 先驗(yàn)概率 ；另一個是 )|( ?ABP ，這是在通過試驗(yàn)得到信息（即早上第一件產(chǎn)品是合格品）后重新加以修正的概率，稱為 后驗(yàn)概率 ． 機(jī)器本身是否處于調(diào)整得良好的狀態(tài)是一個客觀給定的事實(shí)，但是由于我們所獲得的經(jīng)驗(yàn)信息的不同，而對其處于什么樣狀態(tài)的概率得到了不同的數(shù)值，即 先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率，可以認(rèn)為它們反映了試驗(yàn)前后人們對機(jī)器狀態(tài)的一種主觀信念． 先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率 例 1. 4 . 1 0 根據(jù)以往的臨床記錄 , C A T （計(jì)算機(jī)輔助層次掃描）作為診斷精神分裂癥的試驗(yàn)具有如下的效果 : 若以 A 表示事件“掃描顯示被診斷者為腦萎縮” , 以 C 表示事件“被診斷者患有精神分裂癥” , 則有.)|(,)|( ?? CAPCAP現(xiàn)在已知在美國精神分裂癥的發(fā)病率 為 1 . 5 % , 即)( ?CP, 試求在掃描顯示被診斷者為腦萎縮的條件下 , 該診斷者患有精神分裂癥的條件概率)|( ACP. 解 由貝葉斯公式 ,有 )()|()()|()()|()|(CPCAPCPCAPCPCAPACP??1 8 9 8 1 0 1 ?????? 一個不懂概率的人可能會這樣推理， 由于沒患精神分裂癥的人被 CAT掃描診斷為腦萎縮的機(jī)會才2%，因此如果某人已經(jīng)被 CAT掃描診斷為腦萎縮，那么他患有精神分裂癥的概率應(yīng)該很大。第一次比賽從中任取兩個球，用后放回；第二次比賽時再從中任取兩球。由乘法公式)()|()( APABPABP ?可知 ， 只要加強(qiáng)鍛煉 ( 主觀努力 ) 并且衛(wèi)生部門做好預(yù)防工作 ( 客觀條件 良好 ) ， 那么感染禽流感病毒并導(dǎo)致死亡的概率就會很小。 2) ( | ) 1P S A ? 。 解 用 A ， B ， C 分別表示取出的是一，二，三等品三個事件，則所求概率為 )(1)()()()|(CPACAPCPCAPCAP????32)(1)()( ??????CPACPAP其中利用到 ??AC ，即 A 與 C 互斥。 定義 設(shè) BA , 是兩個事件，且 ( ) 0PB ? ，稱 ()( | )()P ABP A BPB? 為事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率 ． 簡稱為 條件概率 條件概率 )|( ABP 可視具體情況運(yùn)用下列兩種方法之一來計(jì)算 : （ 1 ）在縮減后的樣本空間 ASA ? 中計(jì)算 。 條件概率 在實(shí)際問題中，往往會遇到求在事件 A 已經(jīng)出現(xiàn)的條件下，事件B 的概率 ．這時由于附加了條件，它與事件 B 的概率 )( BP 的意義是不 同 的 ． 我 們 把 這 概 率 記 為)|( ABP ． 問題： 一個家庭有兩個孩子，已知其中有一個是女孩，問另一個也是女孩的概率是多少？ 分析 ： 一個家庭有兩個孩子的所有可能結(jié)果為 ： ( ) , ( ) , ( ) , ( )S ?｛ 男 男 男 女 女 男 女 女 ｝設(shè) BA , 分別表示事件“其中有一個是女孩”和“另一個也是女孩”，則有 )},(),(),{( 女女男女女男?A )},{( 女女?B 31)|( ?ABP所以，有 在該例中，如果不知道事件 A已經(jīng)發(fā)生的信息，那么事件 B發(fā)生的概率為 )|(41)( ABPBP ??這表明，事件之間是存在著一定的相關(guān)性的． )|( ABP 與 )( BP 不相等的原因在于，事件 A 的發(fā)生改變了樣本空間，由原來的 S 縮減為ASA ?． 1 1 4 ( )( | )3 3 4 ( )P ABP B APA? ? ?上述條件概率還可以寫成 )|( ABP 可以理解為 )( ABP 在 )( AP 中的“比重” ． 設(shè)An，Bn與ABn分別為事件 BA , 與 AB 包含的基本事件數(shù)，并設(shè)樣本空間 S 所含的基本事件總數(shù)為n ，則 )|( ABP 可用 A 已經(jīng)發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的相對比例來表達(dá)，即 )|( ABP 應(yīng)為AABnn ，而 古典概型的情形 )()(//APABPnnnnnnAABAB ?? 這個關(guān)系具有一般性，即 條件概率是兩個無條件概率之商 。 非常小??！ 例 1. 3 .9 甲、乙兩人擲均勻硬幣，其中甲擲 1?n 次，乙擲 n 次，求“甲擲出的正面次數(shù)大于乙擲出的正面次數(shù)”這一事件的概率． 解 令 X正 =甲擲出的正面次數(shù) X反 =甲擲出的反面次數(shù) Y正 =乙擲出的正面次數(shù) Y反 =乙擲出的反面次數(shù) 于是所求事件的概率為 (P X 正 ? Y 正 ），另一方面顯然有 (S ? X 正 ? Y 正 ） = （ X 正 ? Y 正 ） = （ X 反 ? Y 反 ） 因?yàn)橛矌攀蔷鶆虻模蓪ΨQ性知 P ( X 正 ? Y 正 ） = (P X 反 ? Y 反 ） 由此即得 P ( X 正 ? Y 正 ) = 例 1 . 3 . 10 （ 配對問題 ）在一個有 n 個人參加的晚會上，每個人帶了一件禮物，且假定個人帶的禮物都不相同 . 晚會期間個人從放在一起的 n 件禮物中隨機(jī)抽取一件，問至少有一個人自己抽到自己禮物的概率是多少？ 解 設(shè) A = { 至少有一個人自己抽到自己禮物 } ，iA ? { 第 i 個人自己抽到自己禮物 } ， i = 1 , 2 , ? , n ， 則有 12 nA A A A?因?yàn)? 1()iPA n?1, 2 , ,in?， 1()( 1 )ijP A A nn? ?1 i j n? ? ?1()( 1 ) ( 2)i j kP A A A n n n? ??1 i j k n? ? ? ?…… 121()!nP A A A n?所以由加法公式，所求的概率為 12( ) ( )nP A P A A A?11( ) ( )ni i ji i j nP A P A A? ? ? ?????)()1()( 2111nnnkjikji AAAPAAAP ??????????? ?11 1 1 11 ( 1 )2 ! 3 ! 4 ! !nn?? ? ? ? ? ? ?當(dāng) n 足夠大時， 此概率近似的為 11 e 0 . 6 3 2 1??? . 作 業(yè) P25 1， 2, 5. P26 8， 9, 10 性質(zhì) 6（加法公式） 對于任意兩個事件 A,B有 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B? ? ? 證 因?yàn)? ( ) , ( )A B A B A B A B A B ?? ? ? ?再由性質(zhì) 2,3,有 ( ) ( ) ( )P A B P A P B A B? ? ?( ) ( ) ( )P A P B P A B? ? ?該性質(zhì)可推廣到多個事件的和： ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C? ? ?)()()()( A B CPBCPACPABP ?????????????njijiniinii AAPAPAP111)()()( ?)()1()( 2111nnnkjikji AAAPAAAP ??????????? ?上述公式有時又被稱為 多除少補(bǔ)原理 。 0 , 1 , 2 , ,kn?續(xù)例四 因?yàn)? 00{ } { } 1n nkkP X k P X k???? ? ? ? ????? ?0{}nkX k S???所以 即 0nkM N M Nk n k n??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??或 0nk n k nM N M NkC C C?????m i n { , }r M n?令 則 0rkM N M Nk n k n??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 例 12次來訪，已知所有這 12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？ 解 假設(shè)接待時間是沒有規(guī)定的，那么各來訪者在一周7日中去接待站是等可能的，均為 1/7。設(shè) A={第 s次取出的是白球 },則所求的概率為 () aPA ab? ? 該例的結(jié)果表明 ,抽簽結(jié)果是與抽簽順序無關(guān)的。 等可能概型 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間12{ , , }nS ? ? ??，},{ 21 kiiiA ??? ?? ，則有 () kAPA nS?? 所 包 含 的 基 本 事 件 數(shù)中 基 本 事 件 總 數(shù) 因此 ,要計(jì)算任何一個事件的概率 ,關(guān)鍵是要計(jì)算樣本空間所含的基本事件數(shù) n和該事件所含的基本事件數(shù) k. 計(jì)算公式 例 將一枚硬幣拋擲三次 .(1)設(shè)事件 A1為“恰有一次出現(xiàn)正面” ,求 P(A1)。 2)試驗(yàn)中每個基本事件發(fā)生的可能性相同 . 把具有上述兩個特征的試驗(yàn)稱為 等可能概型 或 古典概型 .例如 ,拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣 ,或者出現(xiàn)正面或者出現(xiàn)反面 ,只有兩種結(jié)果 ,且每種結(jié)果出現(xiàn)