【正文】 現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 當人們在一定的條件下對它加以觀察或進行試驗時，觀察或試驗的結(jié)果是多個可能結(jié)果中的某一個 . 1. 隨機現(xiàn)象的特點 ? 在每次試驗或觀察前都無法確知其結(jié)果，即呈現(xiàn)出偶然性 . 或者說，出現(xiàn)哪個結(jié)果“憑機會而定” . 2. 隨機現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言 ? 否！ 在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性 . 兩個實驗 投擲硬幣實驗 新生兒性別實驗 試驗者 拋擲次 數(shù) (n) 正面次數(shù) (m) 正面出現(xiàn)的 頻率 (m/n) 笛 這種不確定性我們稱之為主觀不確定性。 nH:正面朝上的次數(shù)； nnHfHn /)( ?著名的拋硬幣試驗 ()nfH的增大n .212. 隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有 偶然性 , 但在大量試驗或觀察中 ,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的 統(tǒng)計規(guī)律性 ,概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學學科 . 1. 隨機現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系 ,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述 . 兩點說明 167。 E2:拋一枚硬幣兩次 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。 E6:記錄某一天城市發(fā)生車禍的次數(shù) . 隨機試驗的例子 相應的樣本空間 ? ?1 ,S H T?? ?2 , , ,S H H H T T H T T?3 { , , , , , , , }S H H H H H T H T H H T T T H H T H T T T H T T T?4 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }S ?? ?5 :0S t t??? ?6 0 ,1 , 2 , 3 ,S ? 2. 同一試驗 , 若試驗目的不同 ,則對應的樣本空 間也不同 . 例如 對于同一試驗 : “將一枚硬幣拋擲三次 ” . 若觀察正面 H、反面 T 出現(xiàn)的情況 ,則樣本空間為 若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù) , 則樣本空間為 7 { 0 , 1 , 2 , 3 } .S ?3 { , , , , , , } .S H H H H H T H T H T H HH T T T T H T H T T T T?1. 試驗不同 , 對應的樣本空間也不同 . 幾點說明 3. 建立樣本空間 ,事實上就是建立隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型 . 因此 , 一個樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實際問題 . 例如 只包含兩個樣本點的樣本空間 它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn) 正面 或出現(xiàn) 反面 的模型 , 也可以作為產(chǎn)品檢驗中 合格 與 不合格 的模型 , 又能用于排隊現(xiàn)象中 有人排隊 與 無人排隊 的模型等 . { , }S H T? 在具體問題的研究中 , 描述隨機現(xiàn)象的第一步 就是建立樣本空間 . 集合這一概念為我們搭建了從隨機現(xiàn)象到數(shù)學的一座橋梁。 頻率與概率 研究隨機現(xiàn)象不僅要知道可能出現(xiàn)哪些事件 ,還要知道各種事件出現(xiàn)的可能性的大小 .我們把 衡量事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標稱作事件的概率 .事件 A的概率用 P(A)來表示 . 問題 :對于一個給定的隨機事件 ,衡量它發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標 ——概率 ,是如何確定的？ ()()nnAfAn?定義 在相同條件下 , 進行了 n 次試驗 ,在這 n 次試驗中事件 A 發(fā)生的次數(shù)()nA稱為 事件 A 的 頻數(shù) , 比值( ) /n A n稱為 事件 A 發(fā)生的 頻率 , 并記為)( Af n,即 試驗 序號 5?nHn f1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 Hn f50?n22 25 21 25 24 18 27 Hn500?n251 249 256 247 251 262 258 f 實例 將一枚硬幣拋擲 5 次、 50 次、 500 次 , 各做 7 遍 , 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率 . 處波動較大在 21波動最小 隨 n的增大 , 頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性 處波動較小在 21頻率具有如下的特點 : 能性的大小 ,頻率大則發(fā)生的可能性也應該大 。 167。 例 1. 3 .7 設(shè)有 N 件產(chǎn)品 , 其中有 M 件次品 , 今從中任取 n 件 , 問其中恰有 k 件次品的概率是多少？ 解 在 N 件產(chǎn)品中任取 n 件 , 所有可能的取法共有nNC種 , 每一種取法為一基本事件 . 由乘法原理知在 N 件產(chǎn)品中取 n 件 , 其中恰有 k 件次品的取法共有k n kM N MCC??種 , 記 X 為取得的次品數(shù)，則 所求的概率為 {}k n kM N MnNCCP X kC????上式即所謂 超幾何分布 的概率公式。 推論． ( 概率的半可加性 ) 對于任意的 n個事件nAAA , 21 ?，有 )()(11????niinii APAP ? 例 1. 2 . 1 已知 )( ?AP ， )( ?BP ，)( ?? BAP ，求 )( BAP 解 )()()()()( ABPAPABAPBAPBAP ?????? 而 )()()()( BAPBPAPABP ???? ????所以 )( ???BAP167。 （ 2 ）在原來的樣本空間 S 中，直接按定義計算． 條件概率的定義 例 1. 4 .1 一盒子裝有 5 只產(chǎn)品 , 其中 3 只一等品 ,2 只二等品 . 從中取產(chǎn)品兩次 , 每次任取一只 , 做不放回抽樣 .設(shè)事件 A 為“第一次取到的是一等品” , 事件 B 為“第二次取到的是一等品” , 試求條件概率 )|( ABP . 解法一 在縮減后的樣本空間 AS 上計算 . 由于事件 A 已經(jīng)發(fā)生 , 即第一次取到的是一等品 ,所以第二次取產(chǎn)品時 , 所有產(chǎn)品只有 4 只 , 即AS所含的基本事件數(shù)為 4, 而其中一等品只剩下 2 只 , 所以 21)|( ?BP解法二 在原來的樣本空間 S 中 , 直接按定義計算 . 由于是不放回抽樣 ,所以有 534534)( ????AP1034523)( ????ABP由定義 , 21)()()|( ??APABPAB例 1. 4 .2 一批產(chǎn)品中，一、二、三等品各占 6 0 % ，30% ， 1 0 % ，從中隨意取出一件，結(jié)果不是三等品，試求取到的是一等品的概率。 3) 設(shè) , 21 ?BB 是兩兩不相容的事件 , 則有 若 ( ) 0PA ? ， 則有 ??????11)|()|(iiii ABPABP ?0)|( ?AP ?)|(1)|( ABPABP ??1 2 1 2 1 2( | ) ( | ) ( | ) ( | )P B B A P B A P B A P B B A? ? ? 概率所具有的性質(zhì)和滿足的關(guān)系式，條件概率仍然具有和滿足． 乘法定理 定理 1. 4 . 1 （乘法定理） 設(shè) BA , 是兩個事件，并且 0)( ?AP ，則有 )()|()( APABPABP ?利用條件概率的定義，可直接得到下面的乘法定理 一般地 ， 若 nAAA , 21 ? 是 n 個事件，并且0)( 121 ??nAAAP ? ，則有 )|()|()( 221112121 ???? nnnnn AAAAPAAAAPAAAP ???)()|( 112 APAAP?設(shè) A 表示某人感染禽流感病毒 ， B 表示死亡 ， 則P ( B | A ) 表示在感染病毒的條件下某人死亡的概率 ． 若該人身體好抵抗力強 ， 則 P ( B | A ) 就比較小 ， 否則就比較大 ． P ( A ) 表示禽流感病毒的感染率 ， 如果衛(wèi)生部門的預防工作做得好 ， 則它就比較小 ． P ( AB ) 表示感染禽 流感病毒并導致死亡的概率。求第二次取到 兩個新球的概率 . 解 設(shè) iA ={ 第一次取到 i 個新球 } ， 2,1,0?i ?B { 第二次取到兩個新球 } ， 則 210 , AAA 構(gòu)成樣本空間的一個劃分 由全概率公式，有 )()|()()|()()|()( 221100 APABPAPABPAPABPBP ??? 122531221529215272151916215282152621529 ????CCCCCCCCCCCCC例 1. 4 .7 玻璃杯成箱出售 ， 每箱 20 只 ， 假設(shè)各箱含 0 ， 1 ， 2 只殘次品的概率相應為 0 . 8 ， 0 . 1 和 0 . 1 ，一顧客欲買下一箱玻璃杯 ， 在購買時 ， 售貨員隨意取出一箱 ， 而顧客開箱隨意查看其中的 4 只 ， 若無殘次品 ， 則買下該箱玻璃杯 ， 否則退回。 獨立性 事件的獨立性是概率論中最重要的概念之一 .那么什么是事件的獨立性呢？ 所謂兩個事件 A與 B相互獨立 ,直觀上說就是它們互不影響 ,說得更明確一點，就是事件 A發(fā)生與否不會影響事件 B發(fā)生的可能性 , 事件 B發(fā)生與否不會影響事件 A發(fā)生的可能性 ,用數(shù)學式子來表示 ,就是 )()|( BPABP ? )()|( APBAP ?且 但是上面兩式分別要求 A與 B的概率大于零，考慮到更一般的情形，給出如下的定義 . 定義 設(shè) A、 B是兩個事件，如果成立等式 )()()( BPAPABP ?則稱事件 A與事件 B相互獨立 . 由定義知， 概率為零的事件與任何事件獨立 . 事件的獨立性 事件之間相互獨立與事件之間互不相容是兩個完全不同的概念 .事實上 ,由定義可以推知 ， 如果兩個具有正概率的事件是互不相容的 ,那么它們一定是不獨立的 ,反之 ,如果兩個具有正概率的事件是相互獨立的 ,那么這兩個事件不可能互不相容 . 兩個概念之間的區(qū)別 定理 1. 5 .1 若事件 A 與 B 相互獨立，則 A 與 B ，A 與 B 、 A 與 B 也相互獨立． 證明 由概率的性質(zhì)知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A A B P A P A B? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 1 ( ) ] ( ) ( )P A B P A P A P B P A P B P A P B? ? ? ? ?由 A與 B的獨立性知 )()()( BPAPABP ?所以 即 A 與 B 相互獨立． 類似地可證其余結(jié)論 . 因此，概率為 1的事件與任何事件相互獨立。如果三人都擊中 ,則飛機一定被擊落 ,求飛機被擊落的概率 . 解 設(shè) A={飛機被擊落 } Bi={飛機被 i個人擊中 }， i=0,1, 2,3 ， A1,A2,A3分別表示飛機被甲 ,乙 ,丙擊中 .于是 ,有 3210 AAAB ? 2 3 1 3 1 21 1 2 3B A A A A A A A A A? ? ?3213213212 AAAAAAAAAB ??? 3213 AAAB ? 顯然 , B0, B1, B2, B3構(gòu)成必然事件的一個劃分 ,于是由全概率公式 ,得 )()|()(30iii BPBAPAP ???由題意知 0)|( 0 ?BAP )|( 1 ?BAP)|( 2 ?BAP 1)|( 3 ?BAP而由 A1, A2, A3的獨立性 ,可算得 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B P A P A P A P A P A P A P A P A P A? ? ??同理 ,)(2 ?BP ,)( 3 ?BP45 )( ???????AP故 補充例題 2 設(shè)有來自三個地區(qū)的各 10名 、 15名和 25名考生的報名表 ,其中女生的報名表分別為 3份 、 7份和5份 .隨機地取一個地區(qū)的報名表 ,從中先后抽兩份 . 1)求先抽到的一份是女生表的概率 p； 2)已知后抽到的一份是男生表 ,求先抽到的一份是女生表的概率 q； 解 設(shè) }{ 區(qū)考生的報名表是第 iHi ? )3,2,1( ?i}{ 表次抽到的報名表是女生第 jA j ? )2,1( ?j則 31)( ?iHP)3,2,1( ?i