【正文】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 引言 ?為什么要學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計？ ?研究對象 ?實際應用 ?學習方法 ?關于老師 在我們所生活的世界上， 充滿了不確定性 從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化 …… ，我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性 . A. 太陽從東方升起； B. 明天的最高溫度； C. 上拋物體一定下落； D. 新生嬰兒的體重 . 下面的現(xiàn)象哪些是隨機現(xiàn)象？ 生活中處處存在不確定性，我們把帶有隨機性、偶然性 的現(xiàn)象稱為 隨機現(xiàn)象。 概率論的研究對象 隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 當人們在一定的條件下對它加以觀察或進行試驗時，觀察或試驗的結果是多個可能結果中的某一個 . 1. 隨機現(xiàn)象的特點 ? 在每次試驗或觀察前都無法確知其結果，即呈現(xiàn)出偶然性 . 或者說，出現(xiàn)哪個結果“憑機會而定” . 2. 隨機現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言 ? 否！ 在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性 . 兩個實驗 投擲硬幣實驗 新生兒性別實驗 試驗者 拋擲次 數(shù) (n) 正面次數(shù) (m) 正面出現(xiàn)的 頻率 (m/n) 笛 摩爾根 2048 1061 莆 豐 4040 2048 皮爾遜 12022 6019 皮爾遜 24000 12022 維 尼 30000 14994 出生年份 新生兒總數(shù) n 新生兒總數(shù) 頻率 (%) 男孩 數(shù) m1 女孩 數(shù) m2 男孩 m1/n 女孩 m2/n 1977 1978 1979 1980 1981 1982 3670 4250 4056 5844 6344 7231 1883 2177 2138 2955 3271 3722 1787 2073 1917 2889 3073 3509 總計 31394 16146 15248 3. 何為隨機事件 ? 隨機事件有什么特點 ? 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件 . 例：明天的最高氣溫小于 30攝氏度。 特點： 首先，隨機事件的發(fā)生具有偶然性 , 在一次試驗中，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生 . 其次，在大量重復試驗中，隨機事件的發(fā)生具有某種規(guī)律性 . 4. 隨機事件發(fā)生的可能性大小是人為的嗎 ? 隨機事件發(fā)生的可能性大小是不以人們的意志為轉移的 , 就好比一根木棒有長度，一塊土地有面積一樣 . 今后我們將用 概率 來度量隨機事件發(fā)生可能性的大小 . 否！ 5. 天有不測風云 和 天氣可以預報 有矛盾嗎 ? 無 ! “天氣可以預報 ” 指的是研究者從大量的氣象資料來探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性 . “天有不測風云 ” 指的是隨機現(xiàn)象一次實現(xiàn)的偶然性 . 從表面上看，隨機現(xiàn)象的每一次觀察結果都是隨機的，但多次觀察某個隨機現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律 . 小 結 隨機現(xiàn)象有其偶然性一面，也有其必然性一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復試驗或觀察中隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為 隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 . 小 結 隨機現(xiàn)象常常表現(xiàn)出這樣或那樣的統(tǒng)計規(guī)律，這正是概率論所研究的對象 . 下面我們開始學習， 概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是以數(shù)量化方法來研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學學科 兩部分內(nèi)容： 、定理及公式（重點） 研究怎樣從大量的隨機的看 似雜亂無章的數(shù)字中獲得統(tǒng)計結果 學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計的實用性 概率論與數(shù)理統(tǒng)計有廣泛應用 (1).金融、信貸、醫(yī)療保險等行業(yè)策略制定； (2).流水線上產(chǎn)品質(zhì)量檢驗與質(zhì)量控制； (3).服務性行業(yè)中服務設施及服務員配置； (4).生物醫(yī)學中病理試驗與藥理試驗； (5).食品保質(zhì)期、彈藥貯存分析，電器與電 子產(chǎn)品壽命分析； 學習方法 ? 轉變思維模式：最重要 －不變 —— 隨機變動 ? 多思考： －每次課會給大家思考、練習的時間 ? 勤做練習： 關于老師 經(jīng)濟學院：趙偉 郵箱： 電話： 18980409040 第一章 隨機事件與概率 現(xiàn)實世界中存在的兩類現(xiàn)象 一 .確定性現(xiàn)象 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象 . “太陽每天從東邊升起” , “同性電荷必然互斥”。 “水從高處流向低處” , 引 言 二 .不確定性現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象 在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn) 的現(xiàn)象 稱為隨機現(xiàn)象 . 實例 1 在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察 正反兩面出現(xiàn)的情況 . 結果有可能 出現(xiàn)正面 也可能 出現(xiàn)反面 . 這類現(xiàn)象的特點是 ,即使 在相同的條件下 ,每次試驗所得的結果也會不相同 ,或者 已知它過去的狀態(tài) ,它將來的發(fā)展狀態(tài)仍然無法確定 . 結果有可能為 : 1, 2, 3, 4, 5 , 6. 實例 3 拋擲一枚骰子 ,觀 察出現(xiàn)的點數(shù) . 實例 2 用同一門炮向同 一目標發(fā)射同一種炮彈多 發(fā) , 觀察彈落點的情況 . 結果 : 彈落點會各不相同 . 試驗結果的不確定性 實例 4 從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品 . 其結果可能為 : 正品 、 次品 . 實例 5 過馬路交叉口時 , 可能遇上各種顏色的交通 指揮燈 . 未來的不確定性 實例 7 劉翔還能破世界紀錄嗎？ 實例 6 明天的天氣可能是 晴 , 也可能是 多云 或 雨 . 主觀的不確定性 有些事情即使已經(jīng)發(fā)生了，但是在你知道結果之前，它們?nèi)匀痪哂胁淮_定性。這種不確定性我們稱之為主觀不確定性。 實例 8 硬幣落地后雖然結果已經(jīng)確定 ,但是在觀察之前你還是無法確定硬幣是正面還是反面朝上 。 實例 9 病人得的病雖然已經(jīng)是客觀存在的事實 ,但是在確診之前 ,在醫(yī)生看來病人得的是什么病仍然有多種可能。 主觀不確定性融入了觀察者個人的信念 . 實驗者 n nH fn(H) 德 . 摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 12022 6019 24000 12022 維 尼 30000 14994 n:拋擲硬幣的次數(shù) 。 nH:正面朝上的次數(shù)； nnHfHn /)( ?著名的拋硬幣試驗 ()nfH的增大n .212. 隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結果具有 偶然性 , 但在大量試驗或觀察中 ,這種結果的出現(xiàn)具有一定的 統(tǒng)計規(guī)律性 ,概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學學科 . 1. 隨機現(xiàn)象揭示了條件和結果之間的非確定性聯(lián)系 ,其數(shù)量關系無法用函數(shù)加以描述 . 兩點說明 167。 基本概念 隨機試驗與事件 如果一個試驗具有如下的共同特點 : (1)可在相同的條件下 重復進行 。 (2)每次試驗的可能結果不止一個 ,但是能 事先明確 試驗的所有可能的結果 。 (3)試驗之前 不能確定 哪一個結果會出現(xiàn) . 則稱滿足該試驗為 隨機試驗 .簡稱為 試驗 . 定義 隨機試驗 E的所有可能結果組成的集合稱為 E的 樣本空間 , 記為 S={ω}, S的元素 ω,即 E的一個可能的 結果 ,稱為 樣本點 或基本事件 . E1:拋一枚硬幣 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。 E2:拋一枚硬幣兩次 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。 E3:拋一枚硬幣三次 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。 E4:擲一顆骰子 ,觀察出現(xiàn)的點數(shù) 。 E5:在家電倉庫里隨機地抽取一臺電視機 ,測試它的壽命 。 E6:記錄某一天城市發(fā)生車禍的次數(shù) . 隨機試驗的例子 相應的樣本空間 ? ?1 ,S H T?? ?2 , , ,S H H H T T H T T?3 { , , , , , , , }S H H H H H T H T H H T T T H H T H T T T H T T T?4 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }S ?? ?5 :0S t t??? ?6 0 ,1 , 2 , 3 ,S ? 2. 同一試驗 , 若試驗目的不同 ,則對應的樣本空 間也不同 . 例如 對于同一試驗 : “將一枚硬幣拋擲三次 ” . 若觀察正面 H、反面 T 出現(xiàn)的情況 ,則樣本空間為 若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù) , 則樣本空間為 7 { 0 , 1 , 2 , 3 } .S ?3 { , , , , , , } .S H H H H H T H T H T H HH T T T T H T H T T T T?1. 試驗不同 , 對應的樣本空間也不同 . 幾點說明 3. 建立樣本空間 ,事實上就是建立隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型 . 因此 , 一個樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實際問題 . 例如 只包含兩個樣本點的樣本空間 它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn) 正面 或出現(xiàn) 反面 的模型 , 也可以作為產(chǎn)品檢驗中 合格 與 不合格 的模型 , 又能用于排隊現(xiàn)象中 有人排隊 與 無人排隊 的模型等 . { , }S H T? 在具體問題的研究中 , 描述隨機現(xiàn)象的第一步 就是建立樣本空間 . 集合這一概念為我們搭建了從隨機現(xiàn)象到數(shù)學的一座橋梁。 隨機事件 把樣本空間的某個子集 (具有某種特征的樣本點組成的子集 )稱為“ 隨機事件 ” ,簡稱為“ 事件 ” . 以 E5為例 ,如果電視機的壽命超過 10000個小時被認為是合格品 ,則“ 所抽取的電視機是合格品 ”這一事件可以用 S5的子集 A={t: t 10000}來表示 . 例 2中 , “至少出現(xiàn)一次正面 ”這一事件可以表示成 : ? ?HHTHHTB ,? 一般地 ,我們用英文字母表中前面的大寫字母 (可以帶下標 )表示事件 ,如用 A, B, C, A1, B3, D17等 . 設 A為隨機事件 ,如果試驗的結果 ω 屬于 A,則稱事件A發(fā)生 .即 試驗的結果 A??事件 A發(fā)生 ? 樣本空間有兩個特殊的子集 ,一個是 S本身 ,由于它包含了所有可能的結果 ,所以在每次試驗中它總是發(fā)生的 ,我們將其稱為 必然事件 。另一個子集是空集 φ ,它不包含任何元素 ,因此在每次試驗中都不發(fā)生 ,我們將其稱為 不可能事件 . 事件間的關系與運算 由于事件是樣本空間的一個子集 ,因此本節(jié)所涉及到的 事件之間的關系與運算就是集合間的關系與運算 ,但是事件之間的關系與運算需要一套特別的語言來描述 ,并且熟悉這種特別的語言對本章及以后的學習起著非常重要的作用 . 這一部分的重點就是能正確地將集合論中的符號翻譯成概率論的語言 . 1) 符號 : BA ?集合論中的含義 : 若 ω ∈ A,則 ω∈ B 概率論中的含義 : 若 A發(fā)生 ,則 B發(fā)生 . 這時我們稱 事件 B包含了事件 A. 若 同時 ,則稱 A與 B相等 ,記為 A=B. BA ? AB ?S B A 2) 符號 : AB集合論中的含義 : AB? ? ω∈ A或 ω∈ B ?概率論中的含義 : 事件 發(fā)生 AB ? 事件 A發(fā)生或事件 B發(fā)生 ? 事件 A與事件 B至少有一個發(fā)生 將 AB 稱為 BA , 的 和事件 , 它表示“ BA 與 至少有一個發(fā)生” . 這一新事件 . S B A BA?將“?nkkA1?” 稱為 n 個 事件 A 1 , A 2 , ? A n 的 和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n 至少有一個發(fā)生 ”這一事件； 將“??? 1kkA” 稱為 可列個事件 A 1 , A 2 , ? A n ? 的和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n ? 至少有一個發(fā)生 ”這一事件 . 進一步推廣 3)符號 : 或 AB AB集合論中的含義 : AB? ?? ?概率論中的含義 : 事件