【正文】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 引言 ?為什么要學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)？ ?研究對(duì)象 ?實(shí)際應(yīng)用 ?學(xué)習(xí)方法 ?關(guān)于老師 在我們所生活的世界上， 充滿了不確定性 從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡(jiǎn)單的機(jī)會(huì)游戲，到復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬(wàn)物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化 …… ，我們無(wú)時(shí)無(wú)刻不面臨著不確定性和隨機(jī)性 . A. 太陽(yáng)從東方升起； B. 明天的最高溫度； C. 上拋物體一定下落； D. 新生嬰兒的體重 . 下面的現(xiàn)象哪些是隨機(jī)現(xiàn)象？ 生活中處處存在不確定性，我們把帶有隨機(jī)性、偶然性 的現(xiàn)象稱為 隨機(jī)現(xiàn)象。 概率論的研究對(duì)象 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 當(dāng)人們?cè)谝欢ǖ臈l件下對(duì)它加以觀察或進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，觀察或試驗(yàn)的結(jié)果是多個(gè)可能結(jié)果中的某一個(gè) . 1. 隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn) ? 在每次試驗(yàn)或觀察前都無(wú)法確知其結(jié)果，即呈現(xiàn)出偶然性 . 或者說(shuō)，出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果“憑機(jī)會(huì)而定” . 2. 隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒(méi)有規(guī)律可言 ? 否！ 在一定條件下對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量觀測(cè)會(huì)發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性 . 兩個(gè)實(shí)驗(yàn) 投擲硬幣實(shí)驗(yàn) 新生兒性別實(shí)驗(yàn) 試驗(yàn)者 拋擲次 數(shù) (n) 正面次數(shù) (m) 正面出現(xiàn)的 頻率 (m/n) 笛 摩爾根 2048 1061 莆 豐 4040 2048 皮爾遜 12022 6019 皮爾遜 24000 12022 維 尼 30000 14994 出生年份 新生兒總數(shù) n 新生兒總數(shù) 頻率 (%) 男孩 數(shù) m1 女孩 數(shù) m2 男孩 m1/n 女孩 m2/n 1977 1978 1979 1980 1981 1982 3670 4250 4056 5844 6344 7231 1883 2177 2138 2955 3271 3722 1787 2073 1917 2889 3073 3509 總計(jì) 31394 16146 15248 3. 何為隨機(jī)事件 ? 隨機(jī)事件有什么特點(diǎn) ? 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件 . 例：明天的最高氣溫小于 30攝氏度。 特點(diǎn)： 首先，隨機(jī)事件的發(fā)生具有偶然性 , 在一次試驗(yàn)中，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生 . 其次，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的發(fā)生具有某種規(guī)律性 . 4. 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是人為的嗎 ? 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的 , 就好比一根木棒有長(zhǎng)度，一塊土地有面積一樣 . 今后我們將用 概率 來(lái)度量隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小 . 否！ 5. 天有不測(cè)風(fēng)云 和 天氣可以預(yù)報(bào) 有矛盾嗎 ? 無(wú) ! “天氣可以預(yù)報(bào) ” 指的是研究者從大量的氣象資料來(lái)探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性 . “天有不測(cè)風(fēng)云 ” 指的是隨機(jī)現(xiàn)象一次實(shí)現(xiàn)的偶然性 . 從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機(jī)的，但多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律 . 小 結(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性一面，也有其必然性一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 . 小 結(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象常常表現(xiàn)出這樣或那樣的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這正是概率論所研究的對(duì)象 . 下面我們開(kāi)始學(xué)習(xí)， 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是以數(shù)量化方法來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科 兩部分內(nèi)容： 、定理及公式（重點(diǎn)） 研究怎樣從大量的隨機(jī)的看 似雜亂無(wú)章的數(shù)字中獲得統(tǒng)計(jì)結(jié)果 學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的實(shí)用性 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)有廣泛應(yīng)用 (1).金融、信貸、醫(yī)療保險(xiǎn)等行業(yè)策略制定； (2).流水線上產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)與質(zhì)量控制； (3).服務(wù)性行業(yè)中服務(wù)設(shè)施及服務(wù)員配置； (4).生物醫(yī)學(xué)中病理試驗(yàn)與藥理試驗(yàn)； (5).食品保質(zhì)期、彈藥貯存分析，電器與電 子產(chǎn)品壽命分析； 學(xué)習(xí)方法 ? 轉(zhuǎn)變思維模式：最重要 －不變 —— 隨機(jī)變動(dòng) ? 多思考： －每次課會(huì)給大家思考、練習(xí)的時(shí)間 ? 勤做練習(xí)： 關(guān)于老師 經(jīng)濟(jì)學(xué)院：趙偉 郵箱： 電話： 18980409040 第一章 隨機(jī)事件與概率 現(xiàn)實(shí)世界中存在的兩類現(xiàn)象 一 .確定性現(xiàn)象 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象 . “太陽(yáng)每天從東邊升起” , “同性電荷必然互斥”。 “水從高處流向低處” , 引 言 二 .不確定性現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象 在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn) 的現(xiàn)象 稱為隨機(jī)現(xiàn)象 . 實(shí)例 1 在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察 正反兩面出現(xiàn)的情況 . 結(jié)果有可能 出現(xiàn)正面 也可能 出現(xiàn)反面 . 這類現(xiàn)象的特點(diǎn)是 ,即使 在相同的條件下 ,每次試驗(yàn)所得的結(jié)果也會(huì)不相同 ,或者 已知它過(guò)去的狀態(tài) ,它將來(lái)的發(fā)展?fàn)顟B(tài)仍然無(wú)法確定 . 結(jié)果有可能為 : 1, 2, 3, 4, 5 , 6. 實(shí)例 3 拋擲一枚骰子 ,觀 察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) . 實(shí)例 2 用同一門(mén)炮向同 一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多 發(fā) , 觀察彈落點(diǎn)的情況 . 結(jié)果 : 彈落點(diǎn)會(huì)各不相同 . 試驗(yàn)結(jié)果的不確定性 實(shí)例 4 從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品 . 其結(jié)果可能為 : 正品 、 次品 . 實(shí)例 5 過(guò)馬路交叉口時(shí) , 可能遇上各種顏色的交通 指揮燈 . 未來(lái)的不確定性 實(shí)例 7 劉翔還能破世界紀(jì)錄嗎？ 實(shí)例 6 明天的天氣可能是 晴 , 也可能是 多云 或 雨 . 主觀的不確定性 有些事情即使已經(jīng)發(fā)生了，但是在你知道結(jié)果之前，它們?nèi)匀痪哂胁淮_定性。這種不確定性我們稱之為主觀不確定性。 實(shí)例 8 硬幣落地后雖然結(jié)果已經(jīng)確定 ,但是在觀察之前你還是無(wú)法確定硬幣是正面還是反面朝上 。 實(shí)例 9 病人得的病雖然已經(jīng)是客觀存在的事實(shí) ,但是在確診之前 ,在醫(yī)生看來(lái)病人得的是什么病仍然有多種可能。 主觀不確定性融入了觀察者個(gè)人的信念 . 實(shí)驗(yàn)者 n nH fn(H) 德 . 摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 12022 6019 24000 12022 維 尼 30000 14994 n:拋擲硬幣的次數(shù) 。 nH:正面朝上的次數(shù)； nnHfHn /)( ?著名的拋硬幣試驗(yàn) ()nfH的增大n .212. 隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有 偶然性 , 但在大量試驗(yàn)或觀察中 ,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 ,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科 . 1. 隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系 ,其數(shù)量關(guān)系無(wú)法用函數(shù)加以描述 . 兩點(diǎn)說(shuō)明 167。 基本概念 隨機(jī)試驗(yàn)與事件 如果一個(gè)試驗(yàn)具有如下的共同特點(diǎn) : (1)可在相同的條件下 重復(fù)進(jìn)行 。 (2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè) ,但是能 事先明確 試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果 。 (3)試驗(yàn)之前 不能確定 哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn) . 則稱滿足該試驗(yàn)為 隨機(jī)試驗(yàn) .簡(jiǎn)稱為 試驗(yàn) . 定義 隨機(jī)試驗(yàn) E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E的 樣本空間 , 記為 S={ω}, S的元素 ω,即 E的一個(gè)可能的 結(jié)果 ,稱為 樣本點(diǎn) 或基本事件 . E1:拋一枚硬幣 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。 E2:拋一枚硬幣兩次 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。 E3:拋一枚硬幣三次 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。 E4:擲一顆骰子 ,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 。 E5:在家電倉(cāng)庫(kù)里隨機(jī)地抽取一臺(tái)電視機(jī) ,測(cè)試它的壽命 。 E6:記錄某一天城市發(fā)生車禍的次數(shù) . 隨機(jī)試驗(yàn)的例子 相應(yīng)的樣本空間 ? ?1 ,S H T?? ?2 , , ,S H H H T T H T T?3 { , , , , , , , }S H H H H H T H T H H T T T H H T H T T T H T T T?4 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }S ?? ?5 :0S t t??? ?6 0 ,1 , 2 , 3 ,S ? 2. 同一試驗(yàn) , 若試驗(yàn)?zāi)康牟煌?,則對(duì)應(yīng)的樣本空 間也不同 . 例如 對(duì)于同一試驗(yàn) : “將一枚硬幣拋擲三次 ” . 若觀察正面 H、反面 T 出現(xiàn)的情況 ,則樣本空間為 若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù) , 則樣本空間為 7 { 0 , 1 , 2 , 3 } .S ?3 { , , , , , , } .S H H H H H T H T H T H HH T T T T H T H T T T T?1. 試驗(yàn)不同 , 對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同 . 幾點(diǎn)說(shuō)明 3. 建立樣本空間 ,事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型 . 因此 , 一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問(wèn)題 . 例如 只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間 它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn) 正面 或出現(xiàn) 反面 的模型 , 也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中 合格 與 不合格 的模型 , 又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中 有人排隊(duì) 與 無(wú)人排隊(duì) 的模型等 . { , }S H T? 在具體問(wèn)題的研究中 , 描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步 就是建立樣本空間 . 集合這一概念為我們搭建了從隨機(jī)現(xiàn)象到數(shù)學(xué)的一座橋梁。 隨機(jī)事件 把樣本空間的某個(gè)子集 (具有某種特征的樣本點(diǎn)組成的子集 )稱為“ 隨機(jī)事件 ” ,簡(jiǎn)稱為“ 事件 ” . 以 E5為例 ,如果電視機(jī)的壽命超過(guò) 10000個(gè)小時(shí)被認(rèn)為是合格品 ,則“ 所抽取的電視機(jī)是合格品 ”這一事件可以用 S5的子集 A={t: t 10000}來(lái)表示 . 例 2中 , “至少出現(xiàn)一次正面 ”這一事件可以表示成 : ? ?HHTHHTB ,? 一般地 ,我們用英文字母表中前面的大寫(xiě)字母 (可以帶下標(biāo) )表示事件 ,如用 A, B, C, A1, B3, D17等 . 設(shè) A為隨機(jī)事件 ,如果試驗(yàn)的結(jié)果 ω 屬于 A,則稱事件A發(fā)生 .即 試驗(yàn)的結(jié)果 A??事件 A發(fā)生 ? 樣本空間有兩個(gè)特殊的子集 ,一個(gè)是 S本身 ,由于它包含了所有可能的結(jié)果 ,所以在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的 ,我們將其稱為 必然事件 。另一個(gè)子集是空集 φ ,它不包含任何元素 ,因此在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生 ,我們將其稱為 不可能事件 . 事件間的關(guān)系與運(yùn)算 由于事件是樣本空間的一個(gè)子集 ,因此本節(jié)所涉及到的 事件之間的關(guān)系與運(yùn)算就是集合間的關(guān)系與運(yùn)算 ,但是事件之間的關(guān)系與運(yùn)算需要一套特別的語(yǔ)言來(lái)描述 ,并且熟悉這種特別的語(yǔ)言對(duì)本章及以后的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用 . 這一部分的重點(diǎn)就是能正確地將集合論中的符號(hào)翻譯成概率論的語(yǔ)言 . 1) 符號(hào) : BA ?集合論中的含義 : 若 ω ∈ A,則 ω∈ B 概率論中的含義 : 若 A發(fā)生 ,則 B發(fā)生 . 這時(shí)我們稱 事件 B包含了事件 A. 若 同時(shí) ,則稱 A與 B相等 ,記為 A=B. BA ? AB ?S B A 2) 符號(hào) : AB集合論中的含義 : AB? ? ω∈ A或 ω∈ B ?概率論中的含義 : 事件 發(fā)生 AB ? 事件 A發(fā)生或事件 B發(fā)生 ? 事件 A與事件 B至少有一個(gè)發(fā)生 將 AB 稱為 BA , 的 和事件 , 它表示“ BA 與 至少有一個(gè)發(fā)生” . 這一新事件 . S B A BA?將“?nkkA1?” 稱為 n 個(gè) 事件 A 1 , A 2 , ? A n 的 和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n 至少有一個(gè)發(fā)生 ”這一事件； 將“??? 1kkA” 稱為 可列個(gè)事件 A 1 , A 2 , ? A n ? 的和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n ? 至少有一個(gè)發(fā)生 ”這一事件 . 進(jìn)一步推廣 3)符號(hào) : 或 AB AB集合論中的含義 : AB? ?? ?概率論中的含義 : 事件