【正文】 求第二次取到 兩個(gè)新球的概率 . 解 設(shè) iA ={ 第一次取到 i 個(gè)新球 } ， 2,1,0?i ?B { 第二次取到兩個(gè)新球 } ， 則 210 , AAA 構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分 由全概率公式，有 )()|()()|()()|()( 221100 APABPAPABPAPABPBP ??? 122531221529215272151916215282152621529 ????CCCCCCCCCCCCC例 1. 4 .7 玻璃杯成箱出售 ， 每箱 20 只 ， 假設(shè)各箱含 0 ， 1 ， 2 只殘次品的概率相應(yīng)為 0 . 8 ， 0 . 1 和 0 . 1 ，一顧客欲買下一箱玻璃杯 ， 在購(gòu)買時(shí) ， 售貨員隨意取出一箱 ， 而顧客開(kāi)箱隨意查看其中的 4 只 ， 若無(wú)殘次品 ， 則買下該箱玻璃杯 ， 否則退回。 例 1. 3 .7 設(shè)有 N 件產(chǎn)品 , 其中有 M 件次品 , 今從中任取 n 件 , 問(wèn)其中恰有 k 件次品的概率是多少？ 解 在 N 件產(chǎn)品中任取 n 件 , 所有可能的取法共有nNC種 , 每一種取法為一基本事件 . 由乘法原理知在 N 件產(chǎn)品中取 n 件 , 其中恰有 k 件次品的取法共有k n kM N MCC??種 , 記 X 為取得的次品數(shù)，則 所求的概率為 {}k n kM N MnNCCP X kC????上式即所謂 超幾何分布 的概率公式。 E2:拋一枚硬幣兩次 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。摩爾根 2048 1061 莆 豐 4040 2048 皮爾遜 12022 6019 皮爾遜 24000 12022 維 尼 30000 14994 出生年份 新生兒總數(shù) n 新生兒總數(shù) 頻率 (%) 男孩 數(shù) m1 女孩 數(shù) m2 男孩 m1/n 女孩 m2/n 1977 1978 1979 1980 1981 1982 3670 4250 4056 5844 6344 7231 1883 2177 2138 2955 3271 3722 1787 2073 1917 2889 3073 3509 總計(jì) 31394 16146 15248 3. 何為隨機(jī)事件 ? 隨機(jī)事件有什么特點(diǎn) ? 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件 . 例：明天的最高氣溫小于 30攝氏度。 隨機(jī)事件 把樣本空間的某個(gè)子集 (具有某種特征的樣本點(diǎn)組成的子集 )稱為“ 隨機(jī)事件 ” ,簡(jiǎn)稱為“ 事件 ” . 以 E5為例 ,如果電視機(jī)的壽命超過(guò) 10000個(gè)小時(shí)被認(rèn)為是合格品 ,則“ 所抽取的電視機(jī)是合格品 ”這一事件可以用 S5的子集 A={t: t 10000}來(lái)表示 . 例 2中 , “至少出現(xiàn)一次正面 ”這一事件可以表示成 : ? ?HHTHHTB ,? 一般地 ,我們用英文字母表中前面的大寫字母 (可以帶下標(biāo) )表示事件 ,如用 A, B, C, A1, B3, D17等 . 設(shè) A為隨機(jī)事件 ,如果試驗(yàn)的結(jié)果 ω 屬于 A,則稱事件A發(fā)生 .即 試驗(yàn)的結(jié)果 A??事件 A發(fā)生 ? 樣本空間有兩個(gè)特殊的子集 ,一個(gè)是 S本身 ,由于它包含了所有可能的結(jié)果 ,所以在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的 ,我們將其稱為 必然事件 。 條件概率 在實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到求在事件 A 已經(jīng)出現(xiàn)的條件下，事件B 的概率 ．這時(shí)由于附加了條件，它與事件 B 的概率 )( BP 的意義是不 同 的 ． 我 們 把 這 概 率 記 為)|( ABP ． 問(wèn)題： 一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，已知其中有一個(gè)是女孩，問(wèn)另一個(gè)也是女孩的概率是多少？ 分析 ： 一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子的所有可能結(jié)果為 ： ( ) , ( ) , ( ) , ( )S ?｛ 男 男 男 女 女 男 女 女 ｝設(shè) BA , 分別表示事件“其中有一個(gè)是女孩”和“另一個(gè)也是女孩”，則有 )},(),(),{( 女女男女女男?A )},{( 女女?B 31)|( ?ABP所以，有 在該例中，如果不知道事件 A已經(jīng)發(fā)生的信息，那么事件 B發(fā)生的概率為 )|(41)( ABPBP ??這表明，事件之間是存在著一定的相關(guān)性的． )|( ABP 與 )( BP 不相等的原因在于，事件 A 的發(fā)生改變了樣本空間，由原來(lái)的 S 縮減為ASA ?． 1 1 4 ( )( | )3 3 4 ( )P ABP B APA? ? ?上述條件概率還可以寫成 )|( ABP 可以理解為 )( ABP 在 )( AP 中的“比重” ． 設(shè)An，Bn與ABn分別為事件 BA , 與 AB 包含的基本事件數(shù)，并設(shè)樣本空間 S 所含的基本事件總數(shù)為n ，則 )|( ABP 可用 A 已經(jīng)發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的相對(duì)比例來(lái)表達(dá)，即 )|( ABP 應(yīng)為AABnn ，而 古典概型的情形 )()(//APABPnnnnnnAABAB ?? 這個(gè)關(guān)系具有一般性，即 條件概率是兩個(gè)無(wú)條件概率之商 。 定義 設(shè) A,B,C為三個(gè)事件，如果如下四個(gè)等式 ???????????)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABP則稱事件 A,B,C相互獨(dú)立 . 多個(gè)事件的相互獨(dú)立性 注 :定義中前面三個(gè)等式只說(shuō)明這三個(gè)事件是 兩兩相互獨(dú)立 的 ,但是由此并不能將第四個(gè)等式推導(dǎo)出來(lái) . 例 1. 5 .1 如果 將一枚硬幣拋擲兩次 , 觀察正面 H和反面 T 的出現(xiàn)情況 , 則此時(shí)樣 本空間為{ , , , }S H H H T T H T T? , 令 },{ HTHHA ? },{ THHHB ? },{ TTHHC ?則 }{ HHABCBCACAB ????故有 21)()()( ??? CPBPAP41)()()( ??? BCPACPABP但是 )()()(8141)( CPBPAPABCP ???所以 , CBA , 中任意兩個(gè)事件都是相互獨(dú)立的 , 但是事件 CBA , 并不相互獨(dú)立 . 當(dāng)我們考慮多個(gè)事件之間是否相互獨(dú)立時(shí) ,除了必須考慮任意兩事件之間的相互關(guān)系外 ,還要考慮到 多個(gè)事件的乘積對(duì)其它事件的影響 . 在 例 1 .5 .1 中 ， 雖然單獨(dú)一個(gè)事件 A 發(fā)生與否不會(huì)影響事件 C ， 同樣單獨(dú)一個(gè)事件 B 發(fā)生與否也不會(huì)影響事件 C ， 但是當(dāng) BA , 同時(shí)發(fā)生時(shí)卻會(huì)影響C ． 事實(shí)上 ， 由于 CHHAB ?? }{ ， 從而有 )(211)|( CPABCP ???定義 1. 5 .3 若 n 個(gè)事件nAAA , 21 ?滿足 )()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ?? ? )1,1( 21 niiink k ??????? ? 則稱nAAA , 21 ?相互獨(dú)立 . 注 :由定義要判定 n個(gè)事件是否相互獨(dú)立，需要驗(yàn)證 1232?????????????????????????????? nnnnn n?個(gè)等式．在實(shí)際問(wèn)題中 ,獨(dú)立性是根據(jù)實(shí)際意義來(lái)判斷的 ,然后利用獨(dú)立性來(lái)計(jì)算事件乘積的概率的 . 例 1. 5 .2 設(shè) A , B , C 三事件相互獨(dú)立 , 試證 AB 與 C相互獨(dú)立 . 證明 因?yàn)? ( ( ) ) ( )P A B C P A C B C?( ) ( ) ( )P A C P B C P A B C? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P C P B P C P A P B P C? ? ?[ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )P A P B P A P B P C? ? ?( ) ( )P A B P C?所以 , AB 與 C 相互獨(dú)立 . 類似地還可推得 : AB 與 C 獨(dú)立 。 2) ( | ) 1P S A ? 。 2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同 . 把具有上述兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為 等可能概型 或 古典概型 .例如 ,拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣 ,或者出現(xiàn)正面或者出現(xiàn)反面 ,只有兩種結(jié)果 ,且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同 .又如拋一顆骰子 ,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) ,則共有 6種結(jié)果 ,且每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。 主觀不確定性融入了觀察者個(gè)人的信念 . 實(shí)驗(yàn)者 n nH fn(H) 德 . 摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 12022 6019 24000 12022 維 尼 30000 14994 n:拋擲硬幣的次數(shù) 。 實(shí)例 9 病人得的病雖然已經(jīng)是客觀存在的事實(shí) ,但是在確診之前 ,在醫(yī)生看來(lái)病人得的是什么病仍然有多種可能。 對(duì)任意的 ?A F , 稱)( AP 為事件 A 的 概率 . 注 :在歷史上 ,對(duì)概率的理解一直存在著各種不同看法 ,比如有從頻率的角度來(lái)理解 ,也有從主觀信念的角度來(lái)理解的 (如貝葉斯學(xué)派的主觀概率 ),等等 ,但是不論從哪個(gè)角度來(lái)理解概率這個(gè)概念 ,大家都承認(rèn)上面三條是概率必須滿足的最基本的性質(zhì) .這三條性質(zhì)就像公理一樣已被數(shù)學(xué)家們所普遍接受 .因此 ,上面的定義又被稱為 概率的公理化定義 . 概率的性質(zhì) 性質(zhì) ,即 0)( ??P 證 令 ),2,1( ??? nAn ?則 ?????1iiA??ji AA且 ?? ?????????111)()()()(iiiii PAPAPP ?? ?于是由可列可加性，有 由于 0)( ??P 故由上式知 0)( ??P 性質(zhì) 2. （ 有限可加性 ）若 是一組兩兩不相容的事件 ,則有 nAAA , 21 ? )2( ?n)()(11ininii APAP ?????證 利用可列可加性及性質(zhì) 1,令 ),2,1( ????? nniA i ????????????niiiiiinii APAPAPAP1111)()()()( ??則有 性質(zhì) 3 )(1)( APAP ?? 證 由于 ,A A S A A ???再由概率的規(guī)范性和有限可加性 ,得 1 ( ) ( ) ( ) ( )P S P A A P A P A? ? ? ?移項(xiàng)后即證 . 性質(zhì) 4 設(shè) ,則有 BA ?)()()( APBPABP ???證 由 ()B A B A?? ??? )( ABA 及 知 )()()( APABPBP ???移項(xiàng)后即得 )()()( APBPABP ??? 由概率的非負(fù)性，即得下面的推論 注： 一般的，有 )()()( ABPBPABP ???)()( APBP ?推論（單調(diào)性） 若 ,則有 BA ?BAB A AB 由 , 可得 AS? ( ) 1PA ?例 1. 4 .1 口袋中有編號(hào) 1,2 , ? , n 的 n 個(gè)球，從中有放回地任取 m 次，求取出的 m 個(gè)球的最大號(hào)碼為k 的概率． 解 設(shè) Ak={取出的 m個(gè)球的最大號(hào)碼為 k} B i ={ 取出的 m 個(gè)球的最大號(hào)碼 不大于 i } ， i = 1 ,2 , ? , n 則有 ()mi miPBn?又 因?yàn)?1k k kA B B ??? ， 且 1kkBB? ? ， 由性質(zhì) 1. 3 .4 ， 得 11( ) ( ) ( ) ( )k k k k kP A P B B P B P B??? ? ? ?( 1 )mmmkkn??? 概率論所討論的問(wèn)題中 ,有一類問(wèn)題最簡(jiǎn)單直觀 ,這類問(wèn)題所涉及到的試驗(yàn)具有下面兩個(gè)特征： 1)試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè) 。 性質(zhì) 條件概率也是概率 1) 對(duì)于每一個(gè)事件 ,B 有 0)|( ?ABP 。 A B 與 C 獨(dú)立 .