【正文】 ()(8141)( CPBPAPABCP ???所以 , CBA , 中任意兩個事件都是相互獨立的 , 但是事件 CBA , 并不相互獨立 . 當(dāng)我們考慮多個事件之間是否相互獨立時 ,除了必須考慮任意兩事件之間的相互關(guān)系外 ,還要考慮到 多個事件的乘積對其它事件的影響 . 在 例 1 .5 .1 中 ， 雖然單獨一個事件 A 發(fā)生與否不會影響事件 C ， 同樣單獨一個事件 B 發(fā)生與否也不會影響事件 C ， 但是當(dāng) BA , 同時發(fā)生時卻會影響C ． 事實上 ， 由于 CHHAB ?? }{ ， 從而有 )(211)|( CPABCP ???定義 1. 5 .3 若 n 個事件nAAA , 21 ?滿足 )()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ?? ? )1,1( 21 niiink k ??????? ? 則稱nAAA , 21 ?相互獨立 . 注 :由定義要判定 n個事件是否相互獨立，需要驗證 1232?????????????????????????????? nnnnn n?個等式．在實際問題中 ,獨立性是根據(jù)實際意義來判斷的 ,然后利用獨立性來計算事件乘積的概率的 . 例 1. 5 .2 設(shè) A , B , C 三事件相互獨立 , 試證 AB 與 C相互獨立 . 證明 因為 ( ( ) ) ( )P A B C P A C B C?( ) ( ) ( )P A C P B C P A B C? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P C P B P C P A P B P C? ? ?[ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )P A P B P A P B P C? ? ?( ) ( )P A B P C?所以 , AB 與 C 相互獨立 . 類似地還可推得 : AB 與 C 獨立 。 A B 與 C 獨立 . 兩個結(jié)論 .)2(,)2(,.1 21個事件也是相互獨立其中任意則相互獨立若事件　　　nkknAAA n???? . ,,)2(,.22121個事件仍相互獨立所得的立事件們的對中任意多個事件換成它則將相互獨立個事件若　　　nAAAnAAAnnn?? ?例 1. 5 .3 兩射手彼此獨立地向同一目標射擊 , 設(shè) 甲射中目標的概率為 0 . 6 , 乙射中目標的概率為 0 . 5 , (1 ) 求目標被擊中的概率是多少 。 (2 ) 已知目標被擊中 , 則甲擊中目標的概率是多少 ? 解 設(shè) A , B 分別表示“甲擊中目標”和“乙擊中目標” , 則 AB 表示“目標被擊中” . (1) 由獨立性和加法公式 ,所求的概率為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A P B? ? ?0 . 6 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 8? ? ? ? ?(2) 所求的概率為 ( ( ) ) ( )( | )( ) ( )P A A B P AP A A BP A B P A B??0 .6 0 .7 50 .8?? 例 ,其中 1,2,3,4為電子元件 .設(shè)各電子元件的工作是相互獨立的 ,且每一電子元件正常工作概率均為 L至 R的系統(tǒng)正常工作的概率 . L 1 23 4R 4242243214321432143212)()()()()()()()()()()()(pppppAPAPAPAPAPAPAPAPAAAAPAAPAAPAP???????????解 設(shè) {?iA 第 i 個元件正常工作 } ， i = 1,2 ,3, 4 ， A ={ L 至 R 是通路 } ，于是 4321 AAAAA ??利用 4321 , AAAA 的獨立性 和概率的加法公式 ， 有 例 設(shè)每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是 ,若 10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊 ,問擊落飛機的概率是多少 ? 解 設(shè) {?iA 第 i 名射手擊落飛機 } ， i = 1,2 , ? ,10 ，B ={ 飛機被擊落 } ，則有 1021 AAAB ?????由事件的獨立性可得 )()( 1021 AAAPBP ????? )(1 1021 AAAP ??????)(1 1021 AAAP ??? )()()(1 1021 APAPAP ???.)(1 10 ???例 1. 5 . 6 設(shè)隨機試驗中某一事件 A 出現(xiàn)的概率為0?? , 當(dāng)我們不斷獨立重復(fù)做該試驗時，求 A 遲早會出現(xiàn)的概率 . 證 記 則 ??)( kAP ?,2,1?k由獨立性知 , 在前 n 次試驗中 , A 均不出現(xiàn)的概率為 nnn APAPAPAAAP )1()()()()( 2121 ???? ??故在前 n 次試驗中 , A 至少出現(xiàn)一次的概率為 1)1(1)(1 21 ????? nkAAAP ?? )( ??n即 A 遲早會出現(xiàn)的概率為 1. AA k {? 于第 k 次試驗中出現(xiàn) } ?,2,1?k 此例說明 ,雖然小概率事件在一次試驗中不太可能發(fā)生 ,但在不斷重復(fù)該試驗時 ,它遲早會發(fā)生 .人們常說的 “ 智者千慮 ,必有一失 ” , “多行不義必自斃 ” 等講的就是這個道理 . 因此 ,在大數(shù)次的試驗中不能忽略小概率事件 ,這或許就是 “ 不怕一萬，就怕萬一 ”的含義所在 . 小概率事件遲早會出現(xiàn) 伯努利概型 下面我們用事件的獨立性來討論伯努利概型這一在經(jīng)典概率論中占據(jù)重要地位的模型 . 定義 如果試驗 E 只有兩個可能的結(jié)果： A 與A , 并且 qpAPpAP ???? 1)(,)( , 其中 10 ?? p .把 E 獨立重復(fù)地做 n 次的試驗構(gòu)成了一個新試驗 , 我們把這個新試驗稱作 n 重 伯努利試驗 , 有時簡稱為伯努利試驗或 伯努利概型 , 并記作 nE . 例如 , 每個同學(xué)到圖書館去只有兩種結(jié)果： 借書 或不借書 . 如果每個同學(xué)借書的概率為p, 并且每個同學(xué)是否借書是相互獨立的 , 那么觀察n個同學(xué)到圖書館的借書情況就構(gòu)成一個伯努利試驗 . 又如 , 人壽保險公司做人壽保險 , 一種最簡單的情形是 , 只有受保人當(dāng)年死亡 , 保險公司才付給受保家庭一定的賠償金 . 這樣 , 這個隨機試驗只有兩種結(jié)果：“ 受保人死亡 ”和“ 受保人未死亡 ” . 每個受保人是否死亡顯然是相互獨立的 , 于是 n 個人受保問題就是一個 n 重伯努利試驗 . 伯努利試驗是一種很基本的概率模型． 一個 n重伯努利試驗的結(jié)果或基本事件可以記作 ),( 21 n???? ??其中 i? （ ni ??1 ）表示第 i 次試驗的結(jié)果，它或者為 A或者為 A ． 如果 i? （ ni ??1 ）中恰好有 k 個為 A ， 則必有 kn ?個為 A ， 于是由獨立性知 knk qpP ??)(?{kB ? 事件 A 恰好出現(xiàn) k 次｝ ， nk ??0 ． 設(shè) knkk qpknBP ??????????)( nk ??0則有如下的重要公式 例 1. 5 . 7 在 三 次獨立試驗中，事件 A 至少出現(xiàn)一次的概率為 0 . 5 9 0 4 ，求事件 A 恰好 出現(xiàn)一次的概率 ． 解 設(shè) pAP ?)( ， kB = { 在三次獨立試驗中 事件 A恰好出現(xiàn) k 次 } ，則有 kkk ppkBP??????????? 3)1(3)( 30 ?? k故由題意，至少出現(xiàn)一次的概率為 5 9 0 )1(1)(1)( 300 ?????? pBPBP解得 ?p ，從而 事件 A 出現(xiàn)一次的概率 為 3 8 ))((3)( 21 ??BP例 1. 5 . 8 設(shè)某天到圖書館的人數(shù)恰好為 k ( 0?k ) 的概率為?? ?ekk!( )0?? ，每位到圖書館的人借書的概率為 p )10( ?? p ，且借書與否相互獨立，求借書的人數(shù)恰好為 r 的概率 證明 令kA={ 到圖書館的人數(shù)恰好為 k } ， k = 0,1, 2 ? ,rB ?{ 借書的人數(shù)恰好為 r } ，則在kA已經(jīng)發(fā)生的條件下，觀察到圖書館的人是否借書相當(dāng)于做了一個 k 重伯努利試驗，所以有 ( 1 ) ,( | )0,r k rrkkp p k rP B A rkr?? ?? ??? ??? ? ??? ??顯然， ?, 210 AAA 構(gòu)成了樣本空間的一個 劃分 ，所以由全概率公式 ， 有 ( 1 ) ,( | )0,r k rrkkp p k rP B A rkr?? ?? ??? ??? ? ??? ??0( ) ( | ) ( ) ( 1 ) !kr k rr k kk k rkP A P B A P A p p er k??????????? ? ???????????????rkrkrrkprep)!()]1([!)( ?? ?prprerper ep ??? ??????? ! )(!)( )1(1)用符號表達相關(guān)的事件； 2)找出事件之間的相互關(guān)系 ,并用符號表示； 3)利用概率的性質(zhì)或公式計算所求的概率 . 本章的基本解題步驟 例 1. 5 . 9 設(shè)試驗 E 為“同時拋兩枚 骰 子”，事件 A表示“出現(xiàn)的點數(shù)之和為 7 ”，事件 B 表示“出現(xiàn)的點數(shù)為 9 ”．現(xiàn)獨立重復(fù)做試驗 E ，問事件 A 在事件 B之前出現(xiàn)的概率是多少 ? 解 設(shè) C ={ 事件 A 在事件 B 之前出現(xiàn) } ，kA ?{ 在第 k 次試驗中 A 出現(xiàn) } ，kB ?{ 在第 k 次試驗中 B 出現(xiàn) } ，kC ?{ 在第 k 次試驗中事件 A 與事件 B 均沒有出現(xiàn) } ， 1 , 2 ,k ? ， 則有 1()6kPA ?1()9kPB ?? ? 13( ) 1 ( ) ( ) 18k k k k kP C P A B P A P B? ? ? ? ?1, 2 ,k ?且 111kkkC C C A?????111kkkC C C A?????于是由獨立性，有 111( ) ( ) ( )kkkP C P C P A???? ?1113 1 1 118 6 6 1 ( 13 / 18 )35kk?????? ? ????????111( ) ( )kkkP C P C C A???? ? 補充例題 1 甲 、 乙 、 丙三人同時向同一飛機射擊 ，設(shè)擊中的概率分別為 , ,則飛機被擊落的概率為 ,如果有兩人擊中 ,則飛機被擊落的概率為 。如果三人都擊中 ,則飛機一定被擊落 ,求飛機被擊落的概率 . 解 設(shè) A={飛機被擊落 } Bi={飛機被 i個人擊中 }， i=0,1, 2,3 ， A1,A2,A3分別表示飛機被甲 ,乙 ,丙擊中 .于是 ,有 3210 AAAB ? 2 3 1 3 1 21 1 2 3B A A A A A A A A A? ? ?3213213212 AAAAAAAAAB ??? 3213 AAAB ? 顯然 , B0, B1, B2, B3構(gòu)成必然事件的一個劃分 ,于是由全概率公式 ,得 )()|()(30iii BPBAPAP ???由題意知 0)|( 0 ?BAP )|( 1 ?BAP)|( 2 ?BAP 1)|( 3 ?BAP而由 A1, A2, A3的獨立性 ,可算得 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B P A P A P A P A P A P A P A P A P A? ? ??同理 ,)(2 ?BP ,)( 3 ?BP45 )( ???????AP故 補充例題 2 設(shè)有來自三個地區(qū)的各 10名 、 15名和 25名考生的報名表 ,其中女生的報名表分別為 3份 、 7份和5份 .隨機地取一個地區(qū)的報名表 ,從中先后抽兩份 . 1)求先抽到的一份是女生表的概率 p； 2)已知后抽到的一份是男生表 ,求先抽到的一份是女生表的概率 q； 解 設(shè) }{ 區(qū)考生的報名表是第 iHi ? )3,2,1( ?i}{ 表次抽到的報名表是女生第 jA j ? )2,1( ?j則 31)( ?iHP)3,2,1(