【正文】 獨(dú)立性 事件的獨(dú)立性是概率論中最重要的概念之一 .那么什么是事件的獨(dú)立性呢？ 所謂兩個(gè)事件 A與 B相互獨(dú)立 ,直觀(guān)上說(shuō)就是它們互不影響 ,說(shuō)得更明確一點(diǎn)，就是事件 A發(fā)生與否不會(huì)影響事件 B發(fā)生的可能性 , 事件 B發(fā)生與否不會(huì)影響事件 A發(fā)生的可能性 ,用數(shù)學(xué)式子來(lái)表示 ,就是 )()|( BPABP ? )()|( APBAP ?且 但是上面兩式分別要求 A與 B的概率大于零，考慮到更一般的情形，給出如下的定義 . 定義 設(shè) A、 B是兩個(gè)事件，如果成立等式 )()()( BPAPABP ?則稱(chēng)事件 A與事件 B相互獨(dú)立 . 由定義知， 概率為零的事件與任何事件獨(dú)立 . 事件的獨(dú)立性 事件之間相互獨(dú)立與事件之間互不相容是兩個(gè)完全不同的概念 .事實(shí)上 ,由定義可以推知 ， 如果兩個(gè)具有正概率的事件是互不相容的 ,那么它們一定是不獨(dú)立的 ,反之 ,如果兩個(gè)具有正概率的事件是相互獨(dú)立的 ,那么這兩個(gè)事件不可能互不相容 . 兩個(gè)概念之間的區(qū)別 定理 1. 5 .1 若事件 A 與 B 相互獨(dú)立，則 A 與 B ，A 與 B 、 A 與 B 也相互獨(dú)立． 證明 由概率的性質(zhì)知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A A B P A P A B? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 1 ( ) ] ( ) ( )P A B P A P A P B P A P B P A P B? ? ? ? ?由 A與 B的獨(dú)立性知 )()()( BPAPABP ?所以 即 A 與 B 相互獨(dú)立． 類(lèi)似地可證其余結(jié)論 . 因此，概率為 1的事件與任何事件相互獨(dú)立。 3) 設(shè) , 21 ?BB 是兩兩不相容的事件 , 則有 若 ( ) 0PA ? ， 則有 ??????11)|()|(iiii ABPABP ?0)|( ?AP ?)|(1)|( ABPABP ??1 2 1 2 1 2( | ) ( | ) ( | ) ( | )P B B A P B A P B A P B B A? ? ? 概率所具有的性質(zhì)和滿(mǎn)足的關(guān)系式，條件概率仍然具有和滿(mǎn)足． 乘法定理 定理 1. 4 . 1 （乘法定理） 設(shè) BA , 是兩個(gè)事件，并且 0)( ?AP ，則有 )()|()( APABPABP ?利用條件概率的定義，可直接得到下面的乘法定理 一般地 ， 若 nAAA , 21 ? 是 n 個(gè)事件，并且0)( 121 ??nAAAP ? ，則有 )|()|()( 221112121 ???? nnnnn AAAAPAAAAPAAAP ???)()|( 112 APAAP?設(shè) A 表示某人感染禽流感病毒 ， B 表示死亡 ， 則P ( B | A ) 表示在感染病毒的條件下某人死亡的概率 ． 若該人身體好抵抗力強(qiáng) ， 則 P ( B | A ) 就比較小 ， 否則就比較大 ． P ( A ) 表示禽流感病毒的感染率 ， 如果衛(wèi)生部門(mén)的預(yù)防工作做得好 ， 則它就比較小 ． P ( AB ) 表示感染禽 流感病毒并導(dǎo)致死亡的概率。 推論． ( 概率的半可加性 ) 對(duì)于任意的 n個(gè)事件nAAA , 21 ?，有 )()(11????niinii APAP ? 例 1. 2 . 1 已知 )( ?AP ， )( ?BP ，)( ?? BAP ，求 )( BAP 解 )()()()()( ABPAPABAPBAPBAP ?????? 而 )()()()( BAPBPAPABP ???? ????所以 )( ???BAP167。 167。 E6:記錄某一天城市發(fā)生車(chē)禍的次數(shù) . 隨機(jī)試驗(yàn)的例子 相應(yīng)的樣本空間 ? ?1 ,S H T?? ?2 , , ,S H H H T T H T T?3 { , , , , , , , }S H H H H H T H T H H T T T H H T H T T T H T T T?4 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }S ?? ?5 :0S t t??? ?6 0 ,1 , 2 , 3 ,S ? 2. 同一試驗(yàn) , 若試驗(yàn)?zāi)康牟煌?,則對(duì)應(yīng)的樣本空 間也不同 . 例如 對(duì)于同一試驗(yàn) : “將一枚硬幣拋擲三次 ” . 若觀(guān)察正面 H、反面 T 出現(xiàn)的情況 ,則樣本空間為 若觀(guān)察出現(xiàn)正面的次數(shù) , 則樣本空間為 7 { 0 , 1 , 2 , 3 } .S ?3 { , , , , , , } .S H H H H H T H T H T H HH T T T T H T H T T T T?1. 試驗(yàn)不同 , 對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同 . 幾點(diǎn)說(shuō)明 3. 建立樣本空間 ,事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型 . 因此 , 一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問(wèn)題 . 例如 只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間 它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn) 正面 或出現(xiàn) 反面 的模型 , 也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中 合格 與 不合格 的模型 , 又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中 有人排隊(duì) 與 無(wú)人排隊(duì) 的模型等 . { , }S H T? 在具體問(wèn)題的研究中 , 描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步 就是建立樣本空間 . 集合這一概念為我們搭建了從隨機(jī)現(xiàn)象到數(shù)學(xué)的一座橋梁。 nH:正面朝上的次數(shù)； nnHfHn /)( ?著名的拋硬幣試驗(yàn) ()nfH的增大n .212. 隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀(guān)察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有 偶然性 , 但在大量試驗(yàn)或觀(guān)察中 ,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 ,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科 . 1. 隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系 ,其數(shù)量關(guān)系無(wú)法用函數(shù)加以描述 . 兩點(diǎn)說(shuō)明 167。 概率論的研究對(duì)象 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 當(dāng)人們?cè)谝欢ǖ臈l件下對(duì)它加以觀(guān)察或進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，觀(guān)察或試驗(yàn)的結(jié)果是多個(gè)可能結(jié)果中的某一個(gè) . 1. 隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn) ? 在每次試驗(yàn)或觀(guān)察前都無(wú)法確知其結(jié)果，即呈現(xiàn)出偶然性 . 或者說(shuō)，出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果“憑機(jī)會(huì)而定” . 2. 隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒(méi)有規(guī)律可言 ? 否！ 在一定條件下對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量觀(guān)測(cè)會(huì)發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性 . 兩個(gè)實(shí)驗(yàn) 投擲硬幣實(shí)驗(yàn) 新生兒性別實(shí)驗(yàn) 試驗(yàn)者 拋擲次 數(shù) (n) 正面次數(shù) (m) 正面出現(xiàn)的 頻率 (m/n) 笛 實(shí)例 8 硬幣落地后雖然結(jié)果已經(jīng)確定 ,但是在觀(guān)察之前你還是無(wú)法確定硬幣是正面還是反面朝上 。 E3:拋一枚硬幣三次 ,觀(guān)察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。反之 ,頻率小則發(fā)生的可能性也小 . .比如當(dāng)拋投硬幣的次數(shù)不同時(shí)得到的頻率常常會(huì)不一樣 ,事實(shí)上 ,有時(shí)甚至投同樣多次硬幣可能也會(huì)得到不同的頻率 ,這樣就使頻率缺乏科學(xué)度量單位所具有的客觀(guān)性 . ,頻率又具有 穩(wěn)定性 ，它 反映了概率的客觀(guān)性 . 頻率具有如下性質(zhì) : 1） 非負(fù)性 任意事件 A的頻率非負(fù) : 0)( ?Afn2） 規(guī)范性 必然事件 S 的頻率為 1: ( ) 1nfS ?3） 有限可加性 若 是一組兩兩不相容的事件 ,則有 mAAA , 21 ?)()(11iminmiin AfAf ????? 因?yàn)?頻率的本質(zhì)是概率 ,因此頻率所滿(mǎn)足的這三條性質(zhì)同時(shí)也必須是概率具有的性質(zhì) . 做適當(dāng)?shù)耐茝V后可以得到概率的公理化定義 . 概率的公理化定義 1933年 ，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛱岢隽烁怕收摰墓砘Y(jié)構(gòu) ，給出了概率的嚴(yán)格定義 ，使概率論有了迅速的發(fā)展 . 概率的公理化定義 設(shè) E 為隨機(jī)試驗(yàn) , S 是相應(yīng)的樣本空間 、 F 為 所有 事件 組成 的 集合 , 對(duì)于F 中的每一個(gè)事件 A , 分別賦予一個(gè)實(shí)數(shù) , 記為)( AP , 如果集合函數(shù) )(?P 滿(mǎn)足下列條件： 1 ）非負(fù)性： 對(duì)于每一個(gè)事件 A ? F , 0)( ?AP 2 ） 規(guī)范 性： ( ) 1PS ? 3 ）可列可加性： 若 ?? nAAA , 21 是一組兩兩不相容的事件 , 則有 ??????11)()(iiii APAP ?則我們稱(chēng) P 為 F 上的 概率 。 0 , 1 , 2 , ,kn?續(xù)例四 因?yàn)? 00{ } { } 1n nkkP X k P X k???? ? ? ? ????? ?0{}nkX k S???所以 即 0nkM N M Nk n k n??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??或 0nk n k nM N M NkC C C?????m i n { , }r M n?令 則 0rkM N M Nk n k n??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 例 12次來(lái)訪(fǎng)，已知所有這 12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？ 解 假設(shè)接待時(shí)間是沒(méi)有規(guī)定的，那么各來(lái)訪(fǎng)者在一周7日中去接待站是等可能的，均為 1/7。 解 用 A ， B ， C 分別表示取出的是一，二，三等品三個(gè)事件，則所求概率為 )(1)()()()|(CPACAPCPCAPCAP????32)(1)()( ??????CPACPAP其中利用到 ??AC ，即 A 與 C 互斥。試求顧客買(mǎi)下該箱的概率 ． 解 設(shè) ?iA{ 箱中恰好有 i 只殘次品 } ， 2,1,0?i ，B = { 顧客買(mǎi)下該箱玻璃杯 } ， 則210 , AAA構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分， 由題意知 ，有 )( 0 ?AP )()( 21 ?? APAP并且 1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910 ?????CCABPCCABPABP由全概率公式，有 ??????????309 4 )|()()(iii ABPAPBP)( 0 ?AP )()( 21 ?? APAP并且 1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910 ?????CCABPCCABPABP證明 由條件概率的定義和全概率公式得 ????njjjiiiiBPBAPBPBAPAPABPABP1)()|()()|()()()|(貝葉斯公式 性質(zhì) 1. 4 . 3 （貝葉斯公式） 設(shè)}:{ IiB i ?為 S 的一個(gè)劃分，且 0)( ?AP ， 0)( ?iBP )( Ii ?，則有 ???Ijjjiii BPBAPBPBAPABP)()|()()|()|( 例 1. 4 .8 某電子設(shè)備制造廠(chǎng)所用的晶體管是由三家元件制造廠(chǎng)提供的．根據(jù)以 往的記錄有以下的數(shù)據(jù)． 元件制造廠(chǎng) 次品率 提供晶體管的份額 1 0 . 0 2 0 . 1 5 2 0 . 0 1 0 . 8 0 3 0 . 0 3 0 . 0 5 設(shè)這三家工廠(chǎng)的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中 是均勻混合的，且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志．（ 1 ）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只晶體管 ，求它是次品的概率．（ 2 ）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只 晶體管，若已知取到的是次品， 為分析此次品出自何廠(chǎng)，需求出此次品是由第 1 、 2 、 3 家工廠(chǎng)生產(chǎn)的概率分別是多少 ， 試求這些概率． 解 設(shè) A={取到的是一只次品 } Bi={所取產(chǎn)品是由第 i家工廠(chǎng)提供｝ 3,2,1?i顯然， B1,B2,B3是樣本空間的一個(gè)劃分 (1)由全概率公式 )()|()()|()()|()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP ??? ???????(2)由貝葉斯公式 1 2 )( )()|()|( 111 ???? AP BPBAPABP同理 )|(,)|(32 ?? ABPABP 例 ,當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí) ,產(chǎn)品的合格率為 90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí) ,其合格率為 30%.每天早上機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí) ,機(jī)器調(diào)整得良好的概率為 75%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品