【文章內(nèi)容簡介】 23 30 40 50 64 100 q 從以上的結(jié)果可知 , 如果一個班有 32 位同學 ,那么當兩個班一起上課時 , 幾乎可以肯定（以概率 % ）至少有兩位同學的生日相同 . 是不是有點吃驚？不信可以現(xiàn)場檢驗 . 例 （抽簽問題） 箱中裝有 a個白球和 b個黑球 ,現(xiàn)從中任意地取球 ,每次取一球 ,取后不放回 ,求第s (1≤s≤a+b)次 取出的球是白球的概率 . 解 設(shè)想把取出的球依次放在排列成一直線的 a+b個位置上 , 則箱內(nèi) a+b個球中的任一個放在 第 s個位置都是等可能的，因此第 s個位置上共有 a+b中可能， 而在該位置放白球則有 a種可能性。設(shè) A={第 s次取出的是白球 },則所求的概率為 () aPA ab? ? 該例的結(jié)果表明 ,抽簽結(jié)果是與抽簽順序無關(guān)的。 例 1. 3 .7 設(shè)有 N 件產(chǎn)品 , 其中有 M 件次品 , 今從中任取 n 件 , 問其中恰有 k 件次品的概率是多少？ 解 在 N 件產(chǎn)品中任取 n 件 , 所有可能的取法共有nNC種 , 每一種取法為一基本事件 . 由乘法原理知在 N 件產(chǎn)品中取 n 件 , 其中恰有 k 件次品的取法共有k n kM N MCC??種 , 記 X 為取得的次品數(shù)，則 所求的概率為 {}k n kM N MnNCCP X kC????上式即所謂 超幾何分布 的概率公式。 0 , 1 , 2 , ,kn?續(xù)例四 因為 00{ } { } 1n nkkP X k P X k???? ? ? ? ????? ?0{}nkX k S???所以 即 0nkM N M Nk n k n??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??或 0nk n k nM N M NkC C C?????m i n { , }r M n?令 則 0rkM N M Nk n k n??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 例 12次來訪，已知所有這 12次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？ 解 假設(shè)接待時間是沒有規(guī)定的，那么各來訪者在一周7日中去接待站是等可能的，均為 1/7。那么這 12次接待恰好都在周二和周四的概率為 0 0 0 0 0 0 721212??p由實際推斷原理， 小概率事件在一次試驗中是不會發(fā)生的 ，而現(xiàn)在居然發(fā)生了，因此有理由懷疑原來假設(shè)的正確性，即認為接待時間是有規(guī)定的。 非常?。?！ 例 1. 3 .9 甲、乙兩人擲均勻硬幣，其中甲擲 1?n 次，乙擲 n 次，求“甲擲出的正面次數(shù)大于乙擲出的正面次數(shù)”這一事件的概率． 解 令 X正 =甲擲出的正面次數(shù) X反 =甲擲出的反面次數(shù) Y正 =乙擲出的正面次數(shù) Y反 =乙擲出的反面次數(shù) 于是所求事件的概率為 (P X 正 ? Y 正 ），另一方面顯然有 (S ? X 正 ? Y 正 ） = （ X 正 ? Y 正 ） = （ X 反 ? Y 反 ） 因為硬幣是均勻的，由對稱性知 P ( X 正 ? Y 正 ） = (P X 反 ? Y 反 ） 由此即得 P ( X 正 ? Y 正 ) = 例 1 . 3 . 10 （ 配對問題 ）在一個有 n 個人參加的晚會上，每個人帶了一件禮物，且假定個人帶的禮物都不相同 . 晚會期間個人從放在一起的 n 件禮物中隨機抽取一件，問至少有一個人自己抽到自己禮物的概率是多少？ 解 設(shè) A = { 至少有一個人自己抽到自己禮物 } ，iA ? { 第 i 個人自己抽到自己禮物 } ， i = 1 , 2 , ? , n ， 則有 12 nA A A A?因為 1()iPA n?1, 2 , ,in?， 1()( 1 )ijP A A nn? ?1 i j n? ? ?1()( 1 ) ( 2)i j kP A A A n n n? ??1 i j k n? ? ? ?…… 121()!nP A A A n?所以由加法公式，所求的概率為 12( ) ( )nP A P A A A?11( ) ( )ni i ji i j nP A P A A? ? ? ?????)()1()( 2111nnnkjikji AAAPAAAP ??????????? ?11 1 1 11 ( 1 )2 ! 3 ! 4 ! !nn?? ? ? ? ? ? ?當 n 足夠大時， 此概率近似的為 11 e 0 . 6 3 2 1??? . 作 業(yè) P25 1， 2, 5. P26 8， 9, 10 性質(zhì) 6（加法公式） 對于任意兩個事件 A,B有 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B? ? ? 證 因為 ( ) , ( )A B A B A B A B A B ?? ? ? ?再由性質(zhì) 2,3,有 ( ) ( ) ( )P A B P A P B A B? ? ?( ) ( ) ( )P A P B P A B? ? ?該性質(zhì)可推廣到多個事件的和： ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C? ? ?)()()()( A B CPBCPACPABP ?????????????njijiniinii AAPAPAP111)()()( ?)()1()( 2111nnnkjikji AAAPAAAP ??????????? ?上述公式有時又被稱為 多除少補原理 。 推論． ( 概率的半可加性 ) 對于任意的 n個事件nAAA , 21 ?，有 )()(11????niinii APAP ? 例 1. 2 . 1 已知 )( ?AP ， )( ?BP ，)( ?? BAP ，求 )( BAP 解 )()()()()( ABPAPABAPBAPBAP ?????? 而 )()()()( BAPBPAPABP ???? ????所以 )( ???BAP167。 條件概率 在實際問題中，往往會遇到求在事件 A 已經(jīng)出現(xiàn)的條件下，事件B 的概率 ．這時由于附加了條件，它與事件 B 的概率 )( BP 的意義是不 同 的 ． 我 們 把 這 概 率 記 為)|( ABP ． 問題： 一個家庭有兩個孩子，已知其中有一個是女孩，問另一個也是女孩的概率是多少？ 分析 ： 一個家庭有兩個孩子的所有可能結(jié)果為 ： ( ) , ( ) , ( ) , ( )S ?｛ 男 男 男 女 女 男 女 女 ｝設(shè) BA , 分別表示事件“其中有一個是女孩”和“另一個也是女孩”，則有 )},(),(),{( 女女男女女男?A )},{( 女女?B 31)|( ?ABP所以，有 在該例中，如果不知道事件 A已經(jīng)發(fā)生的信息，那么事件 B發(fā)生的概率為 )|(41)( ABPBP ??這表明，事件之間是存在著一定的相關(guān)性的． )|( ABP 與 )( BP 不相等的原因在于，事件 A 的發(fā)生改變了樣本空間，由原來的 S 縮減為ASA ?． 1 1 4 ( )( | )3 3 4 ( )P ABP B APA? ? ?上述條件概率還可以寫成 )|( ABP 可以理解為 )( ABP 在 )( AP 中的“比重” ． 設(shè)An，Bn與ABn分別為事件 BA , 與 AB 包含的基本事件數(shù)，并設(shè)樣本空間 S 所含的基本事件總數(shù)為n ，則 )|( ABP 可用 A 已經(jīng)發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的相對比例來表達，即 )|( ABP 應(yīng)為AABnn ，而 古典概型的情形 )()(//APABPnnnnnnAABAB ?? 這個關(guān)系具有一般性，即 條件概率是兩個無條件概率之商 。這就是下面的定義。 定義 設(shè) BA , 是兩個事件，且 ( ) 0PB ? ，稱 ()( | )()P ABP A BPB? 為事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率 ． 簡稱為 條件概率 條件概率 )|( ABP 可視具體情況運用下列兩種方法之一來計算 : （ 1 ）在縮減后的樣本空間 ASA ? 中計算 。 （ 2 ）在原來的樣本空間 S 中，直接按定義計算． 條件概率的定義 例 1. 4 .1 一盒子裝有 5 只產(chǎn)品 , 其中 3 只一等品 ,2 只二等品 . 從中取產(chǎn)品兩次 , 每次任取一只 , 做不放回抽樣 .設(shè)事件 A 為“第一次取到的是一等品” , 事件 B 為“第二次取到的是一等品” , 試求條件概率 )|( ABP . 解法一 在縮減后的樣本空間 AS 上計算 . 由于事件 A 已經(jīng)發(fā)生 , 即第一次取到的是一等品 ,所以第二次取產(chǎn)品時 , 所有產(chǎn)品只有 4 只 , 即AS所含的基本事件數(shù)為 4, 而其中一等品只剩下 2 只 , 所以 21)|( ?BP解法二 在原來的樣本空間 S 中 , 直接按定義計算 . 由于是不放回抽樣 ,所以有 534534)( ????AP1034523)( ????ABP由定義 , 21)()()|( ??APABPAB例 1. 4 .2 一批產(chǎn)品中，一、二、三等品各占 6 0 % ，30% ， 1 0 % ，從中隨意取出一件，結(jié)果不是三等品，試求取到的是一等品的概率。 解 用 A ， B ， C 分別表示取出的是一，二，三等品三個事件，則所求概率為 )(1)()()()|(CPACAPCPCAPCAP????32)(1)()( ??????CPACPAP其中利用到 ??AC ，即 A 與 C 互斥。 性質(zhì) 條件概率也是概率 1) 對于每一個事件 ,B 有 0)|( ?ABP 。 2) ( | ) 1P S A ? 。 3) 設(shè) , 21 ?BB 是兩兩不相容的事件 , 則有 若 ( ) 0PA ? ， 則有 ??????11)|()|(iiii ABPABP ?0)|( ?AP ?)|(1)|( ABPABP ??1 2 1 2 1 2( | ) ( | ) ( | ) ( | )P B B A P B A P B A P B B A? ? ? 概率所具有的性質(zhì)和滿足的關(guān)系式，條件概率仍然具有和滿足． 乘法定理 定理 1. 4 . 1 （乘法定理） 設(shè) BA , 是兩個事件，并且 0)( ?AP ，則有 )()|()( APABPABP ?利用條件概率的定義，可直接得到下面的乘法定理 一般地 ， 若 nAAA , 21 ? 是 n 個事件，并且0)( 121 ??nAAAP ? ，則有 )|()|()( 221112121 ???? nnnnn AAAAPAAAAPAAAP ???)()|( 112 APAAP?設(shè) A 表示某人感染禽流感病毒 ， B 表示死亡 ， 則P ( B | A ) 表示在感染病毒的條件下某人死亡的概率 ． 若該人身體好抵抗力強 ， 則 P ( B | A ) 就比較小 ， 否則就比較大 ． P ( A ) 表示禽流感病毒的感染率 ， 如果衛(wèi)生部門的預(yù)防工作做得好 ， 則它就比較小 ． P ( AB ) 表示感染禽 流感病毒并導致死亡的概率。由乘法公式)()|()( APABPABP ?可知 ， 只要加強鍛煉 ( 主觀努力 ) 并且衛(wèi)生部門做好預(yù)防工作 ( 客觀條件 良好 ) ， 那么感染禽流感病毒并導致死亡的概率就會很小。 乘法公式的直觀解釋 例 .3 設(shè)袋中 有 5 個紅球， 3 個黑球和 2 個白球，按不放回抽樣的方式連續(xù)摸球 3 次，求第三次才摸到白球的概率． 解 ?iA { 第 i 次摸到白球 } ， i =1 ， 2 ， 3 則所求的概率為 )()|()|()( 112213321 APAAPAAAPAAAP ?4571089782 ???? 例 已知某廠家的一批產(chǎn)品共 100件 ,其中有 5件廢品 ,但是采購員并不知道有幾個廢品 .為慎重起見 ,他對產(chǎn)品進行不放回的抽樣檢查 ,如果在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品 ,則他拒絕購買這一批產(chǎn)品 .求采購員拒絕購買這批產(chǎn)品的概率