【正文】 義出發(fā)即可 . 167。 (3)試驗之前 不能確定 哪一個結果會出現(xiàn) . 則稱滿足該試驗為 隨機試驗 .簡稱為 試驗 . 定義 隨機試驗 E的所有可能結果組成的集合稱為 E的 樣本空間 , 記為 S={ω}, S的元素 ω,即 E的一個可能的 結果 ,稱為 樣本點 或基本事件 . E1:拋一枚硬幣 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。 “水從高處流向低處” , 引 言 二 .不確定性現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象 在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn) 的現(xiàn)象 稱為隨機現(xiàn)象 . 實例 1 在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察 正反兩面出現(xiàn)的情況 . 結果有可能 出現(xiàn)正面 也可能 出現(xiàn)反面 . 這類現(xiàn)象的特點是 ,即使 在相同的條件下 ,每次試驗所得的結果也會不相同 ,或者 已知它過去的狀態(tài) ,它將來的發(fā)展狀態(tài)仍然無法確定 . 結果有可能為 : 1, 2, 3, 4, 5 , 6. 實例 3 拋擲一枚骰子 ,觀 察出現(xiàn)的點數(shù) . 實例 2 用同一門炮向同 一目標發(fā)射同一種炮彈多 發(fā) , 觀察彈落點的情況 . 結果 : 彈落點會各不相同 . 試驗結果的不確定性 實例 4 從一批含有正品和次品的產品中任意抽取一個產品 . 其結果可能為 : 正品 、 次品 . 實例 5 過馬路交叉口時 , 可能遇上各種顏色的交通 指揮燈 . 未來的不確定性 實例 7 劉翔還能破世界紀錄嗎？ 實例 6 明天的天氣可能是 晴 , 也可能是 多云 或 雨 . 主觀的不確定性 有些事情即使已經發(fā)生了，但是在你知道結果之前，它們仍然具有不確定性。 特點： 首先，隨機事件的發(fā)生具有偶然性 , 在一次試驗中，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生 . 其次，在大量重復試驗中，隨機事件的發(fā)生具有某種規(guī)律性 . 4. 隨機事件發(fā)生的可能性大小是人為的嗎 ? 隨機事件發(fā)生的可能性大小是不以人們的意志為轉移的 , 就好比一根木棒有長度，一塊土地有面積一樣 . 今后我們將用 概率 來度量隨機事件發(fā)生可能性的大小 . 否！ 5. 天有不測風云 和 天氣可以預報 有矛盾嗎 ? 無 ! “天氣可以預報 ” 指的是研究者從大量的氣象資料來探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性 . “天有不測風云 ” 指的是隨機現(xiàn)象一次實現(xiàn)的偶然性 . 從表面上看，隨機現(xiàn)象的每一次觀察結果都是隨機的，但多次觀察某個隨機現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律 . 小 結 隨機現(xiàn)象有其偶然性一面，也有其必然性一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復試驗或觀察中隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為 隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 . 小 結 隨機現(xiàn)象常常表現(xiàn)出這樣或那樣的統(tǒng)計規(guī)律，這正是概率論所研究的對象 . 下面我們開始學習， 概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是以數(shù)量化方法來研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學學科 兩部分內容： 、定理及公式（重點） 研究怎樣從大量的隨機的看 似雜亂無章的數(shù)字中獲得統(tǒng)計結果 學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計的實用性 概率論與數(shù)理統(tǒng)計有廣泛應用 (1).金融、信貸、醫(yī)療保險等行業(yè)策略制定； (2).流水線上產品質量檢驗與質量控制； (3).服務性行業(yè)中服務設施及服務員配置； (4).生物醫(yī)學中病理試驗與藥理試驗； (5).食品保質期、彈藥貯存分析，電器與電 子產品壽命分析； 學習方法 ? 轉變思維模式：最重要 －不變 —— 隨機變動 ? 多思考： －每次課會給大家思考、練習的時間 ? 勤做練習： 關于老師 經濟學院：趙偉 郵箱： 電話： 18980409040 第一章 隨機事件與概率 現(xiàn)實世界中存在的兩類現(xiàn)象 一 .確定性現(xiàn)象 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象 . “太陽每天從東邊升起” , “同性電荷必然互斥”。 (2)每次試驗的可能結果不止一個 ,但是能 事先明確 試驗的所有可能的結果 。另一個子集是空集 φ ,它不包含任何元素 ,因此在每次試驗中都不發(fā)生 ,我們將其稱為 不可能事件 . 事件間的關系與運算 由于事件是樣本空間的一個子集 ,因此本節(jié)所涉及到的 事件之間的關系與運算就是集合間的關系與運算 ,但是事件之間的關系與運算需要一套特別的語言來描述 ,并且熟悉這種特別的語言對本章及以后的學習起著非常重要的作用 . 這一部分的重點就是能正確地將集合論中的符號翻譯成概率論的語言 . 1) 符號 : BA ?集合論中的含義 : 若 ω ∈ A,則 ω∈ B 概率論中的含義 : 若 A發(fā)生 ,則 B發(fā)生 . 這時我們稱 事件 B包含了事件 A. 若 同時 ,則稱 A與 B相等 ,記為 A=B. BA ? AB ?S B A 2) 符號 : AB集合論中的含義 : AB? ? ω∈ A或 ω∈ B ?概率論中的含義 : 事件 發(fā)生 AB ? 事件 A發(fā)生或事件 B發(fā)生 ? 事件 A與事件 B至少有一個發(fā)生 將 AB 稱為 BA , 的 和事件 , 它表示“ BA 與 至少有一個發(fā)生” . 這一新事件 . S B A BA?將“?nkkA1?” 稱為 n 個 事件 A 1 , A 2 , ? A n 的 和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n 至少有一個發(fā)生 ”這一事件； 將“??? 1kkA” 稱為 可列個事件 A 1 , A 2 , ? A n ? 的和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n ? 至少有一個發(fā)生 ”這一事件 . 進一步推廣 3)符號 : 或 AB AB集合論中的含義 : AB? ?? ?概率論中的含義 : 事件 發(fā)生 AB??A 發(fā)生且 B 發(fā)生 A? ? 且 B? ? BA, 同時發(fā)生 . 將 AB 或 AB 稱為 BA , 的 積事件 , 它表示“ 事件 A與 B 同時發(fā)生 ”這一事件 . S A B AB 進一步推廣 稱 ?nkkA1?為 n 個 事件 A 1 ,A 2 , ? A n 的積事件 ，它表示“ A 1 ,A 2 , ? A n 同時發(fā)生 ”這一事件； 稱 ??? 1kkA為 可列個事件 A 1 ,A 2 , ? A n ? 的積事件 ，它“ 表示 A 1 ,A 2 , ? A n ? 同時發(fā)生 ”這一事件 . 例 設有 n座橋梁如下圖所示串聯(lián)而成 1 2 n L R 用 A表示事件“ L至 R是通路”， Ai表示“第 i座橋梁是暢通的” (i=1,2,…, n),則有 ?niiAA1?? 如果這 n座橋梁如下圖所示是并聯(lián)而成的， 1 2 n L R 則有 ?niiAA1??4) 符號 : BA ?集合論中的含義 : AB? ?? ?概率論中的含義 : BA ? 發(fā)生 ? A 發(fā)生但 B 不發(fā)生 . A? ? 且 B? ? 稱 BA ? 為 A 與 B 的 差事件 , 它表示“ 事件 A 發(fā)生而事件 B 不發(fā)生 ”這一新事件 . S A B B?S A B BA?A B A A B???5) 符號 : ??? BA或 ??AB集合論中的含義 : 概率論中的含義 : BA 與不相交即沒有公共部分 ??AB ?BA 與 同時發(fā)生是不可能的 ??AB ?一般地，如果 ??AB ，我們就稱事件 BA 與 互不相容 或 互斥 , 它表示 事件 A 與 B 不可能同時發(fā)生 。(2)設事件 A2為“至少有一次出現(xiàn)正面” ,求 P(A2) . 解 （ 1）樣本空間為 { , , , , , , , }S H H H H H T H T H T H H H T T T H T T T H T T T?而 },{1 TTHT H TH T TA ?故 n=8,k=3,于是 83)(1 ?AP（ 2）由于 ,于是有 }{2 TTTA ?87811)(1)(22 ????? APAP 例 將 n只球隨機地放入 個盒子中去 ,試求每個盒子至多有一只球的概率（設盒子的容量不限） )( nNN ? 解 將 n只球放入 N個盒子中去 ,每一種放法是一基本事件 .易知 ,這是古典概率問題 ,因每一只球都可以放入N個盒子中的任一個盒子 ,故共有 nNNNN ???? ?種不同的方法 ,而每個盒子中至多放一只球的放法共有 ))1(()1( ???? nNNN ?種不同的方法 ,故所求的概率為 nnNn NPNnNNNp ????? )1()1( ? 關于本例題的說明：有許多問題都可歸結為本例的數(shù)學模型 ,比如生日問題 .假設每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的 ,那么隨機選取 n(n≤365)個人 ,他們的生日各不相同的概率為 .3 6 5 )13 6 5(3 6 43 6 5 n n ????? ?至少有兩個人的生日相同的概率為 nnq365)1365(3643651 ??????? ?經計算可得下述結果： n 20 23 30 40 50 64 100 q 從以上的結果可知 , 如果一個班有 32 位同學 ,那么當兩個班一起上課時 , 幾乎可以肯定（以概率 % ）至少有兩位同學的生日相同 . 是不是有點吃驚？不信可以現(xiàn)場檢驗 . 例 （抽簽問題） 箱中裝有 a個白球和 b個黑球 ,現(xiàn)從中任意地取球 ,每次取一球 ,取后不放回 ,求第s (1≤s≤a+b)次 取出的球是白球的概率 . 解 設想把取出的球依次放在排列成一直線的 a+b個位置上 , 則箱內 a+b個球中的任一個放在 第 s個位置都是等可能的，因此第 s個位置上共有 a+b中可能， 而在該位置放白球則有 a種可能性。這就是下面的定義。 乘法公式的直觀解釋 例 .3 設袋中 有 5 個紅球， 3 個黑球和 2 個白球，按不放回抽樣的方式連續(xù)摸球 3 次，求第三次才摸到白球的概率． 解 ?iA { 第 i 次摸到白球 } ， i =1 ， 2 ， 3 則所求的概率為 )()|()|()( 112213321 APAAPAAAPAAAP ?4571089782 ???? 例 已知某廠家的一批產品共 100件 ,其中有 5件廢品 ,但是采購員并不知道有幾個廢品 .為慎重起見 ,他對產品進行不放回的抽樣檢查 ,如果在被他抽查的5件產品中至少有一件是廢品 ,則他拒絕購買這一批產品 .求采購員拒絕購買這批產品的概率 . 解 設 }{ 品采購員拒絕購買這批產?A件產品是廢品｝被抽查的第 iA i {?則有 ?51??iiAA從而 54321 AAAAAA ?1, 2 , 3 , 4 , 5i ?從而，由概率的乘法公式，有 )()( 54321 AAAAAPAP ?)()( 54321 AAAAAPAP ?7 6 9 0 0959994989397929691 ??????于是 2 3 0 )(1)( ??? APAP)|()|( 321443215 AAAAPAAAAAP ??)()|()|( 112123 APAAPAAAP ??? 例 袋中有一個白球及一個黑球 ,一次次地從袋中取球 .如果取出白球 ,則除把白球放回外再加進一個白球 ,直至取出黑球為止 .求取了 n次都沒有取到黑球的概率 . 解 設 }{ 次取得白球第 iAi ?}{ 次都沒有取到黑球取了 nA ?則有 nAAAA ?21?從而由乘法公式 ,有 )()|()|()|()( 1122211121 APAAPAAAAPAAAAPAP nnnn ??? ????11213211 ??????? nnnnn ?ni ,2,1 ?? 全概率公式與貝葉斯公式 用 I 表示有限集 },2,1{ n? 或可列集 },2,1{ ?? n ． 若事件組}:{ IiB i ?滿足 iiIBS??，??ji BB ，)( ji ? 則稱事件組}:{ IiB i