【正文】 義出發(fā)即可 . 167。 (3)試驗(yàn)之前 不能確定 哪一個結(jié)果會出現(xiàn) . 則稱滿足該試驗(yàn)為 隨機(jī)試驗(yàn) .簡稱為 試驗(yàn) . 定義 隨機(jī)試驗(yàn) E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E的 樣本空間 , 記為 S={ω}, S的元素 ω,即 E的一個可能的 結(jié)果 ,稱為 樣本點(diǎn) 或基本事件 . E1:拋一枚硬幣 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。 “水從高處流向低處” , 引 言 二 .不確定性現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象 在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn) 的現(xiàn)象 稱為隨機(jī)現(xiàn)象 . 實(shí)例 1 在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察 正反兩面出現(xiàn)的情況 . 結(jié)果有可能 出現(xiàn)正面 也可能 出現(xiàn)反面 . 這類現(xiàn)象的特點(diǎn)是 ,即使 在相同的條件下 ,每次試驗(yàn)所得的結(jié)果也會不相同 ,或者 已知它過去的狀態(tài) ,它將來的發(fā)展?fàn)顟B(tài)仍然無法確定 . 結(jié)果有可能為 : 1, 2, 3, 4, 5 , 6. 實(shí)例 3 拋擲一枚骰子 ,觀 察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) . 實(shí)例 2 用同一門炮向同 一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多 發(fā) , 觀察彈落點(diǎn)的情況 . 結(jié)果 : 彈落點(diǎn)會各不相同 . 試驗(yàn)結(jié)果的不確定性 實(shí)例 4 從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品 . 其結(jié)果可能為 : 正品 、 次品 . 實(shí)例 5 過馬路交叉口時 , 可能遇上各種顏色的交通 指揮燈 . 未來的不確定性 實(shí)例 7 劉翔還能破世界紀(jì)錄嗎？ 實(shí)例 6 明天的天氣可能是 晴 , 也可能是 多云 或 雨 . 主觀的不確定性 有些事情即使已經(jīng)發(fā)生了，但是在你知道結(jié)果之前，它們?nèi)匀痪哂胁淮_定性。 特點(diǎn)： 首先，隨機(jī)事件的發(fā)生具有偶然性 , 在一次試驗(yàn)中，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生 . 其次，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的發(fā)生具有某種規(guī)律性 . 4. 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是人為的嗎 ? 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的 , 就好比一根木棒有長度，一塊土地有面積一樣 . 今后我們將用 概率 來度量隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小 . 否！ 5. 天有不測風(fēng)云 和 天氣可以預(yù)報(bào) 有矛盾嗎 ? 無 ! “天氣可以預(yù)報(bào) ” 指的是研究者從大量的氣象資料來探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性 . “天有不測風(fēng)云 ” 指的是隨機(jī)現(xiàn)象一次實(shí)現(xiàn)的偶然性 . 從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機(jī)的，但多次觀察某個隨機(jī)現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律 . 小 結(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性一面，也有其必然性一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 . 小 結(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象常常表現(xiàn)出這樣或那樣的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這正是概率論所研究的對象 . 下面我們開始學(xué)習(xí)， 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是以數(shù)量化方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科 兩部分內(nèi)容： 、定理及公式（重點(diǎn)） 研究怎樣從大量的隨機(jī)的看 似雜亂無章的數(shù)字中獲得統(tǒng)計(jì)結(jié)果 學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的實(shí)用性 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)有廣泛應(yīng)用 (1).金融、信貸、醫(yī)療保險(xiǎn)等行業(yè)策略制定； (2).流水線上產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)與質(zhì)量控制； (3).服務(wù)性行業(yè)中服務(wù)設(shè)施及服務(wù)員配置； (4).生物醫(yī)學(xué)中病理試驗(yàn)與藥理試驗(yàn)； (5).食品保質(zhì)期、彈藥貯存分析，電器與電 子產(chǎn)品壽命分析； 學(xué)習(xí)方法 ? 轉(zhuǎn)變思維模式：最重要 －不變 —— 隨機(jī)變動 ? 多思考： －每次課會給大家思考、練習(xí)的時間 ? 勤做練習(xí)： 關(guān)于老師 經(jīng)濟(jì)學(xué)院：趙偉 郵箱： 電話： 18980409040 第一章 隨機(jī)事件與概率 現(xiàn)實(shí)世界中存在的兩類現(xiàn)象 一 .確定性現(xiàn)象 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象 . “太陽每天從東邊升起” , “同性電荷必然互斥”。 (2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個 ,但是能 事先明確 試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果 。另一個子集是空集 φ ,它不包含任何元素 ,因此在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生 ,我們將其稱為 不可能事件 . 事件間的關(guān)系與運(yùn)算 由于事件是樣本空間的一個子集 ,因此本節(jié)所涉及到的 事件之間的關(guān)系與運(yùn)算就是集合間的關(guān)系與運(yùn)算 ,但是事件之間的關(guān)系與運(yùn)算需要一套特別的語言來描述 ,并且熟悉這種特別的語言對本章及以后的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用 . 這一部分的重點(diǎn)就是能正確地將集合論中的符號翻譯成概率論的語言 . 1) 符號 : BA ?集合論中的含義 : 若 ω ∈ A,則 ω∈ B 概率論中的含義 : 若 A發(fā)生 ,則 B發(fā)生 . 這時我們稱 事件 B包含了事件 A. 若 同時 ,則稱 A與 B相等 ,記為 A=B. BA ? AB ?S B A 2) 符號 : AB集合論中的含義 : AB? ? ω∈ A或 ω∈ B ?概率論中的含義 : 事件 發(fā)生 AB ? 事件 A發(fā)生或事件 B發(fā)生 ? 事件 A與事件 B至少有一個發(fā)生 將 AB 稱為 BA , 的 和事件 , 它表示“ BA 與 至少有一個發(fā)生” . 這一新事件 . S B A BA?將“?nkkA1?” 稱為 n 個 事件 A 1 , A 2 , ? A n 的 和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n 至少有一個發(fā)生 ”這一事件； 將“??? 1kkA” 稱為 可列個事件 A 1 , A 2 , ? A n ? 的和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n ? 至少有一個發(fā)生 ”這一事件 . 進(jìn)一步推廣 3)符號 : 或 AB AB集合論中的含義 : AB? ?? ?概率論中的含義 : 事件 發(fā)生 AB??A 發(fā)生且 B 發(fā)生 A? ? 且 B? ? BA, 同時發(fā)生 . 將 AB 或 AB 稱為 BA , 的 積事件 , 它表示“ 事件 A與 B 同時發(fā)生 ”這一事件 . S A B AB 進(jìn)一步推廣 稱 ?nkkA1?為 n 個 事件 A 1 ,A 2 , ? A n 的積事件 ，它表示“ A 1 ,A 2 , ? A n 同時發(fā)生 ”這一事件； 稱 ??? 1kkA為 可列個事件 A 1 ,A 2 , ? A n ? 的積事件 ，它“ 表示 A 1 ,A 2 , ? A n ? 同時發(fā)生 ”這一事件 . 例 設(shè)有 n座橋梁如下圖所示串聯(lián)而成 1 2 n L R 用 A表示事件“ L至 R是通路”， Ai表示“第 i座橋梁是暢通的” (i=1,2,…, n),則有 ?niiAA1?? 如果這 n座橋梁如下圖所示是并聯(lián)而成的， 1 2 n L R 則有 ?niiAA1??4) 符號 : BA ?集合論中的含義 : AB? ?? ?概率論中的含義 : BA ? 發(fā)生 ? A 發(fā)生但 B 不發(fā)生 . A? ? 且 B? ? 稱 BA ? 為 A 與 B 的 差事件 , 它表示“ 事件 A 發(fā)生而事件 B 不發(fā)生 ”這一新事件 . S A B B?S A B BA?A B A A B???5) 符號 : ??? BA或 ??AB集合論中的含義 : 概率論中的含義 : BA 與不相交即沒有公共部分 ??AB ?BA 與 同時發(fā)生是不可能的 ??AB ?一般地，如果 ??AB ，我們就稱事件 BA 與 互不相容 或 互斥 , 它表示 事件 A 與 B 不可能同時發(fā)生 。(2)設(shè)事件 A2為“至少有一次出現(xiàn)正面” ,求 P(A2) . 解 （ 1）樣本空間為 { , , , , , , , }S H H H H H T H T H T H H H T T T H T T T H T T T?而 },{1 TTHT H TH T TA ?故 n=8,k=3,于是 83)(1 ?AP（ 2）由于 ,于是有 }{2 TTTA ?87811)(1)(22 ????? APAP 例 將 n只球隨機(jī)地放入 個盒子中去 ,試求每個盒子至多有一只球的概率（設(shè)盒子的容量不限） )( nNN ? 解 將 n只球放入 N個盒子中去 ,每一種放法是一基本事件 .易知 ,這是古典概率問題 ,因每一只球都可以放入N個盒子中的任一個盒子 ,故共有 nNNNN ???? ?種不同的方法 ,而每個盒子中至多放一只球的放法共有 ))1(()1( ???? nNNN ?種不同的方法 ,故所求的概率為 nnNn NPNnNNNp ????? )1()1( ? 關(guān)于本例題的說明：有許多問題都可歸結(jié)為本例的數(shù)學(xué)模型 ,比如生日問題 .假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的 ,那么隨機(jī)選取 n(n≤365)個人 ,他們的生日各不相同的概率為 .3 6 5 )13 6 5(3 6 43 6 5 n n ????? ?至少有兩個人的生日相同的概率為 nnq365)1365(3643651 ??????? ?經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果： n 20 23 30 40 50 64 100 q 從以上的結(jié)果可知 , 如果一個班有 32 位同學(xué) ,那么當(dāng)兩個班一起上課時 , 幾乎可以肯定（以概率 % ）至少有兩位同學(xué)的生日相同 . 是不是有點(diǎn)吃驚？不信可以現(xiàn)場檢驗(yàn) . 例 （抽簽問題） 箱中裝有 a個白球和 b個黑球 ,現(xiàn)從中任意地取球 ,每次取一球 ,取后不放回 ,求第s (1≤s≤a+b)次 取出的球是白球的概率 . 解 設(shè)想把取出的球依次放在排列成一直線的 a+b個位置上 , 則箱內(nèi) a+b個球中的任一個放在 第 s個位置都是等可能的，因此第 s個位置上共有 a+b中可能， 而在該位置放白球則有 a種可能性。這就是下面的定義。 乘法公式的直觀解釋 例 .3 設(shè)袋中 有 5 個紅球， 3 個黑球和 2 個白球，按不放回抽樣的方式連續(xù)摸球 3 次，求第三次才摸到白球的概率． 解 ?iA { 第 i 次摸到白球 } ， i =1 ， 2 ， 3 則所求的概率為 )()|()|()( 112213321 APAAPAAAPAAAP ?4571089782 ???? 例 已知某廠家的一批產(chǎn)品共 100件 ,其中有 5件廢品 ,但是采購員并不知道有幾個廢品 .為慎重起見 ,他對產(chǎn)品進(jìn)行不放回的抽樣檢查 ,如果在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品 ,則他拒絕購買這一批產(chǎn)品 .求采購員拒絕購買這批產(chǎn)品的概率 . 解 設(shè) }{ 品采購員拒絕購買這批產(chǎn)?A件產(chǎn)品是廢品｝被抽查的第 iA i {?則有 ?51??iiAA從而 54321 AAAAAA ?1, 2 , 3 , 4 , 5i ?從而，由概率的乘法公式，有 )()( 54321 AAAAAPAP ?)()( 54321 AAAAAPAP ?7 6 9 0 0959994989397929691 ??????于是 2 3 0 )(1)( ??? APAP)|()|( 321443215 AAAAPAAAAAP ??)()|()|( 112123 APAAPAAAP ??? 例 袋中有一個白球及一個黑球 ,一次次地從袋中取球 .如果取出白球 ,則除把白球放回外再加進(jìn)一個白球 ,直至取出黑球?yàn)橹?.求取了 n次都沒有取到黑球的概率 . 解 設(shè) }{ 次取得白球第 iAi ?}{ 次都沒有取到黑球取了 nA ?則有 nAAAA ?21?從而由乘法公式 ,有 )()|()|()|()( 1122211121 APAAPAAAAPAAAAPAP nnnn ??? ????11213211 ??????? nnnnn ?ni ,2,1 ?? 全概率公式與貝葉斯公式 用 I 表示有限集 },2,1{ n? 或可列集 },2,1{ ?? n ． 若事件組}:{ IiB i ?滿足 iiIBS??，??ji BB ，)( ji ? 則稱事件組}:{ IiB i