【正文】 . 解 設(shè) }{ 品采購員拒絕購買這批產(chǎn)?A件產(chǎn)品是廢品｝被抽查的第 iA i {?則有 ?51??iiAA從而 54321 AAAAAA ?1, 2 , 3 , 4 , 5i ?從而，由概率的乘法公式，有 )()( 54321 AAAAAPAP ?)()( 54321 AAAAAPAP ?7 6 9 0 0959994989397929691 ??????于是 2 3 0 )(1)( ??? APAP)|()|( 321443215 AAAAPAAAAAP ??)()|()|( 112123 APAAPAAAP ??? 例 袋中有一個白球及一個黑球 ,一次次地從袋中取球 .如果取出白球 ,則除把白球放回外再加進一個白球 ,直至取出黑球為止 .求取了 n次都沒有取到黑球的概率 . 解 設(shè) }{ 次取得白球第 iAi ?}{ 次都沒有取到黑球取了 nA ?則有 nAAAA ?21?從而由乘法公式 ,有 )()|()|()|()( 1122211121 APAAPAAAAPAAAAPAP nnnn ??? ????11213211 ??????? nnnnn ?ni ,2,1 ?? 全概率公式與貝葉斯公式 用 I 表示有限集 },2,1{ n? 或可列集 },2,1{ ?? n ． 若事件組}:{ IiB i ?滿足 iiIBS??，??ji BB ，)( ji ? 則稱事件組}:{ IiB i ?為 S 的一個 分割 或 劃分(p a r ti ti o n ) ． 由定義 ， 如果事件組 }:{ IiB i ? 是樣本空間的一個劃分 ， 則在試驗中這些事件有且僅有一個發(fā)生 ． 性質(zhì) 1. 4 . 2 （全概率公式） 設(shè)事件組 }:{ IiBi ?為S 的一個劃分，且 0)( ?iBP ( Ii ? ) ，則有 ???Iiii BPBAPAP )()|()( 證明 由于 }:{ IiBi ?為 S 的一個劃分，所以iAB（ )Ii ? 之間互不相容，由概率的可列可加性，得 ( ) ( ) ( ( ) ) ( )iii I i IP A P A S P A B P A B??? ? ???????IiiiIii BPBAPABP )()|()(例 1. 4 .6 盒中有 15 個乒乓球，其中 9 個新球 6個舊球。第一次比賽從中任取兩個球，用后放回；第二次比賽時再從中任取兩球。求第二次取到 兩個新球的概率 . 解 設(shè) iA ={ 第一次取到 i 個新球 } ， 2,1,0?i ?B { 第二次取到兩個新球 } ， 則 210 , AAA 構(gòu)成樣本空間的一個劃分 由全概率公式，有 )()|()()|()()|()( 221100 APABPAPABPAPABPBP ??? 122531221529215272151916215282152621529 ????CCCCCCCCCCCCC例 1. 4 .7 玻璃杯成箱出售 ， 每箱 20 只 ， 假設(shè)各箱含 0 ， 1 ， 2 只殘次品的概率相應(yīng)為 0 . 8 ， 0 . 1 和 0 . 1 ，一顧客欲買下一箱玻璃杯 ， 在購買時 ， 售貨員隨意取出一箱 ， 而顧客開箱隨意查看其中的 4 只 ， 若無殘次品 ， 則買下該箱玻璃杯 ， 否則退回。試求顧客買下該箱的概率 ． 解 設(shè) ?iA{ 箱中恰好有 i 只殘次品 } ， 2,1,0?i ，B = { 顧客買下該箱玻璃杯 } ， 則210 , AAA構(gòu)成樣本空間的一個劃分， 由題意知 ，有 )( 0 ?AP )()( 21 ?? APAP并且 1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910 ?????CCABPCCABPABP由全概率公式，有 ??????????309 4 )|()()(iii ABPAPBP)( 0 ?AP )()( 21 ?? APAP并且 1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910 ?????CCABPCCABPABP證明 由條件概率的定義和全概率公式得 ????njjjiiiiBPBAPBPBAPAPABPABP1)()|()()|()()()|(貝葉斯公式 性質(zhì) 1. 4 . 3 （貝葉斯公式） 設(shè)}:{ IiB i ?為 S 的一個劃分，且 0)( ?AP ， 0)( ?iBP )( Ii ?，則有 ???Ijjjiii BPBAPBPBAPABP)()|()()|()|( 例 1. 4 .8 某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的．根據(jù)以 往的記錄有以下的數(shù)據(jù)． 元件制造廠 次品率 提供晶體管的份額 1 0 . 0 2 0 . 1 5 2 0 . 0 1 0 . 8 0 3 0 . 0 3 0 . 0 5 設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中 是均勻混合的，且無區(qū)別的標志．（ 1 ）在倉庫中隨機地取一只晶體管 ，求它是次品的概率．（ 2 ）在倉庫中隨機地取一只 晶體管，若已知取到的是次品， 為分析此次品出自何廠，需求出此次品是由第 1 、 2 、 3 家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少 ， 試求這些概率． 解 設(shè) A={取到的是一只次品 } Bi={所取產(chǎn)品是由第 i家工廠提供｝ 3,2,1?i顯然， B1,B2,B3是樣本空間的一個劃分 (1)由全概率公式 )()|()()|()()|()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP ??? ???????(2)由貝葉斯公式 1 2 )( )()|()|( 111 ???? AP BPBAPABP同理 )|(,)|(32 ?? ABPABP 例 ,當(dāng)機器調(diào)整得良好時 ,產(chǎn)品的合格率為 90%,而當(dāng)機器發(fā)生某一故障時 ,其合格率為 30%.每天早上機器開動時 ,機器調(diào)整得良好的概率為 75%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時 ,機器調(diào)整得良好的概率是多少 ？ 解 設(shè) A={產(chǎn)品是合格品 }, B={機器調(diào)整得良好 } )(,)(,)|(,)|( ???? BPBPBAPBAP由題意 顯然 ， BB , 構(gòu)成了必然事件的一個劃分 ， 由貝葉斯公式 )()|()()|()()|()|(????????BPBAPBPBAPBPBAPABP這樣我們就有了兩個概率，一個是 )( ?BP ，這是在試驗前根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析得到的，稱為 先驗概率 ；另一個是 )|( ?ABP ，這是在通過試驗得到信息（即早上第一件產(chǎn)品是合格品）后重新加以修正的概率，稱為 后驗概率 ． 機器本身是否處于調(diào)整得良好的狀態(tài)是一個客觀給定的事實，但是由于我們所獲得的經(jīng)驗信息的不同，而對其處于什么樣狀態(tài)的概率得到了不同的數(shù)值，即 先驗概率和后驗概率，可以認為它們反映了試驗前后人們對機器狀態(tài)的一種主觀信念． 先驗概率與后驗概率 例 1. 4 . 1 0 根據(jù)以往的臨床記錄 , C A T （計算機輔助層次掃描）作為診斷精神分裂癥的試驗具有如下的效果 : 若以 A 表示事件“掃描顯示被診斷者為腦萎縮” , 以 C 表示事件“被診斷者患有精神分裂癥” , 則有.)|(,)|( ?? CAPCAP現(xiàn)在已知在美國精神分裂癥的發(fā)病率 為 1 . 5 % , 即)( ?CP, 試求在掃描顯示被診斷者為腦萎縮的條件下 , 該診斷者患有精神分裂癥的條件概率)|( ACP. 解 由貝葉斯公式 ,有 )()|()()|()()|()|(CPCAPCPCAPCPCAPACP??1 8 9 8 1 0 1 ?????? 一個不懂概率的人可能會這樣推理， 由于沒患精神分裂癥的人被 CAT掃描診斷為腦萎縮的機會才2%，因此如果某人已經(jīng)被 CAT掃描診斷為腦萎縮，那么他患有精神分裂癥的概率應(yīng)該很大。 然而，由于在美國人口中患有精神分裂癥的比例極小，再加上檢驗方法也不是很完善，因此很多人可能是因為別的原因或疾病而被診斷為腦萎縮。但是如果在做CAT掃描之前，醫(yī)生通過聽其言觀其行就已經(jīng)有50%的把握將其診斷為精神分裂癥患者（即先驗概率為 ），那么此時如果通過 CAT掃描顯示為腦萎縮，則由貝葉斯公式，其患有精神分裂癥的后驗概率就達到了 %． 例 伊索寓言“狼來了”的貝葉斯分析 設(shè) A={小孩說謊 }， B={小孩可信 }，不妨設(shè)村民過去對這個孩子的印象（先驗概率）為 ( ) ?( ) ?假設(shè)被認為是可信的孩子說謊的概率只有 10% ，而被認為不可信的孩子說謊的概率為 50% ，即 ( | ) A B ?( | ) A B ? 村民在第一次被騙（ A發(fā)生）以后，認為小孩可信程度（后驗概率）調(diào)整為 ( | ) ( )( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P A B P BP B AP A B P B P A B P B?? ? 于是村民認為小孩的可信程度從原來的 整為 ，即 信念的進一步調(diào)整 ( ) 0 . 4 4 4PB ? ( ) 0 .5 5 6PB ? 在此基礎(chǔ)上，如果孩子再一次撒謊，則村民對他的可信程度會進一步調(diào)整為 0 . 4 4 4 0 . 1( | ) 0 . 1 3 80 . 4 4 4 0 . 1 0 . 5 5 6 0 . 5P B A???? ? ? 問題： 如果這個孩子再喊“狼來了”，村民們還會相信嗎？ 167。 獨立性 事件的獨立性是概率論中最重要的概念之一 .那么什么是事件的獨立性呢？ 所謂兩個事件 A與 B相互獨立 ,直觀上說就是它們互不影響 ,說得更明確一點，就是事件 A發(fā)生與否不會影響事件 B發(fā)生的可能性 , 事件 B發(fā)生與否不會影響事件 A發(fā)生的可能性 ,用數(shù)學(xué)式子來表示 ,就是 )()|( BPABP ? )()|( APBAP ?且 但是上面兩式分別要求 A與 B的概率大于零，考慮到更一般的情形，給出如下的定義 . 定義 設(shè) A、 B是兩個事件，如果成立等式 )()()( BPAPABP ?則稱事件 A與事件 B相互獨立 . 由定義知， 概率為零的事件與任何事件獨立 . 事件的獨立性 事件之間相互獨立與事件之間互不相容是兩個完全不同的概念 .事實上 ,由定義可以推知 ， 如果兩個具有正概率的事件是互不相容的 ,那么它們一定是不獨立的 ,反之 ,如果兩個具有正概率的事件是相互獨立的 ,那么這兩個事件不可能互不相容 . 兩個概念之間的區(qū)別 定理 1. 5 .1 若事件 A 與 B 相互獨立，則 A 與 B ，A 與 B 、 A 與 B 也相互獨立． 證明 由概率的性質(zhì)知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A A B P A P A B? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 1 ( ) ] ( ) ( )P A B P A P A P B P A P B P A P B? ? ? ? ?由 A與 B的獨立性知 )()()( BPAPABP ?所以 即 A 與 B 相互獨立． 類似地可證其余結(jié)論 . 因此，概率為 1的事件與任何事件相互獨立。 定義 設(shè) A,B,C為三個事件，如果如下四個等式 ???????????)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABP則稱事件 A,B,C相互獨立 . 多個事件的相互獨立性 注 :定義中前面三個等式只說明這三個事件是 兩兩相互獨立 的 ,但是由此并不能將第四個等式推導(dǎo)出來 . 例 1. 5 .1 如果 將一枚硬幣拋擲兩次 , 觀察正面 H和反面 T 的出現(xiàn)情況 , 則此時樣 本空間為{ , , , }S H H H T T H T T? , 令 },{ HTHHA ? },{ THHHB ? },{ TTHHC ?則 }{ HHABCBCACAB ????故有 21)()()( ??? CPBPAP41)()()( ??? BCPACPABP但是 )()