【正文】 以 , CBA , 中任意兩個(gè)事件都是相互獨(dú)立的 , 但是事件 CBA , 并不相互獨(dú)立 . 當(dāng)我們考慮多個(gè)事件之間是否相互獨(dú)立時(shí) ,除了必須考慮任意兩事件之間的相互關(guān)系外 ,還要考慮到 多個(gè)事件的乘積對(duì)其它事件的影響 . 在 例 1 .5 .1 中 ， 雖然單獨(dú)一個(gè)事件 A 發(fā)生與否不會(huì)影響事件 C ， 同樣單獨(dú)一個(gè)事件 B 發(fā)生與否也不會(huì)影響事件 C ， 但是當(dāng) BA , 同時(shí)發(fā)生時(shí)卻會(huì)影響C ． 事實(shí)上 ， 由于 CHHAB ?? }{ ， 從而有 )(211)|( CPABCP ???定義 1. 5 .3 若 n 個(gè)事件nAAA , 21 ?滿足 )()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ?? ? )1,1( 21 niiink k ??????? ? 則稱(chēng)nAAA , 21 ?相互獨(dú)立 . 注 :由定義要判定 n個(gè)事件是否相互獨(dú)立，需要驗(yàn)證 1232?????????????????????????????? nnnnn n?個(gè)等式．在實(shí)際問(wèn)題中 ,獨(dú)立性是根據(jù)實(shí)際意義來(lái)判斷的 ,然后利用獨(dú)立性來(lái)計(jì)算事件乘積的概率的 . 例 1. 5 .2 設(shè) A , B , C 三事件相互獨(dú)立 , 試證 AB 與 C相互獨(dú)立 . 證明 因?yàn)? ( ( ) ) ( )P A B C P A C B C?( ) ( ) ( )P A C P B C P A B C? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P C P B P C P A P B P C? ? ?[ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )P A P B P A P B P C? ? ?( ) ( )P A B P C?所以 , AB 與 C 相互獨(dú)立 . 類(lèi)似地還可推得 : AB 與 C 獨(dú)立 。由乘法公式)()|()( APABPABP ?可知 ， 只要加強(qiáng)鍛煉 ( 主觀努力 ) 并且衛(wèi)生部門(mén)做好預(yù)防工作 ( 客觀條件 良好 ) ， 那么感染禽流感病毒并導(dǎo)致死亡的概率就會(huì)很小。 條件概率 在實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到求在事件 A 已經(jīng)出現(xiàn)的條件下，事件B 的概率 ．這時(shí)由于附加了條件，它與事件 B 的概率 )( BP 的意義是不 同 的 ． 我 們 把 這 概 率 記 為)|( ABP ． 問(wèn)題： 一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，已知其中有一個(gè)是女孩，問(wèn)另一個(gè)也是女孩的概率是多少？ 分析 ： 一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子的所有可能結(jié)果為 ： ( ) , ( ) , ( ) , ( )S ?｛ 男 男 男 女 女 男 女 女 ｝設(shè) BA , 分別表示事件“其中有一個(gè)是女孩”和“另一個(gè)也是女孩”，則有 )},(),(),{( 女女男女女男?A )},{( 女女?B 31)|( ?ABP所以，有 在該例中，如果不知道事件 A已經(jīng)發(fā)生的信息，那么事件 B發(fā)生的概率為 )|(41)( ABPBP ??這表明，事件之間是存在著一定的相關(guān)性的． )|( ABP 與 )( BP 不相等的原因在于，事件 A 的發(fā)生改變了樣本空間，由原來(lái)的 S 縮減為ASA ?． 1 1 4 ( )( | )3 3 4 ( )P ABP B APA? ? ?上述條件概率還可以寫(xiě)成 )|( ABP 可以理解為 )( ABP 在 )( AP 中的“比重” ． 設(shè)An，Bn與ABn分別為事件 BA , 與 AB 包含的基本事件數(shù)，并設(shè)樣本空間 S 所含的基本事件總數(shù)為n ，則 )|( ABP 可用 A 已經(jīng)發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的相對(duì)比例來(lái)表達(dá)，即 )|( ABP 應(yīng)為AABnn ，而 古典概型的情形 )()(//APABPnnnnnnAABAB ?? 這個(gè)關(guān)系具有一般性，即 條件概率是兩個(gè)無(wú)條件概率之商 。 等可能概型 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間12{ , , }nS ? ? ??，},{ 21 kiiiA ??? ?? ，則有 () kAPA nS?? 所 包 含 的 基 本 事 件 數(shù)中 基 本 事 件 總 數(shù) 因此 ,要計(jì)算任何一個(gè)事件的概率 ,關(guān)鍵是要計(jì)算樣本空間所含的基本事件數(shù) n和該事件所含的基本事件數(shù) k. 計(jì)算公式 例 將一枚硬幣拋擲三次 .(1)設(shè)事件 A1為“恰有一次出現(xiàn)正面” ,求 P(A1)。 隨機(jī)事件 把樣本空間的某個(gè)子集 (具有某種特征的樣本點(diǎn)組成的子集 )稱(chēng)為“ 隨機(jī)事件 ” ,簡(jiǎn)稱(chēng)為“ 事件 ” . 以 E5為例 ,如果電視機(jī)的壽命超過(guò) 10000個(gè)小時(shí)被認(rèn)為是合格品 ,則“ 所抽取的電視機(jī)是合格品 ”這一事件可以用 S5的子集 A={t: t 10000}來(lái)表示 . 例 2中 , “至少出現(xiàn)一次正面 ”這一事件可以表示成 : ? ?HHTHHTB ,? 一般地 ,我們用英文字母表中前面的大寫(xiě)字母 (可以帶下標(biāo) )表示事件 ,如用 A, B, C, A1, B3, D17等 . 設(shè) A為隨機(jī)事件 ,如果試驗(yàn)的結(jié)果 ω 屬于 A,則稱(chēng)事件A發(fā)生 .即 試驗(yàn)的結(jié)果 A??事件 A發(fā)生 ? 樣本空間有兩個(gè)特殊的子集 ,一個(gè)是 S本身 ,由于它包含了所有可能的結(jié)果 ,所以在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的 ,我們將其稱(chēng)為 必然事件 。 基本概念 隨機(jī)試驗(yàn)與事件 如果一個(gè)試驗(yàn)具有如下的共同特點(diǎn) : (1)可在相同的條件下 重復(fù)進(jìn)行 。摩爾根 2048 1061 莆 豐 4040 2048 皮爾遜 12022 6019 皮爾遜 24000 12022 維 尼 30000 14994 出生年份 新生兒總數(shù) n 新生兒總數(shù) 頻率 (%) 男孩 數(shù) m1 女孩 數(shù) m2 男孩 m1/n 女孩 m2/n 1977 1978 1979 1980 1981 1982 3670 4250 4056 5844 6344 7231 1883 2177 2138 2955 3271 3722 1787 2073 1917 2889 3073 3509 總計(jì) 31394 16146 15248 3. 何為隨機(jī)事件 ? 隨機(jī)事件有什么特點(diǎn) ? 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱(chēng)為隨機(jī)事件 . 例：明天的最高氣溫小于 30攝氏度。這種不確定性我們稱(chēng)之為主觀不確定性。 E2:拋一枚硬幣兩次 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。 頻率與概率 研究隨機(jī)現(xiàn)象不僅要知道可能出現(xiàn)哪些事件 ,還要知道各種事件出現(xiàn)的可能性的大小 .我們把 衡量事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)稱(chēng)作事件的概率 .事件 A的概率用 P(A)來(lái)表示 . 問(wèn)題 :對(duì)于一個(gè)給定的隨機(jī)事件 ,衡量它發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo) ——概率 ,是如何確定的？ ()()nnAfAn?定義 在相同條件下 , 進(jìn)行了 n 次試驗(yàn) ,在這 n 次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)()nA稱(chēng)為 事件 A 的 頻數(shù) , 比值( ) /n A n稱(chēng)為 事件 A 發(fā)生的 頻率 , 并記為)( Af n,即 試驗(yàn) 序號(hào) 5?nHn f1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 Hn f50?n22 25 21 25 24 18 27 Hn500?n251 249 256 247 251 262 258 f 實(shí)例 將一枚硬幣拋擲 5 次、 50 次、 500 次 , 各做 7 遍 , 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率 . 處波動(dòng)較大在 21波動(dòng)最小 隨 n的增大 , 頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性 處波動(dòng)較小在 21頻率具有如下的特點(diǎn) : 能性的大小 ,頻率大則發(fā)生的可能性也應(yīng)該大 。 例 1. 3 .7 設(shè)有 N 件產(chǎn)品 , 其中有 M 件次品 , 今從中任取 n 件 , 問(wèn)其中恰有 k 件次品的概率是多少？ 解 在 N 件產(chǎn)品中任取 n 件 , 所有可能的取法共有nNC種 , 每一種取法為一基本事件 . 由乘法原理知在 N 件產(chǎn)品中取 n 件 , 其中恰有 k 件次品的取法共有k n kM N MCC??種 , 記 X 為取得的次品數(shù)，則 所求的概率為 {}k n kM N MnNCCP X kC????上式即所謂 超幾何分布 的概率公式。 （ 2 ）在原來(lái)的樣本空間 S 中，直接按定義計(jì)算． 條件概率的定義 例 1. 4 .1 一盒子裝有 5 只產(chǎn)品 , 其中 3 只一等品 ,2 只二等品 . 從中取產(chǎn)品兩次 , 每次任取一只 , 做不放回抽樣 .設(shè)事件 A 為“第一次取到的是一等品” , 事件 B 為“第二次取到的是一等品” , 試求條件概率 )|( ABP . 解法一 在縮減后的樣本空間 AS 上計(jì)算 . 由于事件 A 已經(jīng)發(fā)生 , 即第一次取到的是一等品 ,所以第二次取產(chǎn)品時(shí) , 所有產(chǎn)品只有 4 只 , 即AS所含的基本事件數(shù)為 4, 而其中一等品只剩下 2 只 , 所以 21)|( ?BP解法二 在原來(lái)的樣本空間 S 中 , 直接按定義計(jì)算 . 由于是不放回抽樣 ,所以有 534534)( ????AP1034523)( ????ABP由定義 , 21)()()|( ??APABPAB例 1. 4 .2 一批產(chǎn)品中，一、二、三等品各占 6 0 % ，30% ， 1 0 % ，從中隨意取出一件，結(jié)果不是三等品，試求取到的是一等品的概率。求第二次取到 兩個(gè)新球的概率 . 解 設(shè) iA ={ 第一次取到 i 個(gè)新球 } ， 2,1,0?i ?B { 第二次取到兩個(gè)新球 } ， 則 210 , AAA 構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分 由全概率公式，有 )()|()()|()()|()( 221100 APABPAPABPAPABPBP ??? 122531221529215272151916215282152621529 ????CCCCCCCCCCCCC例 1. 4 .7 玻璃杯成箱出售 ， 每箱 20 只 ， 假設(shè)各箱含 0 ， 1 ， 2 只殘次品的概率相應(yīng)為 0 . 8 ， 0 . 1 和 0 . 1 ，一顧客欲買(mǎi)下一箱玻璃杯 ， 在購(gòu)買(mǎi)時(shí) ， 售貨員隨意取出一箱 ， 而顧客開(kāi)箱隨意查看其中的 4 只 ， 若無(wú)殘次品 ， 則買(mǎi)下該箱玻璃杯 ， 否則退回。如果三人都擊中 ,則飛機(jī)一定被擊落 ,求飛機(jī)被擊落的概率 . 解 設(shè) A={飛機(jī)被擊落 } Bi={飛機(jī)被 i個(gè)人擊中 }， i=0,1, 2,3 ， A1,A2,A3分別表示飛機(jī)被甲 ,乙 ,丙擊中 .于是 ,有 3210 AAAB ? 2 3 1 3 1 21 1 2 3B A A A A A A A A A? ? ?3213213212 AAAAAAAAAB ??? 3213 AAAB ? 顯然 , B0, B1, B2, B3構(gòu)成必然事件的一個(gè)劃分 ,于是由全概率公式 ,得 )()|()(30iii BPBAPAP ???由題意知 0)|( 0 ?BAP )|( 1 ?BAP)|( 2 ?BAP 1)|( 3 ?BAP而由 A1, A2, A3的獨(dú)立性 ,可算得 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B P A P A P A P A P A P A P A P A P A? ? ??同理 ,)(2 ?BP ,)( 3 ?BP45 )( ???????AP故 補(bǔ)充例題 2 設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各 10名 、 15名和 25名考生的報(bào)名表 ,其中女生的報(bào)名表分別為 3份 、 7份和5份 .隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表 ,從中先后抽兩份 . 1)求先抽到的一份是女生表的概率 p； 2)已知后抽到的一份是男生表 ,求先抽到的一份是女生表的概率 q； 解 設(shè) }{ 區(qū)考生的報(bào)名表是第 iHi ? )3,2,1( ?i}{ 表次抽到的報(bào)名表是女生第 jA j ? )2,1( ?j則 31)( ?iHP)3,2,1( ?i