【正文】 A B 與 C 獨(dú)立 . 兩個(gè)結(jié)論 .)2(,)2(,.1 21個(gè)事件也是相互獨(dú)立其中任意則相互獨(dú)立若事件　　　nkknAAA n???? . ,)2(,.22121個(gè)事件仍相互獨(dú)立所得的立事件們的對(duì)中任意多個(gè)事件換成它則將相互獨(dú)立個(gè)事件若　　　nAAAnAAAnnn?? ?例 1. 5 .3 兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊 , 設(shè) 甲射中目標(biāo)的概率為 0 . 6 , 乙射中目標(biāo)的概率為 0 . 5 , (1 ) 求目標(biāo)被擊中的概率是多少 。 然而，由于在美國(guó)人口中患有精神分裂癥的比例極小，再加上檢驗(yàn)方法也不是很完善，因此很多人可能是因?yàn)閯e的原因或疾病而被診斷為腦萎縮。 乘法公式的直觀解釋 例 .3 設(shè)袋中 有 5 個(gè)紅球， 3 個(gè)黑球和 2 個(gè)白球，按不放回抽樣的方式連續(xù)摸球 3 次，求第三次才摸到白球的概率． 解 ?iA { 第 i 次摸到白球 } ， i =1 ， 2 ， 3 則所求的概率為 )()|()|()( 112213321 APAAPAAAPAAAP ?4571089782 ???? 例 已知某廠家的一批產(chǎn)品共 100件 ,其中有 5件廢品 ,但是采購(gòu)員并不知道有幾個(gè)廢品 .為慎重起見 ,他對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行不放回的抽樣檢查 ,如果在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品 ,則他拒絕購(gòu)買這一批產(chǎn)品 .求采購(gòu)員拒絕購(gòu)買這批產(chǎn)品的概率 . 解 設(shè) }{ 品采購(gòu)員拒絕購(gòu)買這批產(chǎn)?A件產(chǎn)品是廢品｝被抽查的第 iA i {?則有 ?51??iiAA從而 54321 AAAAAA ?1, 2 , 3 , 4 , 5i ?從而，由概率的乘法公式，有 )()( 54321 AAAAAPAP ?)()( 54321 AAAAAPAP ?7 6 9 0 0959994989397929691 ??????于是 2 3 0 )(1)( ??? APAP)|()|( 321443215 AAAAPAAAAAP ??)()|()|( 112123 APAAPAAAP ??? 例 袋中有一個(gè)白球及一個(gè)黑球 ,一次次地從袋中取球 .如果取出白球 ,則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球 ,直至取出黑球?yàn)橹?.求取了 n次都沒(méi)有取到黑球的概率 . 解 設(shè) }{ 次取得白球第 iAi ?}{ 次都沒(méi)有取到黑球取了 nA ?則有 nAAAA ?21?從而由乘法公式 ,有 )()|()|()|()( 1122211121 APAAPAAAAPAAAAPAP nnnn ??? ????11213211 ??????? nnnnn ?ni ,2,1 ?? 全概率公式與貝葉斯公式 用 I 表示有限集 },2,1{ n? 或可列集 },2,1{ ?? n ． 若事件組}:{ IiB i ?滿足 iiIBS??，??ji BB ，)( ji ? 則稱事件組}:{ IiB i ?為 S 的一個(gè) 分割 或 劃分(p a r ti ti o n ) ． 由定義 ， 如果事件組 }:{ IiB i ? 是樣本空間的一個(gè)劃分 ， 則在試驗(yàn)中這些事件有且僅有一個(gè)發(fā)生 ． 性質(zhì) 1. 4 . 2 （全概率公式） 設(shè)事件組 }:{ IiBi ?為S 的一個(gè)劃分，且 0)( ?iBP ( Ii ? ) ，則有 ???Iiii BPBAPAP )()|()( 證明 由于 }:{ IiBi ?為 S 的一個(gè)劃分，所以iAB（ )Ii ? 之間互不相容，由概率的可列可加性，得 ( ) ( ) ( ( ) ) ( )iii I i IP A P A S P A B P A B??? ? ???????IiiiIii BPBAPABP )()|()(例 1. 4 .6 盒中有 15 個(gè)乒乓球，其中 9 個(gè)新球 6個(gè)舊球。 性質(zhì) 條件概率也是概率 1) 對(duì)于每一個(gè)事件 ,B 有 0)|( ?ABP 。這就是下面的定義。那么這 12次接待恰好都在周二和周四的概率為 0 0 0 0 0 0 721212??p由實(shí)際推斷原理， 小概率事件在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的 ，而現(xiàn)在居然發(fā)生了，因此有理由懷疑原來(lái)假設(shè)的正確性，即認(rèn)為接待時(shí)間是有規(guī)定的。(2)設(shè)事件 A2為“至少有一次出現(xiàn)正面” ,求 P(A2) . 解 （ 1）樣本空間為 { , , , , , , , }S H H H H H T H T H T H H H T T T H T T T H T T T?而 },{1 TTHT H TH T TA ?故 n=8,k=3,于是 83)(1 ?AP（ 2）由于 ,于是有 }{2 TTTA ?87811)(1)(22 ????? APAP 例 將 n只球隨機(jī)地放入 個(gè)盒子中去 ,試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率（設(shè)盒子的容量不限） )( nNN ? 解 將 n只球放入 N個(gè)盒子中去 ,每一種放法是一基本事件 .易知 ,這是古典概率問(wèn)題 ,因每一只球都可以放入N個(gè)盒子中的任一個(gè)盒子 ,故共有 nNNNN ???? ?種不同的方法 ,而每個(gè)盒子中至多放一只球的放法共有 ))1(()1( ???? nNNN ?種不同的方法 ,故所求的概率為 nnNn NPNnNNNp ????? )1()1( ? 關(guān)于本例題的說(shuō)明：有許多問(wèn)題都可歸結(jié)為本例的數(shù)學(xué)模型 ,比如生日問(wèn)題 .假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的 ,那么隨機(jī)選取 n(n≤365)個(gè)人 ,他們的生日各不相同的概率為 .3 6 5 )13 6 5(3 6 43 6 5 n n ????? ?至少有兩個(gè)人的生日相同的概率為 nnq365)1365(3643651 ??????? ?經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果： n 20 23 30 40 50 64 100 q 從以上的結(jié)果可知 , 如果一個(gè)班有 32 位同學(xué) ,那么當(dāng)兩個(gè)班一起上課時(shí) , 幾乎可以肯定（以概率 % ）至少有兩位同學(xué)的生日相同 . 是不是有點(diǎn)吃驚？不信可以現(xiàn)場(chǎng)檢驗(yàn) . 例 （抽簽問(wèn)題） 箱中裝有 a個(gè)白球和 b個(gè)黑球 ,現(xiàn)從中任意地取球 ,每次取一球 ,取后不放回 ,求第s (1≤s≤a+b)次 取出的球是白球的概率 . 解 設(shè)想把取出的球依次放在排列成一直線的 a+b個(gè)位置上 , 則箱內(nèi) a+b個(gè)球中的任一個(gè)放在 第 s個(gè)位置都是等可能的，因此第 s個(gè)位置上共有 a+b中可能， 而在該位置放白球則有 a種可能性。 對(duì)任意的 ?A F , 稱)( AP 為事件 A 的 概率 . 注 :在歷史上 ,對(duì)概率的理解一直存在著各種不同看法 ,比如有從頻率的角度來(lái)理解 ,也有從主觀信念的角度來(lái)理解的 (如貝葉斯學(xué)派的主觀概率 ),等等 ,但是不論從哪個(gè)角度來(lái)理解概率這個(gè)概念 ,大家都承認(rèn)上面三條是概率必須滿足的最基本的性質(zhì) .這三條性質(zhì)就像公理一樣已被數(shù)學(xué)家們所普遍接受 .因此 ,上面的定義又被稱為 概率的公理化定義 . 概率的性質(zhì) 性質(zhì) ,即 0)( ??P 證 令 ),2,1( ??? nAn ?則 ?????1iiA??ji AA且 ?? ?????????111)()()()(iiiii PAPAPP ?? ?于是由可列可加性，有 由于 0)( ??P 故由上式知 0)( ??P 性質(zhì) 2. （ 有限可加性 ）若 是一組兩兩不相容的事件 ,則有 nAAA , 21 ? )2( ?n)()(11ininii APAP ?????證 利用可列可加性及性質(zhì) 1,令 ),2,1( ????? nniA i ????????????niiiiiinii APAPAPAP1111)()()()( ??則有 性質(zhì) 3 )(1)( APAP ?? 證 由于 ,A A S A A ???再由概率的規(guī)范性和有限可加性 ,得 1 ( ) ( ) ( ) ( )P S P A A P A P A? ? ? ?移項(xiàng)后即證 . 性質(zhì) 4 設(shè) ,則有 BA ?)()()( APBPABP ???證 由 ()B A B A?? ??? )( ABA 及 知 )()()( APABPBP ???移項(xiàng)后即得 )()()( APBPABP ??? 由概率的非負(fù)性，即得下面的推論 注： 一般的，有 )()()( ABPBPABP ???)()( APBP ?推論（單調(diào)性） 若 ,則有 BA ?BAB A AB 由 , 可得 AS? ( ) 1PA ?例 1. 4 .1 口袋中有編號(hào) 1,2 , ? , n 的 n 個(gè)球，從中有放回地任取 m 次，求取出的 m 個(gè)球的最大號(hào)碼為k 的概率． 解 設(shè) Ak={取出的 m個(gè)球的最大號(hào)碼為 k} B i ={ 取出的 m 個(gè)球的最大號(hào)碼 不大于 i } ， i = 1 ,2 , ? , n 則有 ()mi miPBn?又 因?yàn)?1k k kA B B ??? ， 且 1kkBB? ? ， 由性質(zhì) 1. 3 .4 ， 得 11( ) ( ) ( ) ( )k k k k kP A P B B P B P B??? ? ? ?( 1 )mmmkkn??? 概率論所討論的問(wèn)題中 ,有一類問(wèn)題最簡(jiǎn)單直觀 ,這類問(wèn)題所涉及到的試驗(yàn)具有下面兩個(gè)特征： 1)試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè) 。另一個(gè)子集是空集 φ ,它不包含任何元素 ,因此在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生 ,我們將其稱為 不可能事件 . 事件間的關(guān)系與運(yùn)算 由于事件是樣本空間的一個(gè)子集 ,因此本節(jié)所涉及到的 事件之間的關(guān)系與運(yùn)算就是集合間的關(guān)系與運(yùn)算 ,但是事件之間的關(guān)系與運(yùn)算需要一套特別的語(yǔ)言來(lái)描述 ,并且熟悉這種特別的語(yǔ)言對(duì)本章及以后的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用 . 這一部分的重點(diǎn)就是能正確地將集合論中的符號(hào)翻譯成概率論的語(yǔ)言 . 1) 符號(hào) : BA ?集合論中的含義 : 若 ω ∈ A,則 ω∈ B 概率論中的含義 : 若 A發(fā)生 ,則 B發(fā)生 . 這時(shí)我們稱 事件 B包含了事件 A. 若 同時(shí) ,則稱 A與 B相等 ,記為 A=B. BA ? AB ?S B A 2) 符號(hào) : AB集合論中的含義 : AB? ? ω∈ A或 ω∈ B ?概率論中的含義 : 事件 發(fā)生 AB ? 事件 A發(fā)生或事件 B發(fā)生 ? 事件 A與事件 B至少有一個(gè)發(fā)生 將 AB 稱為 BA , 的 和事件 , 它表示“ BA 與 至少有一個(gè)發(fā)生” . 這一新事件 . S B A BA?將“?nkkA1?” 稱為 n 個(gè) 事件 A 1 , A 2 , ? A n 的 和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n 至少有一個(gè)發(fā)生 ”這一事件； 將“??? 1kkA” 稱為 可列個(gè)事件 A 1 , A 2 , ? A n ? 的和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n ? 至少有一個(gè)發(fā)生 ”這一事件 . 進(jìn)一步推廣 3)符號(hào) : 或 AB AB集合論中的含義 : AB? ?? ?概率論中的含義 : 事件 發(fā)生 AB??A 發(fā)生且 B 發(fā)生 A? ? 且 B? ? BA, 同時(shí)發(fā)生 . 將 AB 或 AB 稱為 BA , 的 積事件 , 它表示“ 事件 A與 B 同時(shí)發(fā)生 ”這一事件 . S A B AB 進(jìn)一步推廣 稱 ?nkkA1?為 n 個(gè) 事件 A 1 ,A 2 , ? A n 的積事件 ，它表示“ A 1 ,A 2 , ? A n 同時(shí)發(fā)生 ”這一事件； 稱 ??? 1kkA為 可列個(gè)事件 A 1 ,A 2 , ? A n ? 的積事件 ，它“ 表示 A 1 ,A 2 , ? A n ? 同時(shí)發(fā)生 ”這一事件 . 例 設(shè)有 n座橋梁如下圖所示串聯(lián)而成 1 2