【正文】 解 設(shè) ?iA{ 箱中恰好有 i 只殘次品 } ， 2,1,0?i ，B = { 顧客買下該箱玻璃杯 } ， 則210 , AAA構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分， 由題意知 ，有 )( 0 ?AP )()( 21 ?? APAP并且 1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910 ?????CCABPCCABPABP由全概率公式，有 ??????????309 4 )|()()(iii ABPAPBP)( 0 ?AP )()( 21 ?? APAP并且 1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910 ?????CCABPCCABPABP證明 由條件概率的定義和全概率公式得 ????njjjiiiiBPBAPBPBAPAPABPABP1)()|()()|()()()|(貝葉斯公式 性質(zhì) 1. 4 . 3 （貝葉斯公式） 設(shè)}:{ IiB i ?為 S 的一個(gè)劃分，且 0)( ?AP ， 0)( ?iBP )( Ii ?，則有 ???Ijjjiii BPBAPBPBAPABP)()|()()|()|( 例 1. 4 .8 某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的．根據(jù)以 往的記錄有以下的數(shù)據(jù)． 元件制造廠 次品率 提供晶體管的份額 1 0 . 0 2 0 . 1 5 2 0 . 0 1 0 . 8 0 3 0 . 0 3 0 . 0 5 設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中 是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志．（ 1 ）在倉庫中隨機(jī)地取一只晶體管 ，求它是次品的概率．（ 2 ）在倉庫中隨機(jī)地取一只 晶體管，若已知取到的是次品， 為分析此次品出自何廠，需求出此次品是由第 1 、 2 、 3 家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少 ， 試求這些概率． 解 設(shè) A={取到的是一只次品 } Bi={所取產(chǎn)品是由第 i家工廠提供｝ 3,2,1?i顯然， B1,B2,B3是樣本空間的一個(gè)劃分 (1)由全概率公式 )()|()()|()()|()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP ??? ???????(2)由貝葉斯公式 1 2 )( )()|()|( 111 ???? AP BPBAPABP同理 )|(,)|(32 ?? ABPABP 例 ,當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí) ,產(chǎn)品的合格率為 90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí) ,其合格率為 30%.每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí) ,機(jī)器調(diào)整得良好的概率為 75%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí) ,機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少 ？ 解 設(shè) A={產(chǎn)品是合格品 }, B={機(jī)器調(diào)整得良好 } )(,)(,)|(,)|( ???? BPBPBAPBAP由題意 顯然 ， BB , 構(gòu)成了必然事件的一個(gè)劃分 ， 由貝葉斯公式 )()|()()|()()|()|(????????BPBAPBPBAPBPBAPABP這樣我們就有了兩個(gè)概率，一個(gè)是 )( ?BP ，這是在試驗(yàn)前根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析得到的，稱為 先驗(yàn)概率 ；另一個(gè)是 )|( ?ABP ，這是在通過試驗(yàn)得到信息（即早上第一件產(chǎn)品是合格品）后重新加以修正的概率，稱為 后驗(yàn)概率 ． 機(jī)器本身是否處于調(diào)整得良好的狀態(tài)是一個(gè)客觀給定的事實(shí)，但是由于我們所獲得的經(jīng)驗(yàn)信息的不同，而對(duì)其處于什么樣狀態(tài)的概率得到了不同的數(shù)值，即 先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率，可以認(rèn)為它們反映了試驗(yàn)前后人們對(duì)機(jī)器狀態(tài)的一種主觀信念． 先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率 例 1. 4 . 1 0 根據(jù)以往的臨床記錄 , C A T （計(jì)算機(jī)輔助層次掃描）作為診斷精神分裂癥的試驗(yàn)具有如下的效果 : 若以 A 表示事件“掃描顯示被診斷者為腦萎縮” , 以 C 表示事件“被診斷者患有精神分裂癥” , 則有.)|(,)|( ?? CAPCAP現(xiàn)在已知在美國精神分裂癥的發(fā)病率 為 1 . 5 % , 即)( ?CP, 試求在掃描顯示被診斷者為腦萎縮的條件下 , 該診斷者患有精神分裂癥的條件概率)|( ACP. 解 由貝葉斯公式 ,有 )()|()()|()()|()|(CPCAPCPCAPCPCAPACP??1 8 9 8 1 0 1 ?????? 一個(gè)不懂概率的人可能會(huì)這樣推理， 由于沒患精神分裂癥的人被 CAT掃描診斷為腦萎縮的機(jī)會(huì)才2%，因此如果某人已經(jīng)被 CAT掃描診斷為腦萎縮，那么他患有精神分裂癥的概率應(yīng)該很大。由乘法公式)()|()( APABPABP ?可知 ， 只要加強(qiáng)鍛煉 ( 主觀努力 ) 并且衛(wèi)生部門做好預(yù)防工作 ( 客觀條件 良好 ) ， 那么感染禽流感病毒并導(dǎo)致死亡的概率就會(huì)很小。 解 用 A ， B ， C 分別表示取出的是一，二，三等品三個(gè)事件，則所求概率為 )(1)()()()|(CPACAPCPCAPCAP????32)(1)()( ??????CPACPAP其中利用到 ??AC ，即 A 與 C 互斥。 條件概率 在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到求在事件 A 已經(jīng)出現(xiàn)的條件下，事件B 的概率 ．這時(shí)由于附加了條件，它與事件 B 的概率 )( BP 的意義是不 同 的 ． 我 們 把 這 概 率 記 為)|( ABP ． 問題： 一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，已知其中有一個(gè)是女孩，問另一個(gè)也是女孩的概率是多少？ 分析 ： 一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子的所有可能結(jié)果為 ： ( ) , ( ) , ( ) , ( )S ?｛ 男 男 男 女 女 男 女 女 ｝設(shè) BA , 分別表示事件“其中有一個(gè)是女孩”和“另一個(gè)也是女孩”，則有 )},(),(),{( 女女男女女男?A )},{( 女女?B 31)|( ?ABP所以，有 在該例中，如果不知道事件 A已經(jīng)發(fā)生的信息，那么事件 B發(fā)生的概率為 )|(41)( ABPBP ??這表明，事件之間是存在著一定的相關(guān)性的． )|( ABP 與 )( BP 不相等的原因在于，事件 A 的發(fā)生改變了樣本空間，由原來的 S 縮減為ASA ?． 1 1 4 ( )( | )3 3 4 ( )P ABP B APA? ? ?上述條件概率還可以寫成 )|( ABP 可以理解為 )( ABP 在 )( AP 中的“比重” ． 設(shè)An，Bn與ABn分別為事件 BA , 與 AB 包含的基本事件數(shù)，并設(shè)樣本空間 S 所含的基本事件總數(shù)為n ，則 )|( ABP 可用 A 已經(jīng)發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的相對(duì)比例來表達(dá)，即 )|( ABP 應(yīng)為AABnn ，而 古典概型的情形 )()(//APABPnnnnnnAABAB ?? 這個(gè)關(guān)系具有一般性，即 條件概率是兩個(gè)無條件概率之商 。 0 , 1 , 2 , ,kn?續(xù)例四 因?yàn)? 00{ } { } 1n nkkP X k P X k???? ? ? ? ????? ?0{}nkX k S???所以 即 0nkM N M Nk n k n??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??或 0nk n k nM N M NkC C C?????m i n { , }r M n?令 則 0rkM N M Nk n k n??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 例 12次來訪，已知所有這 12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？ 解 假設(shè)接待時(shí)間是沒有規(guī)定的，那么各來訪者在一周7日中去接待站是等可能的，均為 1/7。 等可能概型 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間12{ , , }nS ? ? ??，},{ 21 kiiiA ??? ?? ，則有 () kAPA nS?? 所 包 含 的 基 本 事 件 數(shù)中 基 本 事 件 總 數(shù) 因此 ,要計(jì)算任何一個(gè)事件的概率 ,關(guān)鍵是要計(jì)算樣本空間所含的基本事件數(shù) n和該事件所含的基本事件數(shù) k. 計(jì)算公式 例 將一枚硬幣拋擲三次 .(1)設(shè)事件 A1為“恰有一次出現(xiàn)正面” ,求 P(A1)。反之 ,頻率小則發(fā)生的可能性也小 . .比如當(dāng)拋投硬幣的次數(shù)不同時(shí)得到的頻率常常會(huì)不一樣 ,事實(shí)上 ,有時(shí)甚至投同樣多次硬幣可能也會(huì)得到不同的頻率 ,這樣就使頻率缺乏科學(xué)度量單位所具有的客觀性 . ,頻率又具有 穩(wěn)定性 ，它 反映了概率的客觀性 . 頻率具有如下性質(zhì) : 1） 非負(fù)性 任意事件 A的頻率非負(fù) : 0)( ?Afn2） 規(guī)范性 必然事件 S 的頻率為 1: ( ) 1nfS ?3） 有限可加性 若 是一組兩兩不相容的事件 ,則有 mAAA , 21 ?)()(11iminmiin AfAf ????? 因?yàn)?頻率的本質(zhì)是概率 ,因此頻率所滿足的這三條性質(zhì)同時(shí)也必須是概率具有的性質(zhì) . 做適當(dāng)?shù)耐茝V后可以得到概率的公理化定義 . 概率的公理化定義 1933年 ，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu) ，給出了概率的嚴(yán)格定義 ，使概率論有了迅速的發(fā)展 . 概率的公理化定義 設(shè) E 為隨機(jī)試驗(yàn) , S 是相應(yīng)的樣本空間 、 F 為 所有 事件 組成 的 集合 , 對(duì)于F 中的每一個(gè)事件 A , 分別賦予一個(gè)實(shí)數(shù) , 記為)( AP , 如果集合函數(shù) )(?P 滿足下列條件： 1 ）非負(fù)性： 對(duì)于每一個(gè)事件 A ? F , 0)( ?AP 2 ） 規(guī)范 性： ( ) 1PS ? 3 ）可列可加性： 若 ?? nAAA , 21 是一組兩兩不相容的事件 , 則有 ??????11)()(iiii APAP ?則我們稱 P 為 F 上的 概率 。 隨機(jī)事件 把樣本空間的某個(gè)子集 (具有某種特征的樣本點(diǎn)組成的子集 )稱為“ 隨機(jī)事件 ” ,簡稱為“ 事件 ” . 以 E5為例 ,如果電視機(jī)的壽命超過 10000個(gè)小時(shí)被認(rèn)為是合格品 ,則“ 所抽取的電視機(jī)是合格品 ”這一事件可以用 S5的子集 A={t: t 10000}來表示 . 例 2中 , “至少出現(xiàn)一次正面 ”這一事件可以表示成 : ? ?HHTHHTB ,? 一般地 ,我們用英文字母表中前面的大寫字母 (可以帶下標(biāo) )表示事件 ,如用 A, B, C, A1, B3, D17等 . 設(shè) A為隨機(jī)事件 ,如果試驗(yàn)的結(jié)果 ω 屬于 A,則稱事件A發(fā)生 .即 試驗(yàn)的結(jié)果 A??事件 A發(fā)生 ? 樣本空間有兩個(gè)特殊的子集 ,一個(gè)是 S本身 ,由于它包含了所有可能的結(jié)果 ,所以在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的 ,我們將其稱為 必然事件 。 E3:拋一枚硬幣三次 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。 基本概念 隨機(jī)試驗(yàn)與事件 如果一個(gè)試驗(yàn)具有如下的共同特點(diǎn) : (1)可在相同的條件下 重復(fù)進(jìn)行 。 實(shí)例 8 硬幣落地后雖然結(jié)果已經(jīng)確定 ,但是在觀察之前你還是無法確定硬幣是正面還是反面朝上 。摩爾根 2048 1061 莆 豐 4040 2048 皮爾遜 12022 6019 皮爾遜 24000 12022 維 尼 30000 14994 出生年份 新生兒總數(shù) n 新生兒總數(shù) 頻率 (%) 男孩 數(shù) m1 女孩 數(shù) m2 男孩 m1/n 女孩 m2/n 1977 1978 1979 1980 1981 1982 3670 4250 4056 5844 6344 7231 1883 2177 2138 2955 3271 3722 1787 2073 1917 2889 3073 3509 總計(jì) 31394 16146 15248 3. 何為隨機(jī)事件 ? 隨機(jī)事件有什么特點(diǎn) ? 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件 . 例：明天的最高氣溫小于 30攝氏度。 概率論的研究對(duì)象 隨機(jī)