【正文】 兩個(gè)結(jié)論 .)2(,)2(,.1 21個(gè)事件也是相互獨(dú)立其中任意則相互獨(dú)立若事件　　　nkknAAA n???? . ,)2(,.22121個(gè)事件仍相互獨(dú)立所得的立事件們的對(duì)中任意多個(gè)事件換成它則將相互獨(dú)立個(gè)事件若　　　nAAAnAAAnnn?? ?例 1. 5 .3 兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊 , 設(shè) 甲射中目標(biāo)的概率為 0 . 6 , 乙射中目標(biāo)的概率為 0 . 5 , (1 ) 求目標(biāo)被擊中的概率是多少 。這就是下面的定義。另一個(gè)子集是空集 φ ,它不包含任何元素 ,因此在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生 ,我們將其稱為 不可能事件 . 事件間的關(guān)系與運(yùn)算 由于事件是樣本空間的一個(gè)子集 ,因此本節(jié)所涉及到的 事件之間的關(guān)系與運(yùn)算就是集合間的關(guān)系與運(yùn)算 ,但是事件之間的關(guān)系與運(yùn)算需要一套特別的語(yǔ)言來(lái)描述 ,并且熟悉這種特別的語(yǔ)言對(duì)本章及以后的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用 . 這一部分的重點(diǎn)就是能正確地將集合論中的符號(hào)翻譯成概率論的語(yǔ)言 . 1) 符號(hào) : BA ?集合論中的含義 : 若 ω ∈ A,則 ω∈ B 概率論中的含義 : 若 A發(fā)生 ,則 B發(fā)生 . 這時(shí)我們稱 事件 B包含了事件 A. 若 同時(shí) ,則稱 A與 B相等 ,記為 A=B. BA ? AB ?S B A 2) 符號(hào) : AB集合論中的含義 : AB? ? ω∈ A或 ω∈ B ?概率論中的含義 : 事件 發(fā)生 AB ? 事件 A發(fā)生或事件 B發(fā)生 ? 事件 A與事件 B至少有一個(gè)發(fā)生 將 AB 稱為 BA , 的 和事件 , 它表示“ BA 與 至少有一個(gè)發(fā)生” . 這一新事件 . S B A BA?將“?nkkA1?” 稱為 n 個(gè) 事件 A 1 , A 2 , ? A n 的 和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n 至少有一個(gè)發(fā)生 ”這一事件； 將“??? 1kkA” 稱為 可列個(gè)事件 A 1 , A 2 , ? A n ? 的和事件 , 它表示“ A 1 , A 2 , ? A n ? 至少有一個(gè)發(fā)生 ”這一事件 . 進(jìn)一步推廣 3)符號(hào) : 或 AB AB集合論中的含義 : AB? ?? ?概率論中的含義 : 事件 發(fā)生 AB??A 發(fā)生且 B 發(fā)生 A? ? 且 B? ? BA, 同時(shí)發(fā)生 . 將 AB 或 AB 稱為 BA , 的 積事件 , 它表示“ 事件 A與 B 同時(shí)發(fā)生 ”這一事件 . S A B AB 進(jìn)一步推廣 稱 ?nkkA1?為 n 個(gè) 事件 A 1 ,A 2 , ? A n 的積事件 ，它表示“ A 1 ,A 2 , ? A n 同時(shí)發(fā)生 ”這一事件； 稱 ??? 1kkA為 可列個(gè)事件 A 1 ,A 2 , ? A n ? 的積事件 ，它“ 表示 A 1 ,A 2 , ? A n ? 同時(shí)發(fā)生 ”這一事件 . 例 設(shè)有 n座橋梁如下圖所示串聯(lián)而成 1 2 n L R 用 A表示事件“ L至 R是通路”， Ai表示“第 i座橋梁是暢通的” (i=1,2,…, n),則有 ?niiAA1?? 如果這 n座橋梁如下圖所示是并聯(lián)而成的， 1 2 n L R 則有 ?niiAA1??4) 符號(hào) : BA ?集合論中的含義 : AB? ?? ?概率論中的含義 : BA ? 發(fā)生 ? A 發(fā)生但 B 不發(fā)生 . A? ? 且 B? ? 稱 BA ? 為 A 與 B 的 差事件 , 它表示“ 事件 A 發(fā)生而事件 B 不發(fā)生 ”這一新事件 . S A B B?S A B BA?A B A A B???5) 符號(hào) : ??? BA或 ??AB集合論中的含義 : 概率論中的含義 : BA 與不相交即沒(méi)有公共部分 ??AB ?BA 與 同時(shí)發(fā)生是不可能的 ??AB ?一般地，如果 ??AB ，我們就稱事件 BA 與 互不相容 或 互斥 , 它表示 事件 A 與 B 不可能同時(shí)發(fā)生 。 特點(diǎn)： 首先，隨機(jī)事件的發(fā)生具有偶然性 , 在一次試驗(yàn)中，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生 . 其次，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的發(fā)生具有某種規(guī)律性 . 4. 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是人為的嗎 ? 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的 , 就好比一根木棒有長(zhǎng)度，一塊土地有面積一樣 . 今后我們將用 概率 來(lái)度量隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小 . 否！ 5. 天有不測(cè)風(fēng)云 和 天氣可以預(yù)報(bào) 有矛盾嗎 ? 無(wú) ! “天氣可以預(yù)報(bào) ” 指的是研究者從大量的氣象資料來(lái)探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性 . “天有不測(cè)風(fēng)云 ” 指的是隨機(jī)現(xiàn)象一次實(shí)現(xiàn)的偶然性 . 從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機(jī)的，但多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律 . 小 結(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性一面，也有其必然性一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 . 小 結(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象常常表現(xiàn)出這樣或那樣的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這正是概率論所研究的對(duì)象 . 下面我們開(kāi)始學(xué)習(xí)， 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是以數(shù)量化方法來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科 兩部分內(nèi)容： 、定理及公式（重點(diǎn)） 研究怎樣從大量的隨機(jī)的看 似雜亂無(wú)章的數(shù)字中獲得統(tǒng)計(jì)結(jié)果 學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的實(shí)用性 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)有廣泛應(yīng)用 (1).金融、信貸、醫(yī)療保險(xiǎn)等行業(yè)策略制定； (2).流水線上產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)與質(zhì)量控制； (3).服務(wù)性行業(yè)中服務(wù)設(shè)施及服務(wù)員配置； (4).生物醫(yī)學(xué)中病理試驗(yàn)與藥理試驗(yàn)； (5).食品保質(zhì)期、彈藥貯存分析，電器與電 子產(chǎn)品壽命分析； 學(xué)習(xí)方法 ? 轉(zhuǎn)變思維模式：最重要 －不變 —— 隨機(jī)變動(dòng) ? 多思考： －每次課會(huì)給大家思考、練習(xí)的時(shí)間 ? 勤做練習(xí)： 關(guān)于老師 經(jīng)濟(jì)學(xué)院：趙偉 郵箱： 電話： 18980409040 第一章 隨機(jī)事件與概率 現(xiàn)實(shí)世界中存在的兩類現(xiàn)象 一 .確定性現(xiàn)象 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象 . “太陽(yáng)每天從東邊升起” , “同性電荷必然互斥”。 (3)試驗(yàn)之前 不能確定 哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn) . 則稱滿足該試驗(yàn)為 隨機(jī)試驗(yàn) .簡(jiǎn)稱為 試驗(yàn) . 定義 隨機(jī)試驗(yàn) E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E的 樣本空間 , 記為 S={ω}, S的元素 ω,即 E的一個(gè)可能的 結(jié)果 ,稱為 樣本點(diǎn) 或基本事件 . E1:拋一枚硬幣 ,觀察正面 H反面 T的出現(xiàn)情況 。設(shè) A={第 s次取出的是白球 },則所求的概率為 () aPA ab? ? 該例的結(jié)果表明 ,抽簽結(jié)果是與抽簽順序無(wú)關(guān)的。第一次比賽從中任取兩個(gè)球，用后放回；第二次比賽時(shí)再?gòu)闹腥稳汕?。試求顧客買下該箱的概率 ． 解 設(shè) ?iA{ 箱中恰好有 i 只殘次品 } ， 2,1,0?i ，B = { 顧客買下該箱玻璃杯 } ， 則210 , AAA構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分， 由題意知 ，有 )( 0 ?AP )()( 21 ?? APAP并且 1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910 ?????CCABPCCABPABP由全概率公式，有 ??????????309 4 )|()()(iii ABPAPBP)( 0 ?AP )()( 21 ?? APAP并且 1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910 ?????CCABPCCABPABP證明 由條件概率的定義和全概率公式得 ????njjjiiiiBPBAPBPBAPAPABPABP1)()|()()|()()()|(貝葉斯公式 性質(zhì) 1. 4 . 3 （貝葉斯公式） 設(shè)}:{ IiB i ?為 S 的一個(gè)劃分，且 0)( ?AP ， 0)( ?iBP )( Ii ?，則有 ???Ijjjiii BPBAPBPBAPABP)()|()()|()|( 例 1. 4 .8 某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的．根據(jù)以 往的記錄有以下的數(shù)據(jù)． 元件制造廠 次品率 提供晶體管的份額 1 0 . 0 2 0 . 1 5 2 0 . 0 1 0 . 8 0 3 0 . 0 3 0 . 0 5 設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中 是均勻混合的，且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志．（ 1 ）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只晶體管 ，求它是次品的概率．（ 2 ）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只 晶體管，若已知取到的是次品， 為分析此次品出自何廠，需求出此次品是由第 1 、 2 、 3 家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少 ， 試求這些概率． 解 設(shè) A={取到的是一只次品 } Bi={所取產(chǎn)品是由第 i家工廠提供｝ 3,2,1?i顯然， B1,B2,B3是樣本空間的一個(gè)劃分 (1)由全概率公式 )()|()()|()()|()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP ??? ???????(2)由貝葉斯公式 1 2 )( )()|()|( 111 ???? AP BPBAPABP同理 )|(,)|(32 ?? ABPABP 例 ,當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí) ,產(chǎn)品的合格率為 90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí) ,其合格率為 30%.每天早上機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí) ,機(jī)器調(diào)整得良好的概率為 75%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí) ,機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少 ？ 解 設(shè) A={產(chǎn)品是合格品 }, B={機(jī)器調(diào)整得良好 } )(,)(,)|(,)|( ???? BPBPBAPBAP由題意 顯然 ， BB , 構(gòu)成了必然事件的一個(gè)劃分 ， 由貝葉斯公式 )()|()()|()()|()|(????????BPBAPBPBAPBPBAPABP這樣我們就有了兩個(gè)概率，一個(gè)是 )( ?BP ，這是在試驗(yàn)前根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析得到的，稱為 先驗(yàn)概率 ；另一個(gè)是 )|( ?ABP ，這是在通過(guò)試驗(yàn)得到信息（即早上第一件產(chǎn)品是合格品）后重新加以修正的概率，稱為 后驗(yàn)概率 ． 機(jī)器本身是否處于調(diào)整得良好的狀態(tài)是一個(gè)客觀給定的事實(shí)，但是由于我們所獲得的經(jīng)驗(yàn)信息的不同，而對(duì)其處于什么樣狀態(tài)的概率得到了不同的數(shù)值，即 先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率，可以認(rèn)為它們反映了試驗(yàn)前后人們對(duì)機(jī)器狀態(tài)的一種主觀信念． 先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率 例 1. 4 . 1 0 根據(jù)以往的臨床記錄 , C A T （計(jì)算機(jī)輔助層次掃描）作為診斷精神分裂癥的試驗(yàn)具有如下的效果 : 若以 A 表示事件“掃描顯示被診斷者為腦萎縮” , 以 C 表示事件“被診斷者患有精神分裂癥” , 則有.)|(,)|( ?? CAPCAP現(xiàn)在已知在美國(guó)精神分裂癥的發(fā)病率 為 1 . 5 % , 即)( ?CP, 試求在掃描顯示被診斷者為腦萎縮的條件下 , 該診斷者患有精神分裂癥的條件概率)|( ACP. 解 由貝葉斯公式 ,有 )()|()()|()()|()|(CPCAPCPCAPCPCAPACP??1 8 9 8 1 0 1 ?????? 一個(gè)不懂概率的人可能會(huì)這樣推理， 由于沒(méi)患精神分裂癥的人被 CAT掃描診斷為腦萎縮的機(jī)會(huì)才2%，因此如果某人已經(jīng)被 CAT掃描診斷為腦萎縮，那么他患有精神分裂癥的概率應(yīng)該很大。 0 , 1 , 2 , ,kn?續(xù)例四 因?yàn)? 00{ } { } 1n nkkP X k P X k???? ? ? ? ????? ?0{}nkX k S???所以 即 0nkM N M Nk n k n??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??或 0nk n k nM N M NkC C C?????m i n { , }r M n?令 則 0rkM N M Nk