【正文】 (2 ) 已知目標被擊中 , 則甲擊中目標的概率是多少 ? 解 設 A , B 分別表示“甲擊中目標”和“乙擊中目標” , 則 AB 表示“目標被擊中” . (1) 由獨立性和加法公式 ,所求的概率為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A P B? ? ?0 . 6 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 8? ? ? ? ?(2) 所求的概率為 ( ( ) ) ( )( | )( ) ( )P A A B P AP A A BP A B P A B??0 .6 0 .7 50 .8?? 例 ,其中 1,2,3,4為電子元件 .設各電子元件的工作是相互獨立的 ,且每一電子元件正常工作概率均為 L至 R的系統(tǒng)正常工作的概率 . L 1 23 4R 4242243214321432143212)()()()()()()()()()()()(pppppAPAPAPAPAPAPAPAPAAAAPAAPAAPAP???????????解 設 {?iA 第 i 個元件正常工作 } ， i = 1,2 ,3, 4 ， A ={ L 至 R 是通路 } ，于是 4321 AAAAA ??利用 4321 , AAAA 的獨立性 和概率的加法公式 ， 有 例 設每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是 ,若 10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊 ,問擊落飛機的概率是多少 ? 解 設 {?iA 第 i 名射手擊落飛機 } ， i = 1,2 , ? ,10 ，B ={ 飛機被擊落 } ，則有 1021 AAAB ?????由事件的獨立性可得 )()( 1021 AAAPBP ????? )(1 1021 AAAP ??????)(1 1021 AAAP ??? )()()(1 1021 APAPAP ???.)(1 10 ???例 1. 5 . 6 設隨機試驗中某一事件 A 出現(xiàn)的概率為0?? , 當我們不斷獨立重復做該試驗時，求 A 遲早會出現(xiàn)的概率 . 證 記 則 ??)( kAP ?,2,1?k由獨立性知 , 在前 n 次試驗中 , A 均不出現(xiàn)的概率為 nnn APAPAPAAAP )1()()()()( 2121 ???? ??故在前 n 次試驗中 , A 至少出現(xiàn)一次的概率為 1)1(1)(1 21 ????? nkAAAP ?? )( ??n即 A 遲早會出現(xiàn)的概率為 1. AA k {? 于第 k 次試驗中出現(xiàn) } ?,2,1?k 此例說明 ,雖然小概率事件在一次試驗中不太可能發(fā)生 ,但在不斷重復該試驗時 ,它遲早會發(fā)生 .人們常說的 “ 智者千慮 ,必有一失 ” , “多行不義必自斃 ” 等講的就是這個道理 . 因此 ,在大數(shù)次的試驗中不能忽略小概率事件 ,這或許就是 “ 不怕一萬，就怕萬一 ”的含義所在 . 小概率事件遲早會出現(xiàn) 伯努利概型 下面我們用事件的獨立性來討論伯努利概型這一在經(jīng)典概率論中占據(jù)重要地位的模型 . 定義 如果試驗 E 只有兩個可能的結(jié)果： A 與A , 并且 qpAPpAP ???? 1)(,)( , 其中 10 ?? p .把 E 獨立重復地做 n 次的試驗構成了一個新試驗 , 我們把這個新試驗稱作 n 重 伯努利試驗 , 有時簡稱為伯努利試驗或 伯努利概型 , 并記作 nE . 例如 , 每個同學到圖書館去只有兩種結(jié)果： 借書 或不借書 . 如果每個同學借書的概率為p, 并且每個同學是否借書是相互獨立的 , 那么觀察n個同學到圖書館的借書情況就構成一個伯努利試驗 . 又如 , 人壽保險公司做人壽保險 , 一種最簡單的情形是 , 只有受保人當年死亡 , 保險公司才付給受保家庭一定的賠償金 . 這樣 , 這個隨機試驗只有兩種結(jié)果：“ 受保人死亡 ”和“ 受保人未死亡 ” . 每個受保人是否死亡顯然是相互獨立的 , 于是 n 個人受保問題就是一個 n 重伯努利試驗 . 伯努利試驗是一種很基本的概率模型． 一個 n重伯努利試驗的結(jié)果或基本事件可以記作 ),( 21 n???? ??其中 i? （ ni ??1 ）表示第 i 次試驗的結(jié)果，它或者為 A或者為 A ． 如果 i? （ ni ??1 ）中恰好有 k 個為 A ， 則必有 kn ?個為 A ， 于是由獨立性知 knk qpP ??)(?{kB ? 事件 A 恰好出現(xiàn) k 次｝ ， nk ??0 ． 設 knkk qpknBP ??????????)( nk ??0則有如下的重要公式 例 1. 5 . 7 在 三 次獨立試驗中，事件 A 至少出現(xiàn)一次的概率為 0 . 5 9 0 4 ，求事件 A 恰好 出現(xiàn)一次的概率 ． 解 設 pAP ?)( ， kB = { 在三次獨立試驗中 事件 A恰好出現(xiàn) k 次 } ，則有 kkk ppkBP??????????? 3)1(3)( 30 ?? k故由題意，至少出現(xiàn)一次的概率為 5 9 0 )1(1)(1)( 300 ?????? pBPBP解得 ?p ，從而 事件 A 出現(xiàn)一次的概率 為 3 8 ))((3)( 21 ??BP例 1. 5 . 8 設某天到圖書館的人數(shù)恰好為 k ( 0?k ) 的概率為?? ?ekk!( )0?? ，每位到圖書館的人借書的概率為 p )10( ?? p ，且借書與否相互獨立，求借書的人數(shù)恰好為 r 的概率 證明 令kA={ 到圖書館的人數(shù)恰好為 k } ， k = 0,1, 2 ? ,rB ?{ 借書的人數(shù)恰好為 r } ，則在kA已經(jīng)發(fā)生的條件下，觀察到圖書館的人是否借書相當于做了一個 k 重伯努利試驗，所以有 ( 1 ) ,( | )0,r k rrkkp p k rP B A rkr?? ?? ??? ??? ? ??? ??顯然， ?, 210 AAA 構成了樣本空間的一個 劃分 ，所以由全概率公式 ， 有 ( 1 ) ,( | )0,r k rrkkp p k rP B A rkr?? ?? ??? ??? ? ??? ??0( ) ( | ) ( ) ( 1 ) !kr k rr k kk k rkP A P B A P A p p er k??????????? ? ???????????????rkrkrrkprep)!()]1([!)( ?? ?prprerper ep ??? ??????? ! )(!)( )1(1)用符號表達相關的事件； 2)找出事件之間的相互關系 ,并用符號表示； 3)利用概率的性質(zhì)或公式計算所求的概率 . 本章的基本解題步驟 例 1. 5 . 9 設試驗 E 為“同時拋兩枚 骰 子”，事件 A表示“出現(xiàn)的點數(shù)之和為 7 ”，事件 B 表示“出現(xiàn)的點數(shù)為 9 ”．現(xiàn)獨立重復做試驗 E ，問事件 A 在事件 B之前出現(xiàn)的概率是多少 ? 解 設 C ={ 事件 A 在事件 B 之前出現(xiàn) } ，kA ?{ 在第 k 次試驗中 A 出現(xiàn) } ，kB ?{ 在第 k 次試驗中 B 出現(xiàn) } ，kC ?{ 在第 k 次試驗中事件 A 與事件 B 均沒有出現(xiàn) } ， 1 , 2 ,k ? ， 則有 1()6kPA ?1()9kPB ?? ? 13( ) 1 ( ) ( ) 18k k k k kP C P A B P A P B? ? ? ? ?1, 2 ,k ?且 111kkkC C C A?????111kkkC C C A?????于是由獨立性，有 111( ) ( ) ( )kkkP C P C P A???? ?1113 1 1 118 6 6 1 ( 13 / 18 )35kk?????? ? ????????111( ) ( )kkkP C P C C A???? ? 補充例題 1 甲 、 乙 、 丙三人同時向同一飛機射擊 ，設擊中的概率分別為 , ,則飛機被擊落的概率為 ,如果有兩人擊中 ,則飛機被擊落的概率為 。 定義 設 A,B,C為三個事件，如果如下四個等式 ???????????)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABP則稱事件 A,B,C相互獨立 . 多個事件的相互獨立性 注 :定義中前面三個等式只說明這三個事件是 兩兩相互獨立 的 ,但是由此并不能將第四個等式推導出來 . 例 1. 5 .1 如果 將一枚硬幣拋擲兩次 , 觀察正面 H和反面 T 的出現(xiàn)情況 , 則此時樣 本空間為{ , , , }S H H H T T H T T? , 令 },{ HTHHA ? },{ THHHB ? },{ TTHHC ?則 }{ HHABCBCACAB ????故有 21)()()( ??? CPBPAP41)()()( ??? BCPACPABP但是 )()()(8141)( CPBPAPABCP ???所以 , CBA , 中任意兩個事件都是相互獨立的 , 但是事件 CBA , 并不相互獨立 . 當我們考慮多個事件之間是否相互獨立時 ,除了必須考慮任意兩事件之間的相互關系外 ,還要考慮到 多個事件的乘積對其它事件的影響 . 在 例 1 .5 .1 中 ， 雖然單獨一個事件 A 發(fā)生與否不會影響事件 C ， 同樣單獨一個事件 B 發(fā)生與否也不會影響事件 C ， 但是當 BA , 同時發(fā)生時卻會影響C ． 事實上 ， 由于 CHHAB ?? }{ ， 從而有 )(211)|( CPABCP ???定義 1. 5 .3 若 n 個事件nAAA , 21 ?滿足 )()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ?? ? )1,1( 21 niiink k ??????? ? 則稱nAAA , 21 ?相互獨立 . 注 :由定義要判定 n個事件是否相互獨立，需要驗證 1232?????????????????????????????? nnnnn n?個等式．在實際問題中 ,獨立性是根據(jù)實際意義來判斷的 ,然后利用獨立性來計算事件乘積的概率的 . 例 1. 5 .2 設 A , B , C 三事件相互獨立 , 試證 AB 與 C相互獨立 . 證明 因為 ( ( ) ) ( )P A B C P A C B C?( ) ( ) ( )P A C P B C P A B C? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P C P B P C P A P B P C? ? ?[ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )P A P B P A P B P C? ? ?( ) ( )P A B P C?所以 , AB 與 C 相互獨立 . 類似地還可推得 : AB 與 C 獨立 。但是如果在做CAT掃描之前，醫(yī)生通過聽其言觀其行就已經(jīng)有50%的把握將其診斷為精神分裂癥患者（即先驗概率為 ），那么此時如果通過 CAT掃描顯示為腦萎縮，則由貝葉斯公式，其患有精神分裂癥的后驗概率就達到了 %． 例 伊索寓言“狼來了”的貝葉斯分析 設 A={小孩說謊 }， B={小孩可信 }，不妨設村民過去對這個孩子的印象（先驗概率）為 ( ) ?( ) ?假設被認為是可信的孩子說謊的概率只有 10% ，而被認為不可信的孩子說謊的概率為 50% ，即 ( | ) A B ?( | ) A B ? 村民在第一次被騙（ A發(fā)生）以后，認為小孩可信程度（后驗概率）調(diào)整為 ( | ) ( )( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P A B P BP B AP A B P B P A B P B?? ? 于是村民認為小孩的可信程度從原來的 整為 ，即 信念的進一步調(diào)整 ( ) 0 . 4 4 4PB ? ( ) 0 .5 5 6PB ? 在此基礎上，如果孩子再一次撒謊，則村民對他的可信程度會進一步調(diào)整為 0 . 4 4 4 0 . 1( | ) 0 . 1 3 80 . 4 4 4 0 . 1 0 . 5 5 6 0 . 5P B A???? ? ? 問題： 如果這個孩子再喊“狼來了”，村民們