【正文】 (2 ) 已知目標(biāo)被擊中 , 則甲擊中目標(biāo)的概率是多少 ? 解 設(shè) A , B 分別表示“甲擊中目標(biāo)”和“乙擊中目標(biāo)” , 則 AB 表示“目標(biāo)被擊中” . (1) 由獨(dú)立性和加法公式 ,所求的概率為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A P B? ? ?0 . 6 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 8? ? ? ? ?(2) 所求的概率為 ( ( ) ) ( )( | )( ) ( )P A A B P AP A A BP A B P A B??0 .6 0 .7 50 .8?? 例 ,其中 1,2,3,4為電子元件 .設(shè)各電子元件的工作是相互獨(dú)立的 ,且每一電子元件正常工作概率均為 L至 R的系統(tǒng)正常工作的概率 . L 1 23 4R 4242243214321432143212)()()()()()()()()()()()(pppppAPAPAPAPAPAPAPAPAAAAPAAPAAPAP???????????解 設(shè) {?iA 第 i 個(gè)元件正常工作 } ， i = 1,2 ,3, 4 ， A ={ L 至 R 是通路 } ，于是 4321 AAAAA ??利用 4321 , AAAA 的獨(dú)立性 和概率的加法公式 ， 有 例 設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是 ,若 10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊 ,問(wèn)擊落飛機(jī)的概率是多少 ? 解 設(shè) {?iA 第 i 名射手擊落飛機(jī) } ， i = 1,2 , ? ,10 ，B ={ 飛機(jī)被擊落 } ，則有 1021 AAAB ?????由事件的獨(dú)立性可得 )()( 1021 AAAPBP ????? )(1 1021 AAAP ??????)(1 1021 AAAP ??? )()()(1 1021 APAPAP ???.)(1 10 ???例 1. 5 . 6 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中某一事件 A 出現(xiàn)的概率為0?? , 當(dāng)我們不斷獨(dú)立重復(fù)做該試驗(yàn)時(shí)，求 A 遲早會(huì)出現(xiàn)的概率 . 證 記 則 ??)( kAP ?,2,1?k由獨(dú)立性知 , 在前 n 次試驗(yàn)中 , A 均不出現(xiàn)的概率為 nnn APAPAPAAAP )1()()()()( 2121 ???? ??故在前 n 次試驗(yàn)中 , A 至少出現(xiàn)一次的概率為 1)1(1)(1 21 ????? nkAAAP ?? )( ??n即 A 遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為 1. AA k {? 于第 k 次試驗(yàn)中出現(xiàn) } ?,2,1?k 此例說(shuō)明 ,雖然小概率事件在一次試驗(yàn)中不太可能發(fā)生 ,但在不斷重復(fù)該試驗(yàn)時(shí) ,它遲早會(huì)發(fā)生 .人們常說(shuō)的 “ 智者千慮 ,必有一失 ” , “多行不義必自斃 ” 等講的就是這個(gè)道理 . 因此 ,在大數(shù)次的試驗(yàn)中不能忽略小概率事件 ,這或許就是 “ 不怕一萬(wàn)，就怕萬(wàn)一 ”的含義所在 . 小概率事件遲早會(huì)出現(xiàn) 伯努利概型 下面我們用事件的獨(dú)立性來(lái)討論伯努利概型這一在經(jīng)典概率論中占據(jù)重要地位的模型 . 定義 如果試驗(yàn) E 只有兩個(gè)可能的結(jié)果： A 與A , 并且 qpAPpAP ???? 1)(,)( , 其中 10 ?? p .把 E 獨(dú)立重復(fù)地做 n 次的試驗(yàn)構(gòu)成了一個(gè)新試驗(yàn) , 我們把這個(gè)新試驗(yàn)稱作 n 重 伯努利試驗(yàn) , 有時(shí)簡(jiǎn)稱為伯努利試驗(yàn)或 伯努利概型 , 并記作 nE . 例如 , 每個(gè)同學(xué)到圖書(shū)館去只有兩種結(jié)果： 借書(shū) 或不借書(shū) . 如果每個(gè)同學(xué)借書(shū)的概率為p, 并且每個(gè)同學(xué)是否借書(shū)是相互獨(dú)立的 , 那么觀察n個(gè)同學(xué)到圖書(shū)館的借書(shū)情況就構(gòu)成一個(gè)伯努利試驗(yàn) . 又如 , 人壽保險(xiǎn)公司做人壽保險(xiǎn) , 一種最簡(jiǎn)單的情形是 , 只有受保人當(dāng)年死亡 , 保險(xiǎn)公司才付給受保家庭一定的賠償金 . 這樣 , 這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：“ 受保人死亡 ”和“ 受保人未死亡 ” . 每個(gè)受保人是否死亡顯然是相互獨(dú)立的 , 于是 n 個(gè)人受保問(wèn)題就是一個(gè) n 重伯努利試驗(yàn) . 伯努利試驗(yàn)是一種很基本的概率模型． 一個(gè) n重伯努利試驗(yàn)的結(jié)果或基本事件可以記作 ),( 21 n???? ??其中 i? （ ni ??1 ）表示第 i 次試驗(yàn)的結(jié)果，它或者為 A或者為 A ． 如果 i? （ ni ??1 ）中恰好有 k 個(gè)為 A ， 則必有 kn ?個(gè)為 A ， 于是由獨(dú)立性知 knk qpP ??)(?{kB ? 事件 A 恰好出現(xiàn) k 次｝ ， nk ??0 ． 設(shè) knkk qpknBP ??????????)( nk ??0則有如下的重要公式 例 1. 5 . 7 在 三 次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件 A 至少出現(xiàn)一次的概率為 0 . 5 9 0 4 ，求事件 A 恰好 出現(xiàn)一次的概率 ． 解 設(shè) pAP ?)( ， kB = { 在三次獨(dú)立試驗(yàn)中 事件 A恰好出現(xiàn) k 次 } ，則有 kkk ppkBP??????????? 3)1(3)( 30 ?? k故由題意，至少出現(xiàn)一次的概率為 5 9 0 )1(1)(1)( 300 ?????? pBPBP解得 ?p ，從而 事件 A 出現(xiàn)一次的概率 為 3 8 ))((3)( 21 ??BP例 1. 5 . 8 設(shè)某天到圖書(shū)館的人數(shù)恰好為 k ( 0?k ) 的概率為?? ?ekk!( )0?? ，每位到圖書(shū)館的人借書(shū)的概率為 p )10( ?? p ，且借書(shū)與否相互獨(dú)立，求借書(shū)的人數(shù)恰好為 r 的概率 證明 令kA={ 到圖書(shū)館的人數(shù)恰好為 k } ， k = 0,1, 2 ? ,rB ?{ 借書(shū)的人數(shù)恰好為 r } ，則在kA已經(jīng)發(fā)生的條件下，觀察到圖書(shū)館的人是否借書(shū)相當(dāng)于做了一個(gè) k 重伯努利試驗(yàn)，所以有 ( 1 ) ,( | )0,r k rrkkp p k rP B A rkr?? ?? ??? ??? ? ??? ??顯然， ?, 210 AAA 構(gòu)成了樣本空間的一個(gè) 劃分 ，所以由全概率公式 ， 有 ( 1 ) ,( | )0,r k rrkkp p k rP B A rkr?? ?? ??? ??? ? ??? ??0( ) ( | ) ( ) ( 1 ) !kr k rr k kk k rkP A P B A P A p p er k??????????? ? ???????????????rkrkrrkprep)!()]1([!)( ?? ?prprerper ep ??? ??????? ! )(!)( )1(1)用符號(hào)表達(dá)相關(guān)的事件； 2)找出事件之間的相互關(guān)系 ,并用符號(hào)表示； 3)利用概率的性質(zhì)或公式計(jì)算所求的概率 . 本章的基本解題步驟 例 1. 5 . 9 設(shè)試驗(yàn) E 為“同時(shí)拋兩枚 骰 子”，事件 A表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為 7 ”，事件 B 表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 9 ”．現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)做試驗(yàn) E ，問(wèn)事件 A 在事件 B之前出現(xiàn)的概率是多少 ? 解 設(shè) C ={ 事件 A 在事件 B 之前出現(xiàn) } ，kA ?{ 在第 k 次試驗(yàn)中 A 出現(xiàn) } ，kB ?{ 在第 k 次試驗(yàn)中 B 出現(xiàn) } ，kC ?{ 在第 k 次試驗(yàn)中事件 A 與事件 B 均沒(méi)有出現(xiàn) } ， 1 , 2 ,k ? ， 則有 1()6kPA ?1()9kPB ?? ? 13( ) 1 ( ) ( ) 18k k k k kP C P A B P A P B? ? ? ? ?1, 2 ,k ?且 111kkkC C C A?????111kkkC C C A?????于是由獨(dú)立性，有 111( ) ( ) ( )kkkP C P C P A???? ?1113 1 1 118 6 6 1 ( 13 / 18 )35kk?????? ? ????????111( ) ( )kkkP C P C C A???? ? 補(bǔ)充例題 1 甲 、 乙 、 丙三人同時(shí)向同一飛機(jī)射擊 ，設(shè)擊中的概率分別為 , ,則飛機(jī)被擊落的概率為 ,如果有兩人擊中 ,則飛機(jī)被擊落的概率為 。 定義 設(shè) A,B,C為三個(gè)事件，如果如下四個(gè)等式 ???????????)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABP則稱事件 A,B,C相互獨(dú)立 . 多個(gè)事件的相互獨(dú)立性 注 :定義中前面三個(gè)等式只說(shuō)明這三個(gè)事件是 兩兩相互獨(dú)立 的 ,但是由此并不能將第四個(gè)等式推導(dǎo)出來(lái) . 例 1. 5 .1 如果 將一枚硬幣拋擲兩次 , 觀察正面 H和反面 T 的出現(xiàn)情況 , 則此時(shí)樣 本空間為{ , , , }S H H H T T H T T? , 令 },{ HTHHA ? },{ THHHB ? },{ TTHHC ?則 }{ HHABCBCACAB ????故有 21)()()( ??? CPBPAP41)()()( ??? BCPACPABP但是 )()()(8141)( CPBPAPABCP ???所以 , CBA , 中任意兩個(gè)事件都是相互獨(dú)立的 , 但是事件 CBA , 并不相互獨(dú)立 . 當(dāng)我們考慮多個(gè)事件之間是否相互獨(dú)立時(shí) ,除了必須考慮任意兩事件之間的相互關(guān)系外 ,還要考慮到 多個(gè)事件的乘積對(duì)其它事件的影響 . 在 例 1 .5 .1 中 ， 雖然單獨(dú)一個(gè)事件 A 發(fā)生與否不會(huì)影響事件 C ， 同樣單獨(dú)一個(gè)事件 B 發(fā)生與否也不會(huì)影響事件 C ， 但是當(dāng) BA , 同時(shí)發(fā)生時(shí)卻會(huì)影響C ． 事實(shí)上 ， 由于 CHHAB ?? }{ ， 從而有 )(211)|( CPABCP ???定義 1. 5 .3 若 n 個(gè)事件nAAA , 21 ?滿足 )()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ?? ? )1,1( 21 niiink k ??????? ? 則稱nAAA , 21 ?相互獨(dú)立 . 注 :由定義要判定 n個(gè)事件是否相互獨(dú)立，需要驗(yàn)證 1232?????????????????????????????? nnnnn n?個(gè)等式．在實(shí)際問(wèn)題中 ,獨(dú)立性是根據(jù)實(shí)際意義來(lái)判斷的 ,然后利用獨(dú)立性來(lái)計(jì)算事件乘積的概率的 . 例 1. 5 .2 設(shè) A , B , C 三事件相互獨(dú)立 , 試證 AB 與 C相互獨(dú)立 . 證明 因?yàn)? ( ( ) ) ( )P A B C P A C B C?( ) ( ) ( )P A C P B C P A B C? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P C P B P C P A P B P C? ? ?[ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )P A P B P A P B P C? ? ?( ) ( )P A B P C?所以 , AB 與 C 相互獨(dú)立 . 類似地還可推得 : AB 與 C 獨(dú)立 。但是如果在做CAT掃描之前，醫(yī)生通過(guò)聽(tīng)其言觀其行就已經(jīng)有50%的把握將其診斷為精神分裂癥患者（即先驗(yàn)概率為 ），那么此時(shí)如果通過(guò) CAT掃描顯示為腦萎縮，則由貝葉斯公式，其患有精神分裂癥的后驗(yàn)概率就達(dá)到了 %． 例 伊索寓言“狼來(lái)了”的貝葉斯分析 設(shè) A={小孩說(shuō)謊 }， B={小孩可信 }，不妨設(shè)村民過(guò)去對(duì)這個(gè)孩子的印象（先驗(yàn)概率）為 ( ) ?( ) ?假設(shè)被認(rèn)為是可信的孩子說(shuō)謊的概率只有 10% ，而被認(rèn)為不可信的孩子說(shuō)謊的概率為 50% ，即 ( | ) A B ?( | ) A B ? 村民在第一次被騙（ A發(fā)生）以后，認(rèn)為小孩可信程度（后驗(yàn)概率）調(diào)整為 ( | ) ( )( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P A B P BP B AP A B P B P A B P B?? ? 于是村民認(rèn)為小孩的可信程度從原來(lái)的 整為 ，即 信念的進(jìn)一步調(diào)整 ( ) 0 . 4 4 4PB ? ( ) 0 .5 5 6PB ? 在此基礎(chǔ)上，如果孩子再一次撒謊，則村民對(duì)他的可信程度會(huì)進(jìn)一步調(diào)整為 0 . 4 4 4 0 . 1( | ) 0 . 1 3 80 . 4 4 4 0 . 1 0 . 5 5 6 0 . 5P B A???? ? ? 問(wèn)題： 如果這個(gè)孩子再喊“狼來(lái)了”，村民們