【正文】 ?為 S 的一個 分割 或 劃分(p a r ti ti o n ) ． 由定義 ， 如果事件組 }:{ IiB i ? 是樣本空間的一個劃分 ， 則在試驗中這些事件有且僅有一個發(fā)生 ． 性質(zhì) 1. 4 . 2 （全概率公式） 設(shè)事件組 }:{ IiBi ?為S 的一個劃分，且 0)( ?iBP ( Ii ? ) ，則有 ???Iiii BPBAPAP )()|()( 證明 由于 }:{ IiBi ?為 S 的一個劃分，所以iAB（ )Ii ? 之間互不相容，由概率的可列可加性，得 ( ) ( ) ( ( ) ) ( )iii I i IP A P A S P A B P A B??? ? ???????IiiiIii BPBAPABP )()|()(例 1. 4 .6 盒中有 15 個乒乓球，其中 9 個新球 6個舊球。 A B 與 C 獨立 . 兩個結(jié)論 .)2(,)2(,.1 21個事件也是相互獨立其中任意則相互獨立若事件　　　nkknAAA n???? . ,)2(,.22121個事件仍相互獨立所得的立事件們的對中任意多個事件換成它則將相互獨立個事件若　　　nAAAnAAAnnn?? ?例 1. 5 .3 兩射手彼此獨立地向同一目標(biāo)射擊 , 設(shè) 甲射中目標(biāo)的概率為 0 . 6 , 乙射中目標(biāo)的概率為 0 . 5 , (1 ) 求目標(biāo)被擊中的概率是多少 。 然而，由于在美國人口中患有精神分裂癥的比例極小，再加上檢驗方法也不是很完善，因此很多人可能是因為別的原因或疾病而被診斷為腦萎縮。 性質(zhì) 條件概率也是概率 1) 對于每一個事件 ,B 有 0)|( ?ABP 。那么這 12次接待恰好都在周二和周四的概率為 0 0 0 0 0 0 721212??p由實際推斷原理， 小概率事件在一次試驗中是不會發(fā)生的 ，而現(xiàn)在居然發(fā)生了，因此有理由懷疑原來假設(shè)的正確性，即認(rèn)為接待時間是有規(guī)定的。 對任意的 ?A F , 稱)( AP 為事件 A 的 概率 . 注 :在歷史上 ,對概率的理解一直存在著各種不同看法 ,比如有從頻率的角度來理解 ,也有從主觀信念的角度來理解的 (如貝葉斯學(xué)派的主觀概率 ),等等 ,但是不論從哪個角度來理解概率這個概念 ,大家都承認(rèn)上面三條是概率必須滿足的最基本的性質(zhì) .這三條性質(zhì)就像公理一樣已被數(shù)學(xué)家們所普遍接受 .因此 ,上面的定義又被稱為 概率的公理化定義 . 概率的性質(zhì) 性質(zhì) ,即 0)( ??P 證 令 ),2,1( ??? nAn ?則 ?????1iiA??ji AA且 ?? ?????????111)()()()(iiiii PAPAPP ?? ?于是由可列可加性，有 由于 0)( ??P 故由上式知 0)( ??P 性質(zhì) 2. （ 有限可加性 ）若 是一組兩兩不相容的事件 ,則有 nAAA , 21 ? )2( ?n)()(11ininii APAP ?????證 利用可列可加性及性質(zhì) 1,令 ),2,1( ????? nniA i ????????????niiiiiinii APAPAPAP1111)()()()( ??則有 性質(zhì) 3 )(1)( APAP ?? 證 由于 ,A A S A A ???再由概率的規(guī)范性和有限可加性 ,得 1 ( ) ( ) ( ) ( )P S P A A P A P A? ? ? ?移項后即證 . 性質(zhì) 4 設(shè) ,則有 BA ?)()()( APBPABP ???證 由 ()B A B A?? ??? )( ABA 及 知 )()()( APABPBP ???移項后即得 )()()( APBPABP ??? 由概率的非負性，即得下面的推論 注： 一般的，有 )()()( ABPBPABP ???)()( APBP ?推論（單調(diào)性） 若 ,則有 BA ?BAB A AB 由 , 可得 AS? ( ) 1PA ?例 1. 4 .1 口袋中有編號 1,2 , ? , n 的 n 個球，從中有放回地任取 m 次，求取出的 m 個球的最大號碼為k 的概率． 解 設(shè) Ak={取出的 m個球的最大號碼為 k} B i ={ 取出的 m 個球的最大號碼 不大于 i } ， i = 1 ,2 , ? , n 則有 ()mi miPBn?又 因為 1k k kA B B ??? ， 且 1kkBB? ? ， 由性質(zhì) 1. 3 .4 ， 得 11( ) ( ) ( ) ( )k k k k kP A P B B P B P B??? ? ? ?( 1 )mmmkkn??? 概率論所討論的問題中 ,有一類問題最簡單直觀 ,這類問題所涉及到的試驗具有下面兩個特征： 1)試驗的樣本空間的元素只有有限個 。 E4:擲一顆骰子 ,觀察出現(xiàn)的點數(shù) 。 實例 9 病人得的病雖然已經(jīng)是客觀存在的事實 ,但是在確診之前 ,在醫(yī)生看來病人得的是什么病仍然有多種可能。概率論與數(shù)理統(tǒng)計 引言 ?為什么要學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計？ ?研究對象 ?實際應(yīng)用 ?學(xué)習(xí)方法 ?關(guān)于老師 在我們所生活的世界上， 充滿了不確定性 從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復(fù)雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化 …… ，我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性 . A. 太陽從東方升起； B. 明天的最高溫度； C. 上拋物體一定下落； D. 新生嬰兒的體重 . 下面的現(xiàn)象哪些是隨機現(xiàn)象？ 生活中處處存在不確定性，我們把帶有隨機性、偶然性 的現(xiàn)象稱為 隨機現(xiàn)象。 主觀不確定性融入了觀察者個人的信念 . 實驗者 n nH fn(H) 德 . 摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 12022 6019 24000 12022 維 尼 30000 14994 n:拋擲硬幣的次數(shù) 。 E5:在家電倉庫里隨機地抽取一臺電視機 ,測試它的壽命 。 2)試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同 . 把具有上述兩個特征的試驗稱為 等可能概型 或 古典概型 .例如 ,拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣 ,或者出現(xiàn)正面或者出現(xiàn)反面 ,只有兩種結(jié)果 ,且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同 .又如拋一顆骰子 ,觀察出現(xiàn)的點數(shù) ,則共有 6種結(jié)果 ,且每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。 非常小?。? 例 1. 3 .9 甲、乙兩人擲均勻硬幣，其中甲擲 1?n 次，乙擲 n 次，求“甲擲出的正面次數(shù)大于乙擲出的正面次數(shù)”這一事件的概率． 解 令 X正 =甲擲出的正面次數(shù) X反 =甲擲出的反面次數(shù) Y正 =乙擲出的正面次數(shù) Y反 =乙擲出的反面次數(shù) 于是所求事件的概率為 (P X 正 ? Y 正 ），另一方面顯然有 (S ? X 正 ? Y 正 ） = （ X 正 ? Y 正 ） = （ X 反 ? Y 反 ） 因為硬幣是均勻的，由對稱性知 P ( X 正 ? Y 正 ） = (P X 反 ? Y 反 ） 由此即得 P ( X 正 ? Y 正 ) = 例 1 . 3 . 10 （ 配對問題 ）在一個有 n 個人參加的晚會上，每個人帶了一件禮物，且假定個人帶的禮物都不相同 . 晚會期間個人從放在一起的 n 件禮物中隨機抽取一件，問至少有一個人自己抽到自己禮物的概率是多少？ 解 設(shè) A = { 至少有一個人自己抽到自己禮物 } ，iA ? { 第 i 個人自己抽到自己禮物 } ， i = 1 , 2 , ? , n ， 則有 12 nA A A A?因為 1()iPA n?1, 2 , ,in?， 1()( 1 )ijP A A nn? ?1 i j n? ? ?1()( 1 ) ( 2)i j kP A A A n n n? ??1 i j k n? ? ? ?…… 121()!nP A A A n?所以由加法公式，所求的概率為 12( ) ( )nP A P A A A?11( ) ( )ni i ji i j nP A P A A? ? ? ?????)()1()( 2111nnnkjikji AAAPAAAP ??????????? ?11 1 1 11 ( 1 )2 ! 3 ! 4 ! !nn?? ? ? ? ? ? ?當(dāng) n 足夠大時， 此概率近似的為 11 e 0 . 6 3 2 1??? . 作 業(yè) P25 1， 2, 5. P26 8， 9, 10 性質(zhì) 6（加法公式） 對于任意兩個事件 A,B有 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B? ? ? 證 因為 ( ) , ( )A B A B A B A B A B ?? ? ? ?再由性質(zhì) 2,3,有 ( ) ( ) ( )P A B P A P B A B? ? ?( ) ( ) ( )P A P B P A B? ? ?該性質(zhì)可推廣到多個事件的和： ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C? ? ?)()()()( A B CPBCPACPABP ?????????????njijiniinii AAPAPAP111)()()( ?)()1()( 2111nnnkjikji AAAPAAAP ??????????? ?上述公式有時又被稱為 多除少補原理 。 2) ( | ) 1P S A ? 。但是如果在做CAT掃描之前，醫(yī)生通過聽其言觀其行就已經(jīng)有50%的把握將其診斷為精神分裂癥患者（即先驗概率為 ），那么此時如果通過 CAT掃描顯示為腦萎縮，則由貝葉斯公式，其患有精神分裂癥的后驗概率就達到了 %． 例 伊索寓言“狼來了”的貝葉斯分析 設(shè) A={小孩說謊 }， B={小孩可信 }，不妨設(shè)村民過去對這個孩子的印象（先驗概率）為 ( ) ?( ) ?假設(shè)被認(rèn)為是可信的孩子說謊的概率只有 10% ，而被認(rèn)為不可信的孩子說謊的概率為 50% ，即 ( | ) A B ?( | ) A B ? 村民在第一次被騙（ A發(fā)生）以后，認(rèn)為小孩可信程度（后驗概率）調(diào)整為 ( | ) ( )( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P A B P BP B AP A B P B P A B P B?? ? 于是村民認(rèn)為小孩的可信程度從原來的 整為 ，即 信念的進一步調(diào)整 ( ) 0 . 4 4 4PB ? ( ) 0 .5 5 6PB ? 在此基礎(chǔ)上，如果孩子再一次撒謊，則村民對他的可信程度會進一步調(diào)整為 0 . 4 4 4 0 . 1( | ) 0 . 1 3 80 . 4 4 4 0 . 1 0 . 5 5 6 0 . 5P B A???? ? ? 問題： 如果這個孩子再喊“狼來了”，村民們還會相信嗎？ 167。 定義 設(shè) A,B,C為三個事件，如果如下四個等式 ???????????)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABP則稱事件 A,B,C相互獨立 . 多個事件的相互獨立性 注 :定義中前面三個等式只說明這三個事件是 兩兩相互獨立 的 ,但是由此并不能將第四個等式推導(dǎo)出來 . 例 1. 5 .1 如果 將一枚硬幣拋擲兩次 , 觀察正面 H和反面 T 的出現(xiàn)情況 , 則此時樣 本空間為{ , , , }S H H H T T H T T? , 令 },{ HTHHA ? },{ THHHB ? },{ TTHHC ?則 }{ HHABCBCACAB ????故有 21)()()( ??? CPBPAP41)()()( ??? BCPACPABP但是 )()()(8141)( CPBPAPABCP ???所