【文章內(nèi)容簡介】 且 10100100100( = k ) 0 . 5 ( 1 0 . 5 )0 . 5 , 0 , 1 , , 1 0 0 .k k kkP X CCk?????????????????? ? ??? ?所有可能取值的概率總和必為 1。 對于隨機(jī)變量，我們常常會(huì)求它的取值的 平均值 ，還要考慮它的取值的 分散程度 。 X 5 6 7 8 9 10 概率 那么這個(gè)運(yùn)動(dòng)員的水平該怎樣評價(jià)呢？我們計(jì)算一下他打一槍平均來說可能的環(huán)數(shù)： E ( X ) = 0 . 0 5 5 0 . 0 5 6 0 . 2 7 0 . 3 8 0 . 2 9 0 . 2 1 0 8 . 1 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?這個(gè)數(shù)叫隨機(jī)變量 X的 數(shù)學(xué)期望 。 例如， X表示一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員命中的環(huán)數(shù)，則它是一個(gè)隨機(jī)變量。假設(shè)我們已經(jīng)知道 X取每一個(gè)值的概率，如下表所示： 相對于數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量的取值有時(shí)偏大，有時(shí)偏小，那么平均偏差該怎樣計(jì)算呢？先把這些偏差做平方，然后再平均。考慮到每一個(gè)偏差出現(xiàn)的可能性實(shí)際上就是原先的取值對應(yīng)的概率，所以也要用求數(shù)學(xué)期望那樣的方法來求偏差平方的平均值。例如，上面的 X， X 5 6 7 8 9 10 XE(X) (XE(X))2 概率 由上表可見，偏差平方的平均值為 …22D( X )= 0 .0 5 (5 8 .15 ) + + 0 .2 (10 8 .15 ) = 2 7 5這個(gè)數(shù)叫隨機(jī)變量 X的 方差 。 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映了它取值的平均大小，是一個(gè)平均值； 隨機(jī)變量的方差反映了它相對于平均值而言的分散程度。方差越小，取值的分散程度越小。如果方差為 0，那這個(gè)隨機(jī)變量就幾乎是一個(gè)常數(shù)。 例： 據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)下月有小洪水的概率為，有大洪水的概率為 。設(shè)工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案： 運(yùn)走設(shè)備，需花費(fèi) 3800元； 建一保護(hù)墻，需花費(fèi) 2022元。但無法抵御大洪水，大洪水來臨的話，設(shè)備受損，損失 60000元； 不采取任何措施，祈禱不發(fā)生洪水。大洪水來臨損失 60000元，小洪水來臨損失 10000元。 試比較哪種方案好。 解：分別用 X,Y,Z表示三種方案下可能帶來的費(fèi)用，則都是隨機(jī)變量。我們把各個(gè)隨機(jī)變量的分布列在下表里： 概率 （無洪水） （小洪水） （大洪水） X 3800 3800 3800 Y 2022 2022 62022 Z 0 10000 60000 則 E(X)=3800 E(Y)=2600 E(Z)=3100 平均來說，方案二比較好。 第二部分 統(tǒng)計(jì) 統(tǒng)計(jì)在我們國家有兩種意義： 社會(huì)統(tǒng)計(jì) 數(shù)理統(tǒng)計(jì) 我們要討論的是數(shù)理統(tǒng)計(jì)。 引言 你要研究什么？ 研究對象 —— 總體 由全體成員構(gòu)成。 例如 某地區(qū)高中學(xué)生的身高發(fā)育情況 袁隆平新水稻品種的畝產(chǎn)量 某班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績 某個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績 姚明的技術(shù)水平（投籃，三分球，命中 率， 籃板等） 學(xué)習(xí)成績與性別的關(guān)系 紅樓夢前 80回與后 40回的用字、用詞的 差異 為什么要學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)？ 當(dāng)我們要對總體進(jìn)行研究時(shí)，由于種種原因，不 可把每個(gè)個(gè)體的特征都記錄研究； 不可能收集到所有數(shù)據(jù)； 可能收集到所有數(shù)據(jù)，但是要花費(fèi)大量的財(cái)力物 力； 即使收集到了所有的數(shù)據(jù)資料，面對大量的雜亂 無章的數(shù)據(jù)，不用科學(xué)的方法處理，我們也無法 得到想要得到的信息。 統(tǒng)計(jì)正是處理上面遇到的窘境的理想手段： 怎樣收集數(shù)據(jù)資料； 怎樣對收集到的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行科學(xué)的分析處理； 合理解釋處理結(jié)果。 樣本 從總體中抽取一部分個(gè)體出來，測量其相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)和特征并記錄。這一部分個(gè)體放到一起就叫做一個(gè)樣本。 一般來說，我們總是把測得的數(shù)據(jù)全體叫做樣本。 樣本中所考慮的個(gè)體的數(shù)目叫 樣本容量 。 例如： 隨機(jī)抽查某地區(qū) 100名高中二年級學(xué)生測量身高得到的 200個(gè)數(shù)據(jù)； 將水稻新品種種植在其他條件相同的 10塊試驗(yàn)田里，收割后測得的 10個(gè)畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)； 第一節(jié) 抽樣方法 A、 簡單隨機(jī)抽樣法 從有 N個(gè)個(gè)體的總體中不重復(fù)地取出 n個(gè)個(gè)體，nN，每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)被抽到。 抽簽法： 編號(hào)、制簽、攪勻、隨機(jī)抽簽 k次 隨機(jī)數(shù)表：省掉制簽、攪勻、隨機(jī)抽簽過程 隨機(jī)數(shù)表 是一個(gè)重要工具。 它是一張由數(shù)字 0到 9構(gòu)成的數(shù)表，可能三個(gè)三個(gè)地由三位數(shù)構(gòu)成。也可能由四位數(shù)構(gòu)成 。 我們可以用某種編程語言產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)表。 用 Excel就可以方便地產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)表： 在單元格 C1里輸入 =RAND() 產(chǎn)生一個(gè) 0到 1之間的隨機(jī)數(shù)，拖拽 C1的填充柄就可以產(chǎn)生不同的隨機(jī)數(shù)。65536行，可產(chǎn)生大量隨機(jī)數(shù)。 （ 0， 1之間隨機(jī)數(shù)） 輸入 =INT(100*RAND())產(chǎn)生 0到 99之間的整隨機(jī)數(shù)。 （兩位隨機(jī)數(shù)） 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 選擇 工具 —— 數(shù)據(jù)分析 —— 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 （隨機(jī)數(shù)） 計(jì)算器可能會(huì)有不同的方法，要參考有關(guān)說明書。 B、 系統(tǒng)抽樣 分成相同的 n組，每組隨機(jī)抽取一個(gè)。 C、 分層抽樣 總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成，各部分稱為層。根據(jù)比例在各層進(jìn)行抽樣。 第二節(jié) 總體分布的估計(jì) 統(tǒng)計(jì)的任務(wù)： 在統(tǒng)計(jì)里我們感興趣的是： 如果從總體中任取一個(gè)個(gè)體， 這個(gè)個(gè)體的某個(gè)或幾個(gè)數(shù)量指標(biāo)會(huì)有什么特征？ 我們不知道其指標(biāo)會(huì)是多少。統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是希望搞清楚，任取一個(gè)個(gè)體，其指標(biāo)會(huì)遵循什么規(guī)律。 當(dāng)然不會(huì)是一個(gè)確定性的規(guī)律，而是一個(gè) “ 統(tǒng)計(jì)規(guī)律 ” ，就是一個(gè)具有概率意義的規(guī)律。例如某地某段時(shí)間里高溫出現(xiàn)概率；某校高一年級男生的身高在某個(gè)范圍里的概率。 從總體中任取一個(gè)個(gè)體，其指標(biāo)不知道會(huì)是多少，就把它作為一個(gè) 隨機(jī)變量 對待。 對總體的研究，就是要達(dá)到搞清楚這個(gè)隨機(jī)變量的分布的目的。這就是統(tǒng)計(jì)的基本目的。 在概率論里，我們研究各種分布。在統(tǒng)計(jì)里，我們要 利用樣本數(shù)據(jù)確定 表示 總體 指標(biāo)的那個(gè)隨機(jī)變量到底應(yīng)該 是什么分布 。如果分布完全是已知的，那統(tǒng)計(jì)就沒有任何意義了。 參數(shù)問題 ：對總體指標(biāo)的數(shù)字特征，比如數(shù)學(xué)期望，方差，中為數(shù)等的估算、刻畫。 非參數(shù)問題 多個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系問題 所以，要知道我們會(huì)遇到的問題： 刻劃總體分布 刻劃總體數(shù)字特征 刻劃各種關(guān)系 在所有的問題中，歸根結(jié)底是估計(jì)概率的問題，而估計(jì)概率最基本的方法，就是利用頻率。要計(jì)算頻率，就要抽樣 —— 做實(shí)驗(yàn)獲取數(shù)據(jù) 。 由于我們是從樣本出發(fā)做出的結(jié)論，結(jié)論勢必會(huì)有出錯(cuò)的可能。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的結(jié)論不同于其他的結(jié)論，其精華就在于： 在給出結(jié)論的同時(shí)，還會(huì)告訴你， 這個(gè)結(jié)論出錯(cuò)的概率有多大。 總體分布的估計(jì)方法 頻率分布表 全距 組距 頻數(shù) 頻率 頻率 /組距 頻率分布直方圖與折線圖 頻率直方圖 第三節(jié) 總體特征數(shù)的估計(jì) 總體分布的特征數(shù)有各種各樣，我們在概率論里叫它們作數(shù)字特征。例如數(shù)學(xué)期望，方差，中位數(shù)，眾數(shù)，等等。 在統(tǒng)計(jì)里這些往往都是不知