【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 P A{ }, 1 , 2 , , . ( ) .記 第 k 次 摸 到 紅 球 求??kkA k n P A56 , , , ,12 kn?? ? ? ? ? ?① — a 號(hào)球?yàn)榧t球， 可設(shè)想將 n個(gè)球進(jìn)行編號(hào)： 其中 將 n個(gè)人也編號(hào)為 1,2,…,n ． ① ② 。 n 可以是①號(hào)球，亦可以是②號(hào)球 …… 是 號(hào)球 n 57 ① ② 。 n ( 1 ) !()( ) !ka a b aPAa b a b??????與 k無(wú)關(guān) 視 的任一排列為一個(gè)樣本點(diǎn) ，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率相等。 解： 58 , , , ,12 kn???? ???11( ) /aak n naP A C Cab??? ? ? ?11anC??anCkA總樣本點(diǎn)數(shù)為 ，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率相等，而其中有 個(gè)樣本點(diǎn)使 發(fā)生， 解 2： 視哪幾次摸到紅球?yàn)橐粯颖军c(diǎn) 59 解 3： 將第 k次摸到的球號(hào)作為一樣本點(diǎn) () kaaPAn a b? ? ??① ，②， … ， n S＝ { }， kA ?① ，②， … ， a { } 60 ( ) 1 2kPA??此值不僅與 k無(wú)關(guān)，且與 a， b都無(wú)關(guān)，若 a＝ 0呢？對(duì)嗎？ 為什么？ 錯(cuò)，這不是等可能概型 kA ?{紅色 } 解 4： 記第 k次摸到的球的顏色為一樣本點(diǎn) S＝ {紅色 ,白色 }， 61 例 5：（配對(duì)問(wèn)題）一個(gè)小班有 n個(gè)同學(xué)，編號(hào)為 1, 2, …, n 號(hào)，中秋節(jié)前每人準(zhǔn)備一件禮物，相應(yīng)編號(hào)為 1, 2, … ,n 。將所有禮物集中放在一起，然后每個(gè)同學(xué)隨機(jī)取一件，求沒有人拿到自己禮物的概率。 62 解：設(shè) Ai表示第 i人拿到自己的禮物，i=1,2,…,n ， A表示至少有一人拿到自己的禮物。 1111( ) ( . . . ) ( ) ( ) . . . ( 1 ) ( . . . )nnn i i j ni i jP A P A A P A P A A P A A???? ? ? ? ? ? ? ???1111( ) ( . . . ) ( ) ( ) . . . ( 1 ) ( . . . )nnn i i j ni i jP A P A A P A P A A P A A???? ? ? ? ? ? ? ???63 ( ) ( 1 ) ! / ! 1 / ,iP A n n n n? ? ? 共 項(xiàng) ,2( ) ( 2 ) ! / ! 1 / ( 1 ) , ,i j nP A A n n n n i j C? ? ? ? ? 共 項(xiàng) ,331( ) ( 3 ) ! / ! 1 / 3 ! , ,( . . . ) 1 / !i j k n nnP A A A n n C i j k CP A A n? ? ? ? ??共 項(xiàng) ,......,2( ) ( 2 ) ! / ! 1 / ( 1 ) , ,i j nP A A n n n n i j C? ? ? ? ? 共 項(xiàng) ,331( ) ( 3 ) ! / ! 1 / 3 ! , ,( . . . ) 1 / !i j k n nnP A A A n n C i j k CP A A n? ? ? ? ??共 項(xiàng) ,......,331( ) ( 3 ) ! / ! 1 / 3 ! , ,( . . . ) 1 / !i j k n nnP A A A n n C i j k CP A A n? ? ? ? ??共 項(xiàng) ,......,64 人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的” (稱之為 實(shí)際推斷原理 )。 65 例 6：某接待站在某一周曾接待 12次來(lái)訪，已知所有這 12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的 ? 66 解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，而各來(lái)訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來(lái)訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 = 000 3. 67 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此，有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來(lái)訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。 167。 5 條件概率 例： 一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩 ， 已知至少一個(gè)是女孩 ， 問(wèn)兩個(gè)都是女孩的概率是多少 ？ （ 假定生男生女是等可能的 ） 69 解： 由題意 ， 樣本空間為 { ( ) ( ) ( ) ( ) }S ? 男 ， 男 ， 男 ， 女 ， 女 ， 男 ， 女 ， 女A 表示事件“ 至少有一個(gè)是女孩”， { ( ) ( ) ( ) }A ＝ 男 ， 女 ， 女 ， 男 ， 女 ， 女{ ( ) }B ? 女 ， 女70 由于事件 A已經(jīng)發(fā)生，所以這時(shí)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有三種，而事件 B包含的基本事件只占其中的一種， 所以有 1()3P B A ?在這個(gè)例子中 ， 若不知道事件 A已經(jīng)發(fā)生的信息 ， 那么事件發(fā)生的概率為 1() 4PB ?( ) ( )P B P B A?這里 )( ABP其原因在于事件 的發(fā)生改變了樣本空間，使它由原來(lái)的 縮減為 ，而 是在新的樣本空間 中由古典概率的計(jì)算公式而得到的 ASASA? AS 例：有一批產(chǎn)品，其合格率為 90%，合格品中有 95%為優(yōu)質(zhì)品，從中任取一件，取到是優(yōu)質(zhì)品的概率。 記 A={取到一件合格品 }， B={取到一件優(yōu)質(zhì)品 }。 則 P(A)=90% 而 P(B)=% 73 記： P(B|A)=95% 1. P(A)= 是將整批產(chǎn)品記作 1時(shí) A的測(cè)度 2. P(B|A)= 是將合格品記作 1時(shí) B的測(cè)度 3. 由 P(B|A)的意義，其實(shí)可將 P(A)記為P(A|S)，而這里的 S常常省略而已， P(A)也可視為條件概率。 74 分析： B A S ()()P A BxPA?若記 P(B|A)=x，則應(yīng)有 P(A):P(AB)=1:x 解得： 75 一、 條件概率 定義： 由上面討論知， P(B|A)應(yīng)具有概率的所有性質(zhì)。 例如： ( | ) 1 ( | )P B A P B A??( | ) ( | ) ( | ) ( | )P B C A P B A P C A P B C A? ? ?BC? ( | ) ( | )P B A P C A??()( | )()P ABP B APA? ( ) 0PA ?76 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P A P B A P B P A B? ? ? ?( ) ( ) ( | ) ( | )P A B C P A P B A P C A B?二、乘法公式 當(dāng)下面的條件概率都有意義時(shí)： 77 1 2 1 2 1 3 1 2 1 1( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A ???? ? ??? ???1 2 1 2 1 3 1 2 1 1( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 3 1 2 1 1( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?78 例： 一盒中有 5個(gè)紅球， 4個(gè)白球，采用不放回抽樣，每次取一個(gè)，取 4次，（ 1）已知前兩次中至少有一次取到紅球，求前兩次中恰有一次取到紅球的概率；（ 2）已知第 4次取到紅球，求第 1， 2次也取到紅球的概率。 79 解： Ai表示第 i次取到紅球， i=1,2,3,4， B表示前兩次中有一次取到紅球， C表示前兩次中恰有一次取到紅球的概率。 1 1 24 5 92249( ) ( ) 2()( ) 1 ( ) 1 3C C CP B C P CP C BP B P B C C? ? ? ???33591 2 41 2 44() 9()( ) 5 9 4 2CCP A A AP A A APA? ? ?80 例：某廠生產(chǎn)的