【導讀】法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式,以及貝葉斯公式.事件概率的方法.2．古典概型：設樣本空間?為一個有限集，且每個樣本點的出現(xiàn)具有等可能性，則?；臼录倲?shù)中有利事件數(shù)AAP?3．幾何概型：設?、體積）Ω的度量A的度量（長度、面積?A與B相互獨立?,An兩兩互斥,則?在什么條件下P取到最小值，最小值是多少？法一，取出的兩把鑰匙，可能只有一把能打開，可能兩把都能打開，則112373AnCCC??法二，A={都打不開}，即取得兩把鑰匙是從另7把中取得的，則27AnC?余下的三個信筒中的任一個，1123BnC?

　　

【正文】 CCCC?????????? ? ? ????? 19．發(fā)報臺分別以概率 “．”和“ — ”，由于通訊系統(tǒng)受到干擾，當發(fā)出信號“．”時，收報臺未必收到信號“ .”，而是分別以 “．”和“ — ”；同樣，發(fā)出“ — ”時分別以 收到“ — ”和“．” 。如果收報臺收到“．”，問它沒收錯的概率？ 解： 設 A ={發(fā)報臺發(fā)出信號“．” }， A ={發(fā)報臺發(fā)出信號“ — ” }， B ＝｛收報臺收到“．”｝， B ＝｛收報臺收到“ — ”｝；于是， ( ) ? ， ( ) ? ， ( | ) B A ? ， ( | ) B A ? ， ( | ) B A ? ，( | ) B A ? ；按貝葉斯公式，有 )|()()|()( )|()()( )()|( ???? ????? ABPAPABPAP ABPAPBP ABPBAP 所以沒收錯的概率為 . 罐子中有 b 只黑球， r只紅球，從中任取一球，觀察顏色后放回，并加進同顏色的 c 個球，再到第二次，方法同上，如此進行下去，求： （ 1） 第一、二次取到紅球，第三次取到黑球的概率 ； （ 2） 第一 、三次取到 紅球，第二 、四 次取到黑球的概率 . 【 解 】 令 iB ＝ {第 i次取到黑球 }，則 iB ＝ {第 j 次取到紅球 }； 由題意得， （ 1）1 2 3 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 2r r c bP B B B P B P B B P B B B b r b r c b r c?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 2） 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( | )P B B B B P B P B B P B B B P B B B B? ? ? ? 23r b r c b cb r b r c b r c b r c??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 21．設口袋中裝有 21n? 只白球， 2n 只黑球，一次取出 n只球，如果已知取出的球是同一顏色，計算該顏色是黑色的概率。 解：設 A表示“取出的球是同一顏色”； B 表示“取出的球全是黑色”，則 2 1 2 24 1 4 1( ) , ( )n n nn n nnnC C CP A P BCC? ????? 所求概率為 22 1 2( ) ( ) 2( | ) ( ) ( ) 3n nnnCP A B P BP B A P A P A C C?? ? ? ?? 2 某商場各柜臺受到消費者投訴的事件數(shù)為 0、 2三種情形，其概率分別為 、 、 每月抽查商場的兩個柜臺，規(guī)定：如果兩個柜臺受到的投訴之和超過 1 次，則給商場通報批評；若一年中有三個月受到通報批評則該商場受掛牌處分一年，求該商場受處分的概率。 分析：首先應該求出一月內(nèi)兩柜臺受投訴的次數(shù)超過 1 次的概率，再求一年內(nèi)受通報批評次數(shù)大于等于 3 次的概率。 解：設 A=“商場一月內(nèi)受到通報批評”， iB =“第一柜臺一月內(nèi)受到投訴 i次”（ i=1， 2， 3） iC =“第二柜臺一月內(nèi)受到投訴 i 次”（ i=1， 2， 3），則由題意得，受到通報批評的情況有一下幾種：第一柜臺 0 投訴第二柜臺 2 次投訴或第一柜臺 2 次投訴第二柜臺 0 投訴或者第一柜臺至少一次投訴第二柜臺至少一次投訴，即 0 2 2 0 0 0A B C B C B C? （兩兩互斥，之間獨立） 所以 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B C P B C P B C P B P C P B P C P B P C? ? ? ? ? ? = 設 X 表示商場一年 12 個月內(nèi)受到通 報批評的次數(shù)， 則這是一個貝努利概型， n=12， p=，“受掛牌處分”等價于“ 3X? ” 所以 ( 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( 0) ( 1 ) ( 2) X P X P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 23 某人有兩盒火柴，吸煙時從任一盒中取一根火柴，經(jīng)過若干時間后，發(fā)現(xiàn)一盒火柴已用完。如果最初每盒中各有 n 根火柴，求這時另一盒中還有 r 根火柴的概率。 解：設有甲、乙兩盒火柴，每次從甲還是從乙中取火柴的概率都是 . 而用完的哪盒火柴可能是甲盒也可能是乙盒。 該人總共取火柴的次數(shù)為 2nr+1 ，在最后一次 即第 2nr+1次取的過程中發(fā)現(xiàn)火柴沒有了，因此實際上取火柴的次數(shù)為 2nr 次，在這 2nr 次取火柴的過程中，有 n次從其中的一個盒子里取得，另外的 nr 次從另外一個盒子里取得，從哪一個盒子里取的概率都為 ， 因此這是一個貝努利概型：每次試驗只有兩個結(jié)果：要么從甲盒取、要么從乙盒取，共進行了 2nr 次試驗，并且是獨立的，要求的是：在 2nr 次試驗中恰好從其中一個盒子里取到 n 只火柴的概率。所以 2221 1 1( ) ( ) ( )2 2 2n n n r n n rn r n rp C C?????? 另解 ： 設 A? ‘發(fā)現(xiàn)一盒已經(jīng)用完另一盒還有 r 根’。 B? ‘發(fā)現(xiàn)甲盒已經(jīng)用完乙盒還有 r 根’。 則 ( ) 2 ( )P A P B? B發(fā)生 ? 甲盒拿了 1n? 次，乙盒拿了 nr? 次，共進行了 21nr?? 次試驗，而且前 2nr? 次試驗，甲發(fā)生 n 次，第 21nr?? 次試驗甲發(fā)生。 故 22 11() 22nrnnrP B C?? ???????? 從而 22 1( ) 2 ( ) 2nrnnrP A P B C?? ???? ???? 2 甲乙丙 3 人同向一飛機射擊，設擊中飛機的概率分別為 、 、 。如果只有一人擊中飛機，則飛機被擊落的概率為 ，如果有兩人擊中飛機，則飛機被擊落的概率為 ，如果有三人擊中飛機，則飛機一定被擊落。求飛機被擊落的概率。 解：設 A＝“甲擊中飛機”， B＝“乙擊中飛機”， C＝“丙擊中飛機”； iH ＝“有 i人擊中飛機”（ i＝ 0， 1， 2， 3）； D＝“飛機被擊中” 則由已知， 0 1 2 3( | ) 0 , ( | ) , ( | ) , ( | ) 1P D H P D H P D H P D H? ? ? ? 由于 A、 B、 C 相互獨立，所以 0123( ) ( ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] ,( ) ( ,( ) ( ) ,( ) ( ) P H P A B C P A P B P CP H P A B C A B C A B C PP H P A B C A B C A B CP H P A B C? ? ? ? ? ????? 而 0 1 2 3S H H H H? ，所以 0 1 2 3D D H D H D H D H? 所以 440 1 2 3 00( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) 0 . 4 5 8i i iP D P D H D H D H D H P D H P H P D H? ? ? ??? 25. “水滴石穿”、“只要功夫深，鐵杵磨成針”的概率含義 —— 小概率事件原理。 26. 現(xiàn)有編號為 I、 II、 III 的三個口袋，其中 I 號袋內(nèi)裝有兩個 1 號球，一個 2 號球與一個 3 號球； II 號口袋內(nèi)有兩個 1 號球與一個 3 號球； III 號袋內(nèi)有三 個 1 號球與兩個 2 號球。現(xiàn)先從 I 號袋內(nèi)取一個球，放入與球的號數(shù)相同的口袋中，再從該口袋中任取一個球，計算第二次取到幾號球的概率最大。 解：設 iA 表示“從 I 號袋內(nèi)取到第 i號球”， iB 表示“第二次取到的球的號碼” 則 1 2 3A A A S? ，1 2 32 1 1( ) , ( ) ( )4 2 4P A P A P A? ? ? ?， 由全概率公式得 1 1 1 1 2 1 2 3 1 3( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A P A P B A? ? ? 1 1 1 1 1 3 1...2 2 4 4 4 6 2? ? ? ? 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A P A P B A? ? ? 1 1 1 1 1 2 1 3...2 4 4 4 4 6 4 8? ? ? ? 3 1 3 1 2 3 2 3 3 3( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A P A P B A? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1...2 4 4 4 4 6 4 8? ? ? ? 27. 要驗收 100 臺微機，驗收方案如下：從中任取 3 臺測試（相互獨立）， 3 臺中只要有一臺被認為是次品，這批微機就會被拒絕接受。由于測試條件和水平，將次品的微機誤認為為正品的概率為 ，而將正品的微機誤判為次品 的概率為 100 臺微機中恰有 4 臺次品，試問這批微機被接受的概率。 解： 設 A表示“這批微機被接受”， iB 表示“抽檢的 3 臺微機中次品的臺數(shù)”，則 3 2 1 1 2 0 39 6 9 6 4 9 6 4 9 6 40 1 2 33 3 3 31 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0( ) , ( ) , ( ) , ( )C C C C C C CP B P B P B P BC C C C? ? ? ?，且 0 1 2 3B B B B S? 而 330( | ) (1 ) A B ? ? ?（即每一件正品經(jīng)檢驗確是正品的概率為 ＝ ，且相互獨立，所以抽取的三件正品經(jīng)檢驗確是正品的概率為 。該概率為：當抽取三件正品時，經(jīng)檢驗確是正品。以下類似） 221( | ) ( 1 1 ) 5 9 5P A B ? ? ? ? ?， 1 2 1 22( | ) ( 1 0 .0 1 ) 0 .0 5 0 .9 9 0 .0 5P A B ? ? ? ? ? 223( | ) ( 1 0 .0 1 ) 0 .0 5 0 .9 9 0 .0 5P A B ? ? ? ? ? 所以，由全概率公式得 30( ) ( ) ( | )iiiP A P B P A B?? ? 28. 某儀器由三個部件組成 ， 假設各部件質(zhì)量互不影響且其優(yōu)質(zhì)率分別為 、 、 ：如果三個部件都是優(yōu)質(zhì)品，則組裝后的儀器一定合格；如果有一個部件不是優(yōu)質(zhì)品，則組 裝后的儀器不合格率為 ；如果有兩個部件不是優(yōu)質(zhì)品，則組裝后的儀器不合格率為 ；如果三部件都不是優(yōu)質(zhì)品，則組裝后的儀器不合格率為 . （ 1）求儀器的不合格率；（ 2）如果已發(fā)生一臺儀器不合格，問它有幾個部件不是優(yōu)質(zhì)品的概率最大。 解：設 A表示“ 儀器不合格 ” ， iB 表示“ 儀器內(nèi)有 i 個不是優(yōu)質(zhì)品 ”， i C 表示“ 第 i 個部件是優(yōu)質(zhì)品 ” 則， 1 2 2( ) 0 .8 , ( ) 0 .7 , ( ) 0 .9 ,P C P C P C? ? ? 且 0 1 2 3。B C C C? ， 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ,B C C C C C C C C C? 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3B C C C C C C C C C? 1 2 3B C C? 因為 iC （ i＝ 1， 2， 3）相互獨立，且上述事件之間互斥，所以 0( ) 0 .8 0 .7 0 .9 0 .5 0 4PB ? ? ? ?， 1( ) 98PB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( ) 92PB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3( ) 0 .2 0 .3 0 .1 0 .0 0 6PB ? ? ? ? 由題意 0 1 2 3( | ) 0 , ( | ) 0 .2 , ( | ) 0 .6 , ( | ) 0 .9P A B P A B P A B P A B? ? ? ?， （ 1） 由全概率公式可得 30( ) ( ) ( | )iiiP A P B P A B?? ?＝ ； （ 2）由貝葉斯公式 ( ) ( | )( | )() ii P A P A BP B A PA?可得 010 . 5 0 4 0 0 . 3 9 8 0 . 2 7 9 6( | ) 0 , ( | ) ,0 . 1 0 2 0 . 1 4 0 2 1 4 0 2P B A P B A??? ? ? ? 230 . 0 9 2 0 . 6 5 5 2 0 . 0 0 6 0 . 9 5 4( | ) , ( | )0 . 1 4 0 2 1 4 0 2 0 . 1 4 0 2 1 4 0 2P B A P B A? ? ? ? 所以出現(xiàn)一個部件不是優(yōu)質(zhì)品的概率最大。