第3章(2)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(已修改)
2025-08-19 10:55 本頁面
【正文】 第三章 多維隨機變量及其分布 167。 1 二維隨機變量 ▲ 實際問題：確定炮彈位置的坐標(biāo)；觀察兒童的身高 和體重等等，都會產(chǎn)生二維隨機變量。 定義： 設(shè) E是一個隨機試驗，其樣本空間 S={e}，設(shè) X=X(e) 和 Y=Y(e)是定義在 S上的隨機變量，由它構(gòu)成的一個 向量 (X,Y)叫做 二維隨機向量 或 二維隨機變量 。 ▲ 為了研究隨機向量的統(tǒng)計性質(zhì)，引入如下定義 定義： 設(shè) (X,Y)是二維隨機變量，對于任意實數(shù) x,y，二元函數(shù) },{)}(){(),( yYxXPyYxXPyxF ?????? ?稱為 二維隨機變量 (X,Y)的分布函數(shù) 或 X和 Y的 聯(lián)合分布 函數(shù)。 ▲ 隨機向量 (X,Y)落入矩形 的概率為 ],[2121 yyyxxx ????),(),(),(),(},{211112222121yxFyxFyxFyxFyyyxxxP???????? () ▲ 分布函數(shù)具有如下性質(zhì)： 1. 單調(diào)性： F(x,y)是變量 x和 y的不減函數(shù)： 2. 有界性： ，且 1),(0 ?? yxF對固定 x, ； 對固定 y, 0),( ???xF 0),( ??? yF1),(,0),( ?????????? FF3. 右連續(xù)性： )0,(),(),0(),( ???? yxFyxFyxFyxF4. 如下不等式成立： 0),(),(),(),( 21111222 ???? yxFyxFyxFyxF▲ 二維隨機變量分為兩種： 離散型 和 連續(xù)型 ▲ 離散型隨機變量 如果隨機變量 (X,Y)的全部可能取到的不同值是有限 或可列無限多對，則稱 (X,Y)是 離散型隨機變量 。 ▲ 離散型隨機變量的表示： 設(shè)二維離散型隨機變量 (X,Y)所有可能取值為 ),( ii yx ?,2,1, ?ji， ，記 ijji pyYxXP ??? },{ ?,2,1, ?ji， 稱為二維離散隨機變量 (X,Y)的分布律，或 X和 Y的 聯(lián)合分布律 。 顯然有 0?ijp 11 1?? ?????i jijp， 聯(lián)合分布律可用 二維表格 表示： X Y 1x 2x ix? ?1y2y??jy11p 21p1ip12p 22p 2ipjp1 jp2 ijp? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?例 1 設(shè)隨機變量 X在 1， 2， 3， 4四個整數(shù)中等可能地 取一個值，另一個隨機變量 Y在 1~X中等可能地 取一整數(shù)值。試求 (X,Y)的分布律。 解：由題意可知， (X,Y)所有可能取值為 (i,j), i,j=1,2,3,4。 由乘法公式 ，對 于是 (X,Y)的 分布律為 411}{}|{},{ ????????iiXPiXjYPjYiXPiji ?? ,4,3,2,1X 1 2 3 4 Y 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 ▲ 離散型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為 ? ?? ??xx yyiji jpyxF ),(() ▲ 連續(xù)型隨機變量概念 對于二維隨機變量 (X,Y )的分布函數(shù) F(x,y)，若存在 非負(fù)的函數(shù) f(x,y)使對任意 x,y，有 ? ??? ??? y x d u d vvufyxF ),(),(則稱 (X,Y)是連續(xù)型的二維隨機變量，函數(shù) f(x,y) 稱為 二維隨機變量 (X,Y)的 概率密度 或 X與 Y的 聯(lián)合概率密度 ▲ 聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì) 1. 非負(fù)性： 0),( ?yxf2. 規(guī)范性： 1),(),( ????? ???????Fd u d vvuf3. 概率的計算公式 ：設(shè) G是 xOy平面上的區(qū)域， (X,Y ) 落在 G內(nèi)的概率為 ????Gdx dyyxfGYXP ),(}),{(() 4. 若 f(x,y)在點 (x,y)連續(xù)，則 ),(),(2 yxfyxyxF ????▲ 若 f(x,y) 在點 (x,y)連續(xù)，當(dāng)和很小時，有 yxyxfyyYyxxXxP ??????????? ),(},{例 2 設(shè)二維隨機變量 (X,Y)具有概率密度 ??? ?????o t h e r w i s eyxeyxfyx,00,0,2),()2(（ 1）求分布函數(shù) F(x,y)；（ 2）求概率 。 }{ XYP ?解：（ 1）因 ????? ???? ? ?? ??? ?? o t h e r w i s eyxd x d yyxfd x d yyxfyxFy xy x,00,0,),(),(),( 0 0因此 ??? ????? ??o t h e r w i s eyxeeyxF yx,00,0),1)(1(),( 2（ 2）將 (X,Y)看作是平面上隨機點的坐標(biāo)，即 }),{(}{ GYXXY ??? ， G為 xOy平面上 y=x及其下方的部分。 因此 ??????Gdx dyyxfGYXPXYP ),(}),{(}{3/120 )2( ?? ? ?? ? ??y yx d x d ye▲ n維隨機變量 設(shè) E是一個隨機試驗，其樣本空間是 ，設(shè) ， ， ，
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