第3章(2)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(參考版)
2024-08-18 10:55本頁面
【正文】 （二） 及 的分布 ),m a x( YXM ? ),m in( YXN ?設(shè) X和 Y相互獨(dú)立，其分布函數(shù)為 FX(x)和 FY(y)，則 }{}{},{}{)()( m a x zYPzXPzYzXPzMPzFzF M ?????????因此 )()()(m a x zFzFzF YX? () 類似地， }{}{1}{}{1}{1}{)()( m i nzYPzXPzYPzXPzNPzNPzFzF N??????????????因此 ))(1))((1(1)(m i n zFzFzF YX ???? () 更一般地， ),m a x ( 21 nXXXM ?? 的分布 )()()()( 21m a x zFzFzFzF nXXX ??（ ） ),m i n ( 21 nXXXN ??的分布 )](1[)](1) ] [(1[1)( 21m a x zFzFzFzF nXXX ????? ?（ ） 小 結(jié) 1）基本概念：隨機(jī)向量，聯(lián)合分布； 2）重點(diǎn)：二維聯(lián)合分布分布、聯(lián)合分布律、聯(lián)合密度； 3）邊緣分布及其求法：邊緣分布律、邊緣密度； 4）條件分布律與條件密度； 5）隨機(jī)變量的獨(dú)立性 6）兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布，最大最小隨機(jī)變量的分布?？紤]到變量代換 }|),{( zyxyxG ???yux ?? ，則 ? ?? ?? ????????? ?????????????? ???????? ?????????zzyzZdudyyyufdyduyyufdydxyxfzF),(),(),()(? ??? ?? dyyyzfzf Z ),()(于是，隨機(jī)變量的概率密度為 （ ） 同理，由 X,Y的對(duì)稱性，又有 ? ??? ?? dxxzxfzf Z ),()(（ ） 特別地，當(dāng) X和 Y獨(dú)立時(shí)，則（ ）和（ ）式分別為 ? ??? ?? dyyfyzfzf YXZ )()()(（ ） ? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()( （ ） ()和 ()稱為 卷積公式 ，記為 ，即 YX ff ??? ?????? ????? dxxzfxfdyyfyzfff YXYXYX )()()()(◎ 一個(gè)重要例子 例 1 設(shè) X和 Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們服從 N(0,1)分布，其概率密度為 ??????? ?? yxeyfexf yYxX ,21)(,21)( 2/2/ 22 ??求 Z=X+Y的概率密度。 ),( 21 mXXX ? ),(21 nYYY ?),2,1( miX i ?? ),2,1( njY j ??gh, ),( 21 mXXXh ?),( 21 nYYYg ?167。,( 2122112121 nmnm yyyFxxxFyyyxxxF ???? ?4．一個(gè)結(jié)果： 定理 設(shè) 與 相互獨(dú)立， 則 和 相互獨(dú)立。 解：設(shè) X和 Y分別是負(fù)責(zé)人和他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間， 由假設(shè) X和 Y的概率密度分別為 ??? ???ot he r w i s exxfX ,0128,4/1)(??? ???ot he r w i s exyfY ,097,2/1)(， 因 X和 Y相互獨(dú)立，故 (X,Y)的概率密度為 ??? ??????ot he r w i s eyxyfxfyxfYX 097,128,8/1)()(),(因此，所求概率為 481(81),(}12/1|{| ?????? ?? 的面積）Gd x d yyxfYXPG▲ n維隨機(jī)變量 1） n維隨機(jī)變量的 分布函數(shù)： },{),( 221121 nnn xXxXxXPxxxF ???? ??若存在非負(fù)函數(shù) ，使得 ),(21 nxxxf ?nnx x xn dxdxdxxxxfxxxFn n ????212121 ),(),(1 1? ? ??? ?? ????則稱 為 的概率密度函數(shù)。 0??★ 正態(tài)分布的一個(gè)結(jié)論 對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量（ X,Y） : X和 Y相互獨(dú)立 的 充分必要條件 是參數(shù) 。 設(shè)（ X,Y）是 二維正態(tài)隨機(jī)變量 ，其概率密度為 ???????????? ?????????? 2222212121212221)())((2)()1(21e x p121),(??????????????yyxxyxf其邊緣概率密度 的乘積為 )(),( yfxfYX???????????? ?????2222212121)()(21e x p21)()(???????yxyfxfYX因此， 若 ，則對(duì)于所有 ，有 0?? yx,)()(),( yfxfyxf YX?反之 ，若 X,Y相互獨(dú)立，則 。 設(shè) (X,Y)是 連續(xù)型隨機(jī)變量 ， 分別 為 (X,Y)的概率密度和邊緣概率密度，則 X和 Y相互獨(dú)立的 條件 ()等價(jià)于 )(),(),( yfxfyxf YX)()(),( yfxfyxf YX?() 幾乎處處成立。 4 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 定義 設(shè) F(x,y)及 分別是二維隨機(jī)變量 (X,Y) 的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若二維隨機(jī) 變量 (X,Y)
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