第3章(2)概率論與數(shù)理統(tǒng)計-wenkub.com
2025-08-04 10:55 本頁面
【正文】 解：由 ()式，得 444)2(42)(2222222222121212121)()()(zztzzxzxzxYXZeedxeedxeedxeedxxzfxfzf???????????????????????????????????????即 )2,0(~ NZ一般結(jié)論： 有限個相互 獨立 的正態(tài)隨機變量的 線性組合 仍然服從正態(tài)分布。 又若 是連續(xù)函數(shù)，則 與 相互獨立。 0??▲ 一個常用結(jié)論 ★ 例子 例 一負責人到達辦公室的時間均勻分布在 8~12時，他的 秘書到達辦公室的時間均勻分布在 7~9時，設(shè)他們兩人 到達的時間相互獨立，求他們到達辦公室的時間相差 不超過 5分鐘（ 1/12小時）的概率。 ▲ 當 (X,Y)是 離散型隨機變量 時， X和 Y相互獨立的條件 ()式 等價于：對于 (X,Y)所有可能的取值 , 有 ),(ji yx}{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP ?????() 例如， 設(shè)離散隨機變量 X,Y具有聯(lián)合分布律 ▲ 0 1 P{Y=j} 1/6 2/6 1/2 1/6 2/6 1/2 1/3 2/3 1 X Y 1 2 P{X=i} 則有 }1{}0{6/1}1,0{ ?????? YPXPYXP}2{}0{6/1}2,0{ ?????? YPXPYXP}1{}1{6/2}1,1{ ?????? YPXPYXP}2{}1{6/2}2,1{ ?????? YPXPYXP因此 X,Y相互 獨立。 現(xiàn)設(shè) (X,Y)在圓域： 上服從均勻分布， 求條件概率密度 122 ?? yx)|(| yxf YX解：二維隨機變量 (X,Y)具有概率密度 ??? ???o t h e r w i s eyxyxf,01,/1),( 22?且具有邊緣概率密度 ????? ??????? ????????o t h e r w i s eyydxdxyxfyfyyY,011,121),()(21122 ??于是當 時，有 11 ??? y??????????????o t h e r w i s eyxyyyyxf YX,011,1211)/2(/1)|(2222| ??167。 )10( ?? pp解：由題意， {Y=n}={在第 n次射擊時擊中目標，且在第 1次 至第 n1次射擊中恰有一次擊中目標 } 因各次射擊相互獨立，只要 ，概率 為 nm ? },{ nYmXP ??22},{ ?????????? nqpqqqppnYmXP ?pq ?? 1 ，得到 X和 Y的聯(lián)合分布律為 22},{ ???? nqpnYmXP 1,2,1,3,2 ??? nmn ??， 容易計算 ?,2,1,1},{}{1121221221??????????????????????????mpqqqpqpqpnYmXPmXPmmmnnmnnmn?,3,2,)1(},{}{ 22112211???????? ???????? nqpnqpnYmXPnYP nnmnnm于是所求的條件分布律為 當 時， ?,3,2?n1,2,1,11)1(}|{ 2222???????? ??nmnqpnqpnYmXPnn?當 時， ?,3,2,1?m?,2,1,}|{ 1122??????? ????mmnpqpqqpmXnYP mnmn▲ 二維連續(xù)型隨機變量的條件分布 設(shè) (X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，由于，因此 不能直接 利用條件概率公式定義 “ 條件分布函數(shù) ” 設(shè) (X,Y)的概率密度為 f(x,y)，（ X,Y）關(guān)于 Y的邊緣概率密度 為 。因此 jijjjiji ppyYPyYxXPyYxXP????????}{},{}|{ ?,2,1?i, ▲ 如上的條件概率滿足性質(zhì)： 1． 0}|{ ??? ji yYxXP2． 11}|{111????????????? ??????jjiijji jijiji ppppppyYxXPjijjjiji ppyYPyYxXPyYxXP????????}{},{}|{定義 設(shè) (X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的 j， 若 ，則稱 0}{ ?? jyYP?,2,1?i() ，為在條件下隨機變量 X的 條件分布律 。求二維正態(tài) 隨機變量的 邊緣概率密度。 設(shè) D=D(N)是能整除 N的正整數(shù)的個數(shù)， F=F(N)是 能整除 N的素數(shù)的個數(shù)，試寫出 D和 F的聯(lián)合分布律， 并求邊緣分布律。 X和 Y作為單個隨機變量 也各有其分布函數(shù)，記為 和 ，依次稱為二維隨機變量 (X,Y)關(guān)于 X和關(guān)于 Y 的 邊緣分布函數(shù) 。 因此 ??????Gdx dyyxfGYXPXYP ),(})
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