【正文】 j(t)。1。證：由x的特征函數(shù)jx(t)=et推得，h=ax與x+h的特征函數(shù)分別為jh(t)=eat與jx+h(t)=e倘若x(a+1)t，故jx+h(t)=jx(t)jh(t)。1。px(x)=12,1x1。x+h的特征函數(shù)為231。(2x)4239。x2其它。證：px+h(z)=242。1+xy(x2+y2)p(x,y)=237。xi也是T分布，其密度函數(shù)為p(x)=i=1bT(na)xna1ebx，x0；p(x)=0，x163。247。it246。248。j(t)=231。i=1解：T分布p(x)=abaT(a)xa1ebx，x0；p(x)=0，x163。n=eibtat.所以229。235。234。xi的特征函數(shù)為i=1233。證：設(shè)x與h相互獨立，x的特征函數(shù)為j(t)，h服從[h,h]上的均勻分布，h的特征函數(shù)為sinthth，則sinthth是x+h的特征函數(shù)。x165。2248。ax246。165。248。11cosax230。p232。1231。165。232。dt=a165。(t)=230。a|t|a(a0)是特征函數(shù)，并求出它的分布函數(shù)。1j(t)=237。0t=0t185。j(0)=1，但是j(t)不是特征函數(shù)的例子。 （5）2e1it165。2163。(2x)p(x)=237。p(x)=0,x0的分布的特征函數(shù)。（3）密度函數(shù)為p(x)=e11+itx,x179。248。（1）cost；（2）cos2t；（3）；（4）231。則j(t)2=j(t)j(t)是隨機變量z=xh的特征函數(shù)；（3）若x1,L,xn獨立分布，其特征函數(shù)為j(t)。e0a1a165。cosbxpa+x（3） 0242。eitu165。0 (a0,b0)解：（1）j(t)=a242。xep(x)=237。=229。229。230。k=1248。231。k=1248。E231。=229。xk)xkk=1h233。E229。254。2252。234。222ts239。254。(ym)252。253。238。s2+t2233。165。165。165。253。0y0其它 設(shè)隨機變量x服從N(m,t2)分布，隨機變量h在x=x時的條件分布為N(x,s2)，求h的分布及x關(guān)于h的條件分布。(n1)(n2)(1+x+y)n dy=n2(1+x)n1,x0。x0,y0其它 其中n2。(n1)(n2)239。2p1(Exp+Ep （2）在p0時，|x+y|p163。[Exp]1/p+[E]1/p即所謂的明可夫斯基不等式，在p179。2p1p]1/p+[E+E’p]1/p E+hp(Expp)(2)若x與h都具有p0階矩，則Ex+hp163。ij163。1163。[229。ac,x2,L,xn中任意兩個的相關(guān)系數(shù)都是r，試證：r179。r 已知隨機變量x與h的相關(guān)系數(shù)為r，求x1=ax+b與h1=ch+d的相關(guān)系數(shù)，其中a,b,c,d均為常數(shù)，a,c皆不為零。r242。證：P(xe)=163。 tpx(t)dtExx。165。x px(t)=1242。232。x+L+x247。xi249。xixi/229。249。1，所以E234。xi同分布(j=1,L,n)，又xj/229。=n。k247。 =7500(秒）2 設(shè)x1,x2,Kxn為正的且獨立同分布的隨機變量（分布為連續(xù)型或離散型），證明：對任意的k(1163。 2 地下鐵道列車的運行間隔時間為五分鐘，一個旅客在任意時刻進入月臺，求候車時間的數(shù)學(xué)期望與方差。AxAxa+1eex/bdx=Abdx=Aba+2T(a+2)=(a+1)b, a+2x/ba+30T(a+3)=(a+1)(a+2)b2Dx=Ex2(Ex)=(a+1)b 22 設(shè)隨機變量x服從(1112,2)上的均勻分布，求h=sinpx的數(shù)學(xué)期望與方差。Ex= Ex=242。解：1=242。Axaex/f,x0p(x)=237。1x1px2dx=2p242。故a=1/2,b=1/p。1試確定常數(shù)(a,b)，并求Ex與Dx。a+barcsinx239。12x(2x)dx=7/6，2Dx=Ex(Ex)=1/6。 解 Ex= Ex2242。2x239。p2x2p=cos2xdx=0Dx=Ex2p242。02xp2163。2239。1,y1x1,0y163。1 x163。xy239。x239。dx)dt=y14239。1239。(242。由于236。238。 設(shè)二維隨機變量(x,h)的聯(lián)合分布密度為236。165。2xpx 設(shè)隨機變量x與h獨立，都服從參數(shù)為l的指數(shù)分布，求x解：在x179。0x163。0x163。 zpx(xz)dz當(dāng)0x163。解：px(x)=242。165。故x1(y)=242。02|x|1|x|179。239。px(x)=237。(l+m)238。xlelmmem(xy)dy=lmelx(l+m) 所以236。0時，pxh(x)=242。解：由ph(x)=memx,x0得ph(x)=mepxh(x)=mx,x0，所以242。2(1x)p|xh|(x)=237。1x1x163。0時，px+h(x)=0 設(shè)隨機變量x與h獨立，都服從(0,1)上的均勻分布，求|xh|的分布。(lm)=237。x0x mem(xy)lelydy242。0x0x163。238。py(y+4)22[ln(x+1)+yarctgxln((xy)+1)+yarctg(xy)]|165。p21+x1+(yx)[2x+yx+122dx]dxpy(y1222242。 eyx+yady]=14a(1xa)exa 所以px+h(x)=14a2(a+|x|)e|x| 設(shè)隨機變量x與h獨立，服從相同的柯西分布，其密度函數(shù)為1p(x)=12p(1+x)2 證明：V=證：(x+h)也服從同一分布。e165。xyydy+a242。dy2a4a238。236。px(xy)ph(y)dy，當(dāng)x179。px+h(x)=0，其它 設(shè)隨機變量x與h獨立，服從相同的拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為p(x)=12aex/a,(a0)求x+h的密度函數(shù)。165。（2）px(x)=1/a,ax0。165。ph(x)=1/(ba),axb。 設(shè)隨機變量x與h獨立，求x+h的分布密度。證明z=Fx1(h)的分布函數(shù)與x的分布函數(shù)相同。(lnya)253。1236。1oxp239。px(x)=0,(x0)。0時，P(xx)=P(xxx)=242。y163。ph(y)=237。由x的密度函數(shù)px(x)=(ba)，a163。100x2150=23 所以三個這類管子沒有一個要替換的概率為(2)3=83率是(12)=27；三個這類管子全部要替換的概327。238。 設(shè)某類電子管的壽命（以小時計）具有如下分布密度：236。ph(y)=0,(|y|1)。1)。238。(x,h)的密度函數(shù)為236。0F(x)=237。 證：由于P(xx)=P(xx,xx)=P(xx)P(xx)，所以F(x)=[F(x)]2，F(xiàn)(x)=0或1。a時，F(xiàn)(x,y)=P(xx,hy)=0=Fx(x)Fh(y)。238。)y xk11(yx)k21dx=1G(k1+k2)yk1+k21,(y0) ph(y)=0,(y163。12pey2。0時，px(x)=242。y+131x=ey+1,(y1)px(x)=0,(y163。0xy其它 解：（1）px(x)=242。（3）p(x,y)=237。x0,y163。11(x2+y2)239。（1）p(x,y)=237。p(x,y)dxdy=1因此，為使p(x,y)成為二維分布的密度函數(shù)，h(x,y)必需且只需滿足條件（1）和（2）。165。h(x,y)dxdy=0得到滿足。242。p1(x)p2(y)。242。 設(shè)p1(x),p2(x)都是一維分布的密度函數(shù)，為使p(x,y)=p1(x)p2(y)+h(x,y)成為一個二維分布的密度函數(shù)，問其中的h(x,y)必需且只需滿足什么條件？ 解：若p(x,y)為二維分布的密度函數(shù)，則p(x,y)179。120,h163。(h163。0,y179。1258)12165。解：P[(x=1165。x163。p(x,y)=237。 2(xx)dx=12 。242。242。h)。0