【正文】 1 信息管理學院 徐曄 第 2章 隨機變量及其分布 隨機變量及其分布函數(shù) 連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù) 幾種常見的離散型分布 離散型隨機變量及其分布律 隨機變量函數(shù)及其分布 正態(tài)分布 信息管理學院 徐曄 隨機變量及其分布函數(shù) 一、隨機變量 二、 隨機變量的分布函數(shù) 3 信息管理學院 徐曄 一、隨機變量 例 袋中有 3只黑球， 2只白球，從中任意取出 3只球，觀察 取出的 3只球中的黑球的個數(shù)．我們將 3只黑球分別記 作 1， 2， 3號， 2只白球分別記作 4， 5號，則該試驗的 樣本空間為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????543542532432541531431521421321，，，，，，，，，，? 4 信息管理學院 徐曄 我們記取出的黑球數(shù)為 X，則 X 的可能取值為 1,2,3． 因此 ,X是一個變量． 但是， X取什么值依賴于試驗結(jié)果，即 X的取值帶有隨 機性，所以，我們稱 X 為隨機變量． X 的取值情況可由下表給出： 樣本點 黑球數(shù) X 樣本點 黑球數(shù) X ? ?321 ， 3 ? ?541 ， 1 ? ?421 ， 2 ? ?432 ， 2 ? ?521 ， 2 ? ?532 ， 2 ? ?431 ， 2 ? ?542 ， 1 ? ?531 ， 2 ? ?543 ， 1 5 信息管理學院 徐曄 由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結(jié)果都對應 著變量 X 的一個確定的取值，因此變量 X 是樣本空 間 Ω上的函數(shù)： ? ? ? ???? wwXX我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值 情況來刻劃 隨機事件 ．例如 ? ?2?X 表示至少取出 2個黑球 這 一事件，等等． ? ?? ? ? ?22 ??? XwXw ： 表示取出 2個黑球 這 一事件； 樣本點 黑球數(shù) X 樣本點 黑球數(shù) X? ?321 ， 3 ? ?541 ， 1? ?421 ， 2 ? ?432 ， 2? ?521 ， 2 ? ?532 ， 2? ?431 ， 2 ? ?542 ， 1? ?531 ， 2 ? ?543 ， 1 6 信息管理學院 徐曄 例 一大批產(chǎn)品中次品率為 p，從中任取 n件，求其中最多有 k件次品的概率。 niinA i,2,1,0 ??件次品，件產(chǎn)品中有為設nXnX,2,1,0 ??則件產(chǎn)品中的次品數(shù)，為設件次品件產(chǎn)品中最多有為 knBkAAAB ???? 10?則個次品則可表示最多有 kkX }{ ?}{}1{}0{}{kXXXkX?????????求 P(B) }{ kXP ?求 7 信息管理學院 徐曄 Bernoulli試驗中， A表示成功，可設 ????不發(fā)生發(fā)生AAX01 8 信息管理學院 徐曄 此處用 {w}表示樣本空間，并非樣本空間中只有一個元素 w，而是用 w表示所有的元素。 隨機變量的定義 定義 ：設隨機試驗 E的樣本空間是 Ω={w}，如果對于每一個 w∈ Ω，有一個實數(shù) X(w)與之對應，且對任何一個實數(shù) 是隨機事件，這樣就得到一個定義在 Ω上的 單值實值 函數(shù) X=X(w)，稱X=X(w)為 隨機變量 , 簡記為 X。 ? ?? ???? wxwXwx , 9 信息管理學院 徐曄 說 明 等來表示．、希臘字母或、文字母隨機變量常用大寫的英⑴?????ZYX常關心的是它的取值．對于隨機變量，我們常⑵．的取值來描述隨機事件的，是要用隨機變量我們定義隨機變量的目⑶ 10 信息管理學院 徐曄 例 1 盒中有 5個乒乓球 ,其中 2個白球， 3個黃 球 ,從中任取 3個 ,記 X=“ 取到白球的個數(shù)” ,則 X是一個隨機變量 ,且 X的可能取值是 0,1,2,且 有 ?? )0( XP?? )1( XP?? )2( XP533 ?CC52312 ?CCC51322 ?CCC 11 信息管理學院 徐曄 例 2 上午 8:00～ 9:00 在某路口觀察，令 Y： 該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則 Y 就是一 個隨機變量．它的取值為 0， 1， … ． ? ?100?Y 表示通過的汽車數(shù)小于 100輛這一隨機事件； ? ?10050 ?? Y 表示通過的汽車數(shù)大于 50 輛但不超過 100 輛這一隨機事件． 12 信息管理學院 徐曄 隨機變量概念 的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件 .引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，使人們可利用數(shù)學分析的方法對隨機試驗結(jié)果進行廣泛而深入的研究 . 隨機變量因其取值方式的不同， 通常分為兩類： 離散型 隨機變量 連續(xù)型 非離散型 其它 13 信息管理學院 徐曄 }{)( xXPxF ??稱為 X的分布函數(shù)． 0 x x X 設 X是一個隨機變量 , 是任意實數(shù) , 函數(shù) 幾何定義 ： 將 X 看成是數(shù)軸上的隨機點的坐標，分布函數(shù) )( xF 在 x 處的函數(shù)值就表示 X 落在區(qū)間 ],( x?? 上的概率。 二、 隨機變量的分布函數(shù) x 14 信息管理學院 徐曄 發(fā)生的概率本質(zhì)上是事件分布函數(shù) }{)( xXxF ?定義域為分布函數(shù) )( xF ?????? x取值范圍為分布函數(shù) )( xF 1)(0 ?? xF}{}{ 21 xXxX ???且}){}({}{ 1221 xXxXPxXxP ??????所以}{}{ 12 xXPxXP ????)()( 12 xFxF ??}{}{}{ 1221 xXxXxXx ??????由于 15 信息管理學院 徐曄 X的分布函數(shù)為 出現(xiàn)的點數(shù)小于 x的概率 1,2,3,4,5,6 例 3 擲一枚骰子 ,設 X表示出現(xiàn)的點數(shù) ,其可能取值為 沒有可能的點數(shù) 包含出現(xiàn) 1點 包含出現(xiàn) 1,2點 包含出現(xiàn) 1,2,3點 包含出現(xiàn) 1,2,3,4點 包含出現(xiàn) 1,2,3,4,5點 包含出現(xiàn) 1,2,3,4,5,6點 ????????????????????????????616565543243213231216110}{)(xxxxxxxxXPxF 分布函數(shù)是累計概率 16 信息管理學院 徐曄 分布函數(shù)的性質(zhì) ? ? ? ? , 上是一個不減函數(shù)在 ????xF(1) ? ?? ? ? ? 。,212121xFxFxxxx???????? 都有且即對? ? ? ?21F x F x??? ?12 0P x X x? ? ?(3) F(x) 右連續(xù)，即 ? ?000 l i m ( ) ( )xxF x F x F x????(2) ()F ?? ? ? ?limx Fx? ?? ? ?limx Fx? ??()F ?? ?0? 1?）（ ??????? xxXPxF ),()( 17 信息管理學院 徐曄 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個 X 的分布函數(shù) . 也就是說，性質(zhì) (1)(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某 的分布函數(shù)的充分必要條件 . 18 信息管理學院 徐曄 例 4 判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù) ? (1) ????????????0,1。02,2/12,0)(xxxxF解 (1) 由題設 , )(xF 在 ),( ???? 上單調(diào)不減 , 右連續(xù) , 并有 ,0)(l i m)( ???? ??? xFF x ,1)(l i m)( ???? ??? xFF x所以 )(xF 是某一隨機變量 X 的分布函數(shù) . 19 信息管理學院 徐曄 例 4 判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù) ? 。,10,s i n0,0)(????????????xxxxxF(2) (2) 因 )(xF 在 上單調(diào)下降 , ),2( ??不可能是分布函數(shù) . )(xF所以 解 20 信息管理學院 徐曄 都有、 Rxxx ?? 21)0()(}{}{}{ ???????? xFxFxXPxXPxXP)(1}{1}{ xFxXPxXP ??????)0(1}{1}{ ??????? xFxXPxXP)0()(l i m}{ 0 ????? ?? xFxxFxXP x ??用分布函數(shù) F(x)表示的事件概率計算公式 )()(}{ 1221 xFxFxXxP ????)0()(}{ 1221 ????? xFxFxXxP)()0(}{ 1221 xFxFxXxP ?????)0()0(}{ 1221 ?????? xFxFxXxP 21 信息管理學院 徐曄 ?????????3031)( 3xxxAxFX 的分布函數(shù)為設隨機變量}52{)2(。)1( ?? XPA 概率系數(shù)求：例 5 解 (1)因為分布函數(shù)右連續(xù) ,且 0)3(,)1(lim)(lim 333????? ??FxAxFxx27?A所以}2{}5{}52{)2( ?????? XPXPXP)2()(lim 5 FxFx ?? ??12598052713 ????信息管理學院 徐曄 離散型隨機變量及其分布律 一、