【正文】 1 信息管理學院 徐曄 第 2章 隨機變量及其分布 隨機變量及其分布函數 連續(xù)型隨機變量及其密度函數 幾種常見的離散型分布 離散型隨機變量及其分布律 隨機變量函數及其分布 正態(tài)分布 信息管理學院 徐曄 隨機變量及其分布函數 一、隨機變量 二、 隨機變量的分布函數 3 信息管理學院 徐曄 一、隨機變量 例 袋中有 3只黑球， 2只白球，從中任意取出 3只球，觀察 取出的 3只球中的黑球的個數．我們將 3只黑球分別記 作 1， 2， 3號， 2只白球分別記作 4， 5號，則該試驗的 樣本空間為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????543542532432541531431521421321，，，，，，，，，，? 4 信息管理學院 徐曄 我們記取出的黑球數為 X，則 X 的可能取值為 1,2,3． 因此 ,X是一個變量． 但是， X取什么值依賴于試驗結果，即 X的取值帶有隨 機性，所以，我們稱 X 為隨機變量． X 的取值情況可由下表給出： 樣本點 黑球數 X 樣本點 黑球數 X ? ?321 ， 3 ? ?541 ， 1 ? ?421 ， 2 ? ?432 ， 2 ? ?521 ， 2 ? ?532 ， 2 ? ?431 ， 2 ? ?542 ， 1 ? ?531 ， 2 ? ?543 ， 1 5 信息管理學院 徐曄 由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結果都對應 著變量 X 的一個確定的取值，因此變量 X 是樣本空 間 Ω上的函數： ? ? ? ???? wwXX我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值 情況來刻劃 隨機事件 ．例如 ? ?2?X 表示至少取出 2個黑球 這 一事件，等等． ? ?? ? ? ?22 ??? XwXw ： 表示取出 2個黑球 這 一事件； 樣本點 黑球數 X 樣本點 黑球數 X? ?321 ， 3 ? ?541 ， 1? ?421 ， 2 ? ?432 ， 2? ?521 ， 2 ? ?532 ， 2? ?431 ， 2 ? ?542 ， 1? ?531 ， 2 ? ?543 ， 1 6 信息管理學院 徐曄 例 一大批產品中次品率為 p，從中任取 n件，求其中最多有 k件次品的概率。 niinA i,2,1,0 ??件次品，件產品中有為設nXnX,2,1,0 ??則件產品中的次品數，為設件次品件產品中最多有為 knBkAAAB ???? 10?則個次品則可表示最多有 kkX }{ ?}{}1{}0{}{kXXXkX?????????求 P(B) }{ kXP ?求 7 信息管理學院 徐曄 Bernoulli試驗中， A表示成功，可設 ????不發(fā)生發(fā)生AAX01 8 信息管理學院 徐曄 此處用 {w}表示樣本空間，并非樣本空間中只有一個元素 w，而是用 w表示所有的元素。 隨機變量的定義 定義 ：設隨機試驗 E的樣本空間是 Ω={w}，如果對于每一個 w∈ Ω，有一個實數 X(w)與之對應，且對任何一個實數 是隨機事件，這樣就得到一個定義在 Ω上的 單值實值 函數 X=X(w)，稱X=X(w)為 隨機變量 , 簡記為 X。 ? ?? ???? wxwXwx , 9 信息管理學院 徐曄 說 明 等來表示．、希臘字母或、文字母隨機變量常用大寫的英⑴?????ZYX常關心的是它的取值．對于隨機變量，我們常⑵．的取值來描述隨機事件的，是要用隨機變量我們定義隨機變量的目⑶ 10 信息管理學院 徐曄 例 1 盒中有 5個乒乓球 ,其中 2個白球， 3個黃 球 ,從中任取 3個 ,記 X=“ 取到白球的個數” ,則 X是一個隨機變量 ,且 X的可能取值是 0,1,2,且 有 ?? )0( XP?? )1( XP?? )2( XP533 ?CC52312 ?CCC51322 ?CCC 11 信息管理學院 徐曄 例 2 上午 8:00～ 9:00 在某路口觀察，令 Y： 該時間間隔內通過的汽車數．則 Y 就是一 個隨機變量．它的取值為 0， 1， … ． ? ?100?Y 表示通過的汽車數小于 100輛這一隨機事件； ? ?10050 ?? Y 表示通過的汽車數大于 50 輛但不超過 100 輛這一隨機事件． 12 信息管理學院 徐曄 隨機變量概念 的產生是概率論發(fā)展史上的重大事件 .引入隨機變量后，對隨機現象統(tǒng)計規(guī)律的研究，使人們可利用數學分析的方法對隨機試驗結果進行廣泛而深入的研究 . 隨機變量因其取值方式的不同， 通常分為兩類： 離散型 隨機變量 連續(xù)型 非離散型 其它 13 信息管理學院 徐曄 }{)( xXPxF ??稱為 X的分布函數． 0 x x X 設 X是一個隨機變量 , 是任意實數 , 函數 幾何定義 ： 將 X 看成是數軸上的隨機點的坐標，分布函數 )( xF 在 x 處的函數值就表示 X 落在區(qū)間 ],( x?? 上的概率。 二、 隨機變量的分布函數 x 14 信息管理學院 徐曄 發(fā)生的概率本質上是事件分布函數 }{)( xXxF ?定義域為分布函數 )( xF ?????? x取值范圍為分布函數 )( xF 1)(0 ?? xF}{}{ 21 xXxX ???且}){}({}{ 1221 xXxXPxXxP ??????所以}{}{ 12 xXPxXP ????)()( 12 xFxF ??}{}{}{ 1221 xXxXxXx ??????由于 15 信息管理學院 徐曄 X的分布函數為 出現的點數小于 x的概率 1,2,3,4,5,6 例 3 擲一枚骰子 ,設 X表示出現的點數 ,其可能取值為 沒有可能的點數 包含出現 1點 包含出現 1,2點 包含出現 1,2,3點 包含出現 1,2,3,4點 包含出現 1,2,3,4,5點 包含出現 1,2,3,4,5,6點 ????????????????????????????616565543243213231216110}{)(xxxxxxxxXPxF 分布函數是累計概率 16 信息管理學院 徐曄 分布函數的性質 ? ? ? ? , 上是一個不減函數在 ????xF(1) ? ?? ? ? ? 。,212121xFxFxxxx???????? 都有且即對? ? ? ?21F x F x??? ?12 0P x X x? ? ?(3) F(x) 右連續(xù)，即 ? ?000 l i m ( ) ( )xxF x F x F x????(2) ()F ?? ? ? ?limx Fx? ?? ? ?limx Fx? ??()F ?? ?0? 1?）（ ??????? xxXPxF ),()( 17 信息管理學院 徐曄 如果一個函數具有上述性質，則一定是某個 X 的分布函數 . 也就是說，性質 (1)(3)是鑒別一個函數是否是某 的分布函數的充分必要條件 . 18 信息管理學院 徐曄 例 4 判別下列函數是否為某隨機變量的分布函數 ? (1) ????????????0,1。02,2/12,0)(xxxxF解 (1) 由題設 , )(xF 在 ),( ???? 上單調不減 , 右連續(xù) , 并有 ,0)(l i m)( ???? ??? xFF x ,1)(l i m)( ???? ??? xFF x所以 )(xF 是某一隨機變量 X 的分布函數 . 19 信息管理學院 徐曄 例 4 判別下列函數是否為某隨機變量的分布函數 ? 。,10,s i n0,0)(????????????xxxxxF(2) (2) 因 )(xF 在 上單調下降 , ),2( ??不可能是分布函數 . )(xF所以 解 20 信息管理學院 徐曄 都有、 Rxxx ?? 21)0()(}{}{}{ ???????? xFxFxXPxXPxXP)(1}{1}{ xFxXPxXP ??????)0(1}{1}{ ??????? xFxXPxXP)0()(l i m}{ 0 ????? ?? xFxxFxXP x ??用分布函數 F(x)表示的事件概率計算公式 )()(}{ 1221 xFxFxXxP ????)0()(}{ 1221 ????? xFxFxXxP)()0(}{ 1221 xFxFxXxP ?????)0()0(}{ 1221 ?????? xFxFxXxP 21 信息管理學院 徐曄 ?????????3031)( 3xxxAxFX 的分布函數為設隨機變量}52{)2(。)1( ?? XPA 概率系數求：例 5 解 (1)因為分布函數右連續(xù) ,且 0)3(,)1(lim)(lim 333????? ??FxAxFxx27?A所以}2{}5{}52{)2( ?????? XPXPXP)2()(lim 5 FxFx ?? ??12598052713 ????信息管理學院 徐曄 離散型隨機變量及其分布律 一、